1 EXERCICE I : Soit un pendule simple de masse (m), de longueur l

Université du Maine
Faculté des Sciences et Techniques
L2 : Physique Chimie - E2I
Cours d’Ondes
DS3 du Jeudi 21 Mai 2016
Durée : 2h, Documents interdits, 2 pages.
Il sera tenu compte de la clarté de rédaction et des raisonnements.
EXERCICE I :
Soit un pendule simple de masse (!), de longueur ! et de pulsation !! (!! = !/! dans le
cas du pendule isolé, où ! est l’accélération de pesanteur). On couple ensuite une assemblée
de pendules séparés par une distance d (voir figure 1). Les ressorts de couplage ont une
constante élastique ! = !!!! (figure 1). Dans cette chaîne, la première masse est soumise à
une force ! = !! ! !"# suivant Ox.
1) Dans le cas où l’écart du pendule par rapport à la verticale est faible, donner
l’expression entre !! , !! !" !.
2) Faire le bilan des forces que subit la masse d’indice n et représenter ces forces sur une
figure que vous ferez à part. On travaillera dans le repère (Oxz)
3) Montrer, dans le cadre de l’approximation faite en question 1, que la première et la
néme masses sont soumises dans la direction Ox aux forces respectives suivantes :
!"!!
!! = !! ! !"# −
+ !(!! − !! )
!
!"!!
!! = −
+ !(!!!! + !!!! − 2!! )
!
4) Déduire l’équation de mouvement selon Ox de ces masses connectées.
5) En considérant que cette chaîne est le siège de la propagation d’ondes planes du type,
un=Aei(wt-knd) (A=constante, k le vecteur d’onde), montrer que l’expression de la
!"
relation de dispersion ω=f(k) est donnée par : !! = !!! + 4!!! !"#! ( ! ) [où
!! = !/! et !! = !/!]. En déduire la bande de passante de cette chaîne et
donner l’expression de la vitesse de groupe. Représenter la vitesse de groupe.
6) Que se passe-t-il en terme de propagation d’onde, si ! >
!! + 4!!! ou si ! < !! ?
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#"
#"
#"
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Figure 1 : Pendules de pesanteur couplés par des ressorts
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Université du Maine
Faculté des Sciences et Techniques
EXERCICE II : (les trois questions sont indépendantes)
1) Soit une onde électromagnétique plane, monochromatique de pulsation ω dont leurs
champs électrique et magnétique s’écrivent en notation complexe sous la forme :
! "
!!!" !!"
(E = E0 ei(!t!K. r ) )
Montrer à l’aide des équations de Maxwell que le vecteur d’onde, le champ électrique et le
champ magnétique forment un trièdre direct et donner la relation entre ces 3 termes ( E , B et
K ).
2) Soit une onde électromagnétique plane de pulsation ω , qui se propage dans le vide suivant
la direction Oz. Soit E0 l’amplitude du champ électrique associé à cette onde.
a) Donner les expressions des champs électrique et magnétique si l’onde est polarisée
suivant une direction qui fait 60° avec l’axe Ox.
b) Donner les expressions du vecteur de Poynting et de l’intensité moyenne rayonnée.
3) Donner les équations de Maxwell dans un matériau de permittivité diélectrique ε et de
perméabilité magnétique µ.
a) A partir de ces équations de Maxwell déterminer l’équation de propagation du champ
électrique.
b) Que devient cette équation de propagation dans le vide ? Tracer la courbe de
dispersion
! = f (K ) dans le cas d’une propagation dans la vide et dans le milieu
matériel. Dans quel milieu, la lumière va-t-elle plus vite ? Pourquoi ? Commentez
avec des arguments physiques.
Relations mathématiques utiles :
div(rot ( A)) = 0
rot (rot ( A)) = grad (div( A)) − Δ. A
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