GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 6

GESTION DE PORTEFEUILLE
chapitre n° 4
C. Bruneau
Rationalisation des choix:
référence à l’utilité
Plan du chapitre
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1. Choix en avenir incertain
2. Rappel sur la notion d’aversion au risque
3. Introduction de la fonction d’utilité, exemples
4. Brèves références aux Notions de dominance
stochastique
- à l’ordre 1
- à l’ordre 2
• 5. Maximisation de l’espérance d’utilité et
définition de l’équivalent certain
• 6. Cas particulier du critère espérance-variance
1. Choix en avenir incertain
• Décision à prendre sans en connaître les conséquences de manière
certaine
exemple: choix de la composition d’un portefeuille face à des
rendements des titres aléatoires
. Rationalisation des choix: introduction d’une axiomatique
( les axiomes caractérisent la rationalité du décideur)
Exemple axiome de transitivité: si un choix b est préféré à a et c est
préféré à b, c est encore préféré à a
Exemple: axiomatique de Von Neuman Morgenstern (VNM)
. Dans ce qui suit, on introduira la fonction d’utilité des conséquences
( quantifiées)
. On montre que l’optimisation des choix selon la rationalité décrite par
l’axiomatique de VNM, est équivalente à la maximisation de
l’espérance d’utilité, sous réserve que la fonction d’utilité possède
de bonnes propriétés
2. Aversion pour le risque
• 2.1) Monde risque-neutre
• Si on est indifférent à l’incertitude – aux issues
possibles- on est indifférent au risque: on dit
« neutre au risque »
• Dans un monde où tous les agents sont neutres,
au risque ( on parle de monde risque –neutre),
tous les titres , qu’ils soient risqués ou non,
doivent avoir la même rentabilité espérée que le
titre sans risque ( supposé exister), si on exclut
toute opportunité d’arbitrage (OA).
• Une OA est une configuration de marché telle
que l’on gagne à tous les coups
Exemple: cas de deux titres 1 et 2 considérés entre deux
dates 0 et 1
• Sans perte de généralité, on
peut supposer que les prix des deux titres
à la première date sont égaux à 1 ( ajuster
les quantités)
• Supposons que le titre 2 a un prix de
deuxième date plus élevé que celui du titre
1: son rendement ( rapport du prix de
deuxième date au prix de première date)
2.2 Opportunité d’arbitrage
• Dans ce cas, le
rendement du titre 2 est
plus grand que celui du
titre 1 ( rendement entre
les dates 1 et 2=rapport
des prix correspondants)
• Il suffit de vendre le titre 1
pour acheter du titre 2,
sans dépenser d’argent,
en étant assuré d’un gain
systématique:
R2 
P2, 2
P2,1

P2, 2
1

P1, 2
1
 R1
R2  R1  0
• 2.3 Aversion pour le risque
Les agents ,selon leur aversion au risque,
investiront dans des titres plus ou moins risqués
et sont plus ou moins rémunérés en fonction de
leur prise de risque
Les titres risqués ont un rendement espéré plus
élevé que celui du titre sans risque:
On a la prime de risque du titre risqué i ( par
rapport a titre sans risque F
E ( Ri )  RF  0
3. Fonction d’utilité
• Plutôt que de considérer directement l’évaluation monétaire des
conséquences d’un choix, on considère l’utilité de cette valeur
monétaire
• On montre que la rationalité d’un agent qui obéit à l’axiomatique de
VNM peut être résumée par la donnée d’une fonction d’utilité ,
croissante et concave: u
– Croissante: on préfère des conséquences monétaires plus élevées (
valeur du rendement de l’investissement plus élevée)
– Concavité: la dérivée seconde est négative: lorsque les conséquences
monétaires sont élevées, l’utilité croit moins vite que dans la zone des
conséquences monétaires plus faibles
(Voir augmentation marginale de la richesse, lorsqu’on est très riche)
La concavité des fonctions d’utilité permet d’expliquer l’existence d’une
prime de risque dans la valorisation des titres risqués ( voir infra)
• Plus précisément, le choix, en avenir incertain, de l’action ( par
exemple la composition d’un portefeuille) est dicté par la recherche
de la maximisation de l’espérance d’utilité des conséquences
monétaires
Exemple des fonctions d’utilité CARA et CRRA
• CARA : constant absolute risk aversion

u "( x)
 cons tan te  c  0
u '( x)
• On montre que la fonction d’utilité s’écrit ( voir
infra):
u ( x)   exp p(  cx)
• CRRA: constant relative risk aversion
u" ( x)
x
 cons tan te  c
u ' ( x)
4. Équivalent certain et prime de
risque
• 4.1 Equivalent certain
L’équivalent certain est la valeur certaine dont
l’utilité est égale à l’espérance d’utilité
soit m tel que :
U (m)  E (U ( X ))
• Pour une fonction U croissante et concave
on a, d’après l’inégalité de Jensen (admise):
E (U ( X ))  U ( E ( X ))
4.2 Prime de risque
• Comme U est aussi croissante, la dernière inégalité implique que m
vérifie: m<E(X)
• L’équivalent certain est donc obtenu comme l’espérance du gain,
E(X), minorée d’une certaine quantité, positive qui est la prime de
risque
U (m)  U ( E ( X ))    0 / m  E ( X )  
m  E( X )    E( X )  m  
• Une obligation émise par une entreprise ( = emprunt) est affectée par
le risque de faillite de cette entreprise et donc on attend une rentabilité
espérée plus élevée que celle des obligations du trésor: la différence
est la prime de risque exigée pour compenser le risque de faillite.
• Le rendement des obligations du trésor est égal à m ( qui est aussi
l’espérance de rendement de tous les titres dans un monde neutre au
risque donc, de même utilité dans ce monde équivalent dans ce
monde à U(E(X))
E( X )  m    0
5. Trade-off entre espérance de
rentabilité et risque(variance)
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Soit une variable aléatoire Z
On considère la fonction d’utilité
U(z)= -exp(-Az)avec A>0
C’est une fonction croissante: z, U '( z)  A exp( Az)  0
Et c’est aussi une fonction concave:
z, U ' ' ( z )   A2 exp(  Az)  0
• C’est précisément une fonction CARA
U ' ' ( z)
 A 2 exp(  Az)
z, 

A
U ' ( z)
A exp(  Az)
• Si le rendement Z est distribué selon une loi normale:
Z  N ( E ( Z ),Var ( Z ))
•
l’espérance d’utilité est donnée par(voir exercice ce de TD):
A2
E (u ( Z ))  E[ exp( AZ )]   exp( AE ( Z )  Var ( Z )
2
• Et l’équivalent certain a pour expression:
u (m)  E (U ( Z ))
A2
  exp( Am)   exp[ AE ( Z )  Var ( Z )]
2
A
 m  E ( Z )  Var ( Z )
2
• On retrouve donc une expression qui fait apparaître le trade-off
entre la moyenne et la variance