Espace libre (notion 8)

290- Titre
Partie II :
Propagation en espace libre
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291- Plan
Plan du cours
 Introduction
Historique, généralités
Chaîne de transmission radio
 Partie I : Propagation guidée
Lignes de transmission
régime sinusoïdal
régime impulsionnel
 Partie II : Propagation en espace libre
Ondes électromagnétiques
Introduction Liaison radio
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292- Ondes
I. LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
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293- Intro
I.1. Introduction
On a 2 types de transmissions :
Propagation guidée
Propagation espace libre
Propagation guidée
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294- Intro
I.1. Introduction
Quand on utilise des câbles de transmission, les
équations des télégraphistes permettent de garder
un raisonnement en tension et courant classique.
Pour transmettre des informations sans support
physique, on utilise la propagation des ondes
électromagnétiques.
Hors de tout support conducteur, il ne peut exister
de courants, il faut alors se baser sur les équations
de Maxwell pour prévoir le comportement des
champs électrique et magnétique dans l’espace.
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295- Intro
I.1. Introduction
I.1.a. De la propagation guidée à l’espace libre
Dans une ligne de transmission, les courants et
tensions existant sur les conducteur créent des champs
électrique et magnétique dans le diélectrique.
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296- Intro
I.1. Introduction
Quand on veut effectuer une transmission sans fils,
c’est alors les champs électrique et magnétique que l’on
va chercher à rayonner dans l’espace.
Le dispositif permettant d’effectuer la transmission entre
l’énergie guidée et l’énergie rayonnée est appelé une
antenne
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297- Intro
I.1. Introduction
I.1.b. En régime statique
L’électrostatique nous dit que le champ électrique dérive
d’un potentiel scalaire :
E grad V
De même, la magnétostatique nous donne le
champ magnétique en fonction de la densité de
courant :

H.dl  i .ds
S
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298- Intro
I.1. Introduction
I.1.c. Grandeurs caractéristiques du milieu
Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes
électromagnétiques, un milieu sera définit par :
Sa permittivité électrique complexe
 'j''
(F/m)
Sa perméabilité magnétique complexe
 'j''
Sa conductivité
 (S/m)
pertes ohmiques
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299- Intro
I.1. Introduction
Des courants et des charges présents dans ce milieu
sont appelés sources primaires :
Densité surfacique de courants I p (A/m²)
Densité volumique de charges Qp (Cb/m3)
Ces sources créent :
Des champs électrique et magnétique E (V/m)
H
D’autres courants et charges Ic et Qc
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(A/m)
300- Intro
I.1. Introduction
I.1.d. Les équations de Maxwell
Elles régissent les variations des vecteurs ( e, h, d, b )
dans le temps et dans l’espace, compte tenu de l’existence de
sources primaires ( i p , q p ) et des courants et charges qu’elles
créent ( i C , q C ). En valeurs instantanées complexes on écrit :

div d   q
b
rot e  
t
P
 qC

div b   0
d
rot h 
 iP  iC
t
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301- Intro
I.1. Introduction
Elles doivent être complétées par l’équation de conservation des
charges et des courants :

div i P  i C


 qP  qC
t
0
Dans les cas d’études d’ondes propagées, on va se
trouver en général en dehors du domaine où se
situent les sources primaires.
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302- Intro
I.1. Introduction
Pour des milieux homogènes et isotropes, on obtient alors les
équations suivantes :

rot e  

div d   q
b  h 
h
t
e
rot h  e  
t
c


 d  e


i c  e
 e 
id  
t 
div b  0
Courant de déplacement (négligeable dans les conducteurs)
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303- Intro
I.1. Introduction
Quand on se place en régime sinusoïdal, ces équations
deviennent :

div D   Q
rot E   j H
C

div B  0
rot H  E  jE
E, H, D, B, QC sont les amplitudes complexes des
grandeurs correspondantes.
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304- Intro
I.1. Introduction
I.1.e. Permittivité équivalente d’un milieu
- Milieu sans perte ( = 0 et  réel)

rot H  jE
- Milieu avec pertes conductrices ( fini et  réel)

rot H  E  jE  j e E

avec  e    j

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305- Intro
I.1. Introduction
 e est la permittivité équivalente ; elle peut s’écrire également
sous la forme :
e     /  exp  j
2
avec :
  
  arctg  
  
2
 est l’angle de pertes du diélectrique

tg   

tg  est le facteur de pertes du diélectrique
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306- Intro
I.1. Introduction
- Milieu avec pertes conductrices et diélectriques ( fini et 
complexe)

rot H  E  jE  j e E
avec :
e
 e  ' j

e
et
 e    ' '
est la permittivité équivalente
 e est la conductivité équivalente.
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307- Intro
I.1. Introduction
I.1.f. Interface entre deux milieux
- Interface sans sources entre deux milieux quelconques
Ces deux milieux sont caractérisés par (1, 1, 1) et
(2, 2, 2) et sont séparés par une interface sur laquelle il n’y
a ni charges, ni courants. Cas des diélectriques parfaits ou à
pertes et des conducteurs imparfaits.
E1 H 1
1, 1, 1
2, 2, 2
E2 H 2
 Continuité des composantes tangentielles des
champs ( Eet H)

Continuité des composantes normales des
inductions (D et B )
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308- Intro
I.1. Introduction
- Interface avec un conducteur parfait
1, 1, 1
E1 H 1
Le milieu 2 est caractérisée par  = . Les champs E et
H sont nuls à l’intérieur du conducteur (profondeur
de pénétration  = 0).
Il y a, à l’interface des deux milieux, apparition de
courants superficiels IS (A / m) et de charges superficielles
QS (Cb / m 2 )
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309- Intro
I.1. Introduction
Sur l’interface  , nous avons les relations suivantes :
(indice 1 pour le milieu 1 et n normale à , orienté de 2  1) :
n  E1  0
n  H1  I S
n.D1  Q S
n.B1  0
 Composante tangentielle du champ E est nulle.
 Composante normale du champ H est nulle.
Remarque :
Ces équations et ces conclusions restent valides pour un bon
conducteur caractérisé par   100, ce qui est vérifié pour  10012.
( 30.10² S/m pour 10 GHz)
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310- Intro
I.1. Introduction
- Interface étant un feuillet conducteur
Ces deux milieux sont caractérisés par (1, 1, 1) et (2, 2,
2) et sont séparés par une couche conductrice d’épaisseur nulle
si  =  ou d’épaisseur < 10 si la conductivité est finie. Dans ces
conditions le feuillet est porteur de courants et de charges
superficiels I S et Q S .En conséquence, nous obtenons les relations
suivantes ( normale à , orienté de 2  1) :
n
n  (E1  E 2 )  0
n  (H1  H 2 )  I S
n.(D1  D 2 )  Q S
n.(B1  B 2 )  0
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311- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
Pour réaliser une transmission sans fil, on va donc
produire des champs électrique et magnétique à
partir de courants et charges présents sur une
antenne, elle-même alimentée par une ligne de
transmission. Ces champs vont eux créer des
courants et charges sur l’antenne de réception après
s’être propagés dans l’espace et fournir ainsi de
l’énergie à la ligne en réception.
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312- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
x
E
E
z
H
y
Une source ponctuelle va rayonner dans l’espace une OEM
sphérique (les points équiphase ou surface d’onde forment
une sphère centrée en E).
Quand on se place suffisamment loin de la source, au niveau
du point d’observation, la surface d’onde peut être assimilée
à un plan : on parle alors d’onde plane.
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313- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
I.2.a. Propagation dans des diélectriques sans pertes
Une onde OEM est constituée d’un champ électrique et d’un
champ magnétique qui forment un trièdre direct avec la direction
de propagation; soit le vecteur unitaire de cette propagation, nous
avons :

E Hu


H  uE

anim
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314- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
 et  sont la permittivité et la perméabilité magnétique du milieu
ou s’effectue la propagation. Dans le cas de l’air ou du vide :
 = 0 = 1/(36.109) en (F/m)
et
= 0= 4.10-7 en (H/m)
Les équations de propagation pour les champs e et h (exprimés
en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme
suivante :
 e
e   2  0
t
2
 h
 h   2  0
t
2
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315- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la
direction Oz :
2 e
2 e
  2  0 et
2
z
t
2 h
2 h
  2  0
2
z
t
1
v

Le rapport
 représente la vitesse de propagation de
l’onde. Sachant que généralement on considère que  r  1
(sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit :
1
1
c
c
v




 0 0  r
r n
où n est l’indice de réfraction du milieu et r est sa permittivité
relative ou constante diélectrique.
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316- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la
forme :
e(z, t)  E exp j(t  kz) et h(z, t )  H exp j(t  kz)
avec : k 
 2

  
v

(paramètre de phase de l’onde)
Le rapport des modules de Eet H exprime l’impédance d’onde du
milieu considéré (en W) :




H
E
c’est une quantité réelle.
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317- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
I.2.b. Propagation dans des diélectriques avec pertes
Le même formalisme mathématique peut être appliqué aux
milieux à pertes en prenant soin de tenir compte de la
permittivité équivalente. La solution de l’équation de
propagation se met sous la forme
e  E exp( jt ) exp(  z)
où     j est
le
paramètre
de
propagation.
Dans un milieu à faibles pertes ( e  '  1 ) on note que :
     f
L’impédance d’onde utilise la permittivité équivalente ; elle est
par conséquent complexe dans un milieu à pertes.
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318- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
I.2.c. Puissance et régime d’onde
*
1
Le vecteur de Poynting complexe P  E  H (en W/m²) permet de
2
déterminer la puissance transportée par une onde EM et ainsi en
déduire le régime d’ondes associés :
 Pour une onde progressive pure, pour laquelle E et
H sont en phase (leur amplitude est réelle), ce vecteur est
une quantité réelle : cas d’un diélectrique sans perte.
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319- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
E
 Pour une onde semi-stationnaire, pour laquelle
H ne sont pas en phase (leur amplitude est complexe),
vecteur est une quantité complexe et la densité
puissance active correspond à la partie réelle du vecteur
Poynting complexe : cas d’un diélectrique avec pertes.
et
ce
de
de
E
 Pour une onde stationnaire, pour laquelle
et
H sont en quadrature ce vecteur est une quantité imaginaire
pure et la puissance est une puissance réactive.
Lors de l’étude de réflexion des ondes EM, l’état EM en un point
quelconque du diélectrique résulte de la superposition de ces
deux ondes incidente et réfléchie.
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320- Intro
I.2. Propagation d’une OEM
 Réflexion sur un plan conducteur parfait sous incidence
normale :
La propagation est caractérisée par l’existence d’un
régime d’ondes stationnaires pures. Les vecteurs E et Hsont en
quadrature dans le temps et dans l’espace.
 Réflexion sur un plan conducteur sous incidence oblique,
cas TE ou TM :
La propagation est caractérisée par l’existence d’un
régime d’ondes stationnaires pures dans une direction
perpendiculaire à la surface d’interface , d’un régime d’ondes
progressives dans la direction Oz. Dans une direction
quelconque, on observe un régime d’ondes semi-stationnaires.
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