Réseaux de Pétri
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Un automatisme est généralement conçu pour commander une machine ou un groupe de machines. On appelle cette machine la "partie opérative" du processus, alors que l'ensemble des composants d'automatisme fournissant des informations qui servent à piloter cette partie opérative est appelé "partie commande". La modélisation des automatismes peut se faire par GRAFCET "Graphe de Commande EtapesTransitions" ou par RdP "Réseaux de Petri". Les objectifs de l’automatisation d'un système sont nombreux. On site dans ce sens : Amélioration de la productivité de l’entreprise en réduisant les coûts de production (main d’œuvre, matière, énergie) et en améliorant la qualité de produit. Amélioration des conditions de travail en supprimant les travaux pénibles et en améliorant la sécurité. Augmentation de la production. Augmentation de la disponibilité des moyens de production en améliorant la maintenabilité. Un système automatisé comprend deux parties qui dialoguent ensemble Une partie opérative : Elle regroupe l’ensemble des opérateurs techniques tel que les actionneurs et les capteurs qui assurent et contrôlent la production des effets utiles pour lesquels le système automatisé a été conçu. Elle est consommatrice d'énergie. Une partie commande : Elle élabore des ordres à partir des informations délivrées par les capteurs de la partie opérative (dialogue avec la machine) ou à partir des consignes qui sont données par l’opérateur (dialogue homme –machine). La définition est donnée par la norme NFC 63-850 : « Appareil électronique qui comporte une mémoire programmable par un utilisateur automaticien (et non informaticien) à l’aide d’un langage adapté, pour le stockage interne des instructions composant les fonctions d’automatisme comme par exemple : - Logique séquentielle et combinatoire ; - Temporisation, comptage, décomptage, comparaison ; - Calcul arithmétique ; - Réglage, asservissement, régulation, etc, pour commander, mesurer et contrôler au moyen d’entrées et de sorties (logiques, numériques ou analogiques) différentes sortes de machines ou de processus, en environnement industriel. » Un AP est constitué essentiellement de 5 modules : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ L’unité centrale Le module d’entrées Le module de sorties Le module d’alimentation Le module de communication Notions de base Propriétés des RdP Graphe des marquages Algèbre Linéaire Certains systèmes logiques ou de commande de systèmes séquentiels sont souvent complexes et leurs conception pose des problèmes délicats. Il est donc nécessaire de disposer d’outils puissants qui permettent de représenter d’une façon réaliste l’évolution du système de façon a en faciliter la conception. En pratique, la représentation par Réseaux de pétri (RdP) s’est avérée être un bon compromis entre la souplesse d’emploi et la puissance de la représentation. Le RdP permettent de décrire d’une façon relativement simple l’évolution d’un processus ou la commande d’un système séquentiel. Leur usage s’est répandu dans de nombreux domaines tels que les automatismes, les systèmes temps réels ou les protocoles de communication. On considère un atelier a flot représenté par la figure suivante. Dans cet atelier nous avons des pièces qui arrivent dans le stock ST1, passent ensuite par la machine MA1, puis ont transférés dans le stock ST2, enfin passent sur la machine MA2 avant de sortir de l’atelier. Nous supposons que les stocks ont une capacité illimitée. Il ne peut y avoir qu’une seule pièce sur chaque machine. Il y a deux types de pièces: p1 et p2. Les pièces arrivent dans un ordre quelconque. Elles sont donc mélangés dans le stock ST1 mais elles passent sur chacune des deux machines dans un ordre bien défini; c’est-à-dire une alternance p1 puis p2, puis p1 etc. Le RdP nous permettent de modéliser le fonctionnement de cet atelier et de la représentation obtenue est donnée par la figure cidessus. Les places P1 et P9 représentent les stocks initiaux respectivement en pièces p1 et p2 et l’absence de toute marque dans ces deux places indique que le stock ST1 est vide La présence d’une marque dans chacune des deux places P5 et P7 indique que chacune des deux machines MA1 et MA2 sont toutes prêtent a recevoir une pièce p1. La présence d’une marque dans chacune des deux places P6 et P8 indique que chacune des deux machines MA1 et MA2 sont toutes prêtent a recevoir une pièce p2. Quand une marque apparaît dans la place P2 ou P4, cela indique que MA1 ou MA2 est en train de travailler sur une pièce p1. Quand une marque apparaît dans la place P10 ou P12, cela indique que MA1 ou MA2 est en train de travailler sur une pièce p2. cette évolution caractérise le séquencement des différents états de l’atelier et le RdP nous permet de modéliser et de visualiser le comportement de l’atelier 1.1 Places, transitions et arcs Un RdP est composé de places, transitions et arcs : Une place est représentée par un cercle Une transition par un trait Un arc relie soit une place à une transition soit une transition à une place. Chaque place contient un nombre entier positif ou nul de marques ou jetons. Le marquage M définit l'état du système décrit par le réseau à un instant donné. C'est un vecteur colonne de dimension le nombre de places dans le réseau. Le iéme élément du vecteur correspond au nombre de jetons contenus dans la place Pi . Exemple 1 Une transition est franchissable lorsque toutes les places qui lui sont en amont (ou toutes les places d'entrée de la transition) contiennent au moins un jeton. Le franchissement consiste à retirer un jeton de chacune des places d'entrée et à rajouter un jeton à chacune des places de sortie de la même transition. Une transition sans place d'entrée est toujours franchissable : c'est une transition source. Le franchissement d'une transition source consiste à rajouter un jeton à chacune de ces places de sortie. Le franchissement d'une transition source consiste à rajouter un jeton à chacune de ces places de sortie. Une transition sans place de sortie est une transition puits. Le franchissement d'une transition puits consiste à retirer un jeton de chacune de ses places d'entrée. Une séquence de franchissement S est une suite de transitions Ti Tj…Tk qui peuvent être franchies successivement à partir d'un marquage donné. Une seule transition peut être franchie à la fois. T1T2 et T1T3 sont deux séquences de franchissement: avc L'ensemble des marquages accessibles est l'ensemble des marquages Mi qui peuvent être atteint par le franchissement d'une séquence S à partir du marquage initial M0. On utilise le graphe de marquages quand le nombre de marquages accessibles est fini. Un RdP vivant si aucune transition ne peut devenir infranchissable Une transition est quasi vivante, s’il existe une séquence de franchissement qui contient Tj. Il y a blocage si aucune transition ne peut être franchie (système mal conçu) RdP borné est un RdP ayant de marques finis Un RdP sauf est un RdP 1-borné; il y a au plus une marque dans chaque place RdP borné, RdP sauf ◦ Une place Pi est dite bornée pour un marquage initial M0 si pour tout marquage accessible, le nombre de marques dans Pi est fini ◦ Un RdP est borné pour un marquage initial M0 si toutes les places sont bornées pour M0. ◦ RdP sauf, si pour chaque place contient au plus une marque Vivacité et Blocage ◦ Une transition Tj est vivante si pour tout marquage accessible Mi, il existe une séquence S qui contient la transition Tj ◦ Un RdP est vivant pour un marquage initial M0 si toutes les transitions sont vivantes ◦ Une transition est quasi-vivante, s’il existe une séquence de franchissement qui contient Tj a partir de M0. ◦ Un blocage (état puit) est un marquage tel qu’aucune transition n’est validée ◦ Les propriétés quasi vivacité et blocage sont indépendante ◦ Exemple 4 Un RdP généralisé est un RdP dans lequel des poids (nombres entiers strictement positifs) sont associés aux arcs. Si un arc ( Pi,Tj ) a un poids k : la transition Tj n'est franchie que si la place Pi possède au moins k jetons. Le franchissement consiste à retirer k jetons de la place Pi. Si un arc ( Tj,Pi ) a un poids k : le franchissement de la transition rajoute k jetons à la place Pi. Lorsque le poids n’est pas signalé, il est égal à un par défaut. Soit S une séquence de franchissement réalisable à partir d'un marquage Mi : Mi [S > Mk Soit S le vecteur caractéristique de la séquence S : c'est un vecteur de dimension m égale au nombre de transitions dans le réseau. Sa composante numéro j correspond au nombre de fois où la transition Tj est franchie dans la séquence S. Exemple si S=T2T4T1T4T2T4 alors S=[1, 2, 0, 3]T Si la séquence de franchissement S est tel que Mi [S > Mk alors l'équation fondamentale correspondante s'écrit : Soit la séquence S= T1T2 donc S =[1, 1, 0, 0]T
