Feuille de TD n˚7

Année Universitaire 2013/2014
Statistique
Université de Nice Sophia-Antipolis
L2 MI
TD de Statistique
Feuille de TD n˚7
Exercice 1 :
On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi de
Poisson de paramètre λ.
1. Rappeler l’expression des estimateurs de θ obtenus par la méthode des moments et du
maximum de vraisemblance.
2. Ces deux estimateurs sont-ils sans biais? Sinon, modifier celui qui ne l’est pas pour qu’il
le devienne. Sont-ils convergents? Quel est le meilleur des estimateurs ?
Exercice 2 :
On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi de
densité de paramètre a > 0
k+1 k
x , si x ∈ [0, a];
ak+1
0,
sinon.
où k est un paramètre connu strictement supérieur à -1.
1. Montrer que f est une densité de probabilité. La tracer pour k = 0. Interpréter le
paramètre a.
2. Calculer son espérance E(X). En déduire un estimateur de a. Cet estimateur est-il sans
biais?
3. Calculer la vraisemblance du n-uplet (x1 , . . . , xn ). En déduire que sup Xi est l’estimateur
1≤i≤n
du maximum de vraisemblance.
4. Déterminer la fonction de répartition puis la loi de l’estimateur sup Xi . Calculer son
1≤i≤n
espérance et en déduire un estimateur sans biais de a.
Exercice 3 :
Soit X une variable aléatoire de densité :
f (x) =
2x
θ2
0
si x ∈ [0, θ]
sinon.
1. Déterminer un estimateur de θ, par la méthode des moments, construit à partir d’un
échantillon (X1 , . . . , Xn ) de X, et étudier ses propriétés.
2. Déterminer un estimateur du maximum de vraisemblance sans biais θ̂n de θ, construit à
partir d’un échantillon (X1 , . . . , Xn ) de X, et étudier ses propriétés.
1
Exercice 4 :
On considère une échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi
d’espérance inconnue θ > 0 et de variance finie, dont la densité est définie par :
1
1
(1 − x) θ −1 si x ∈ [0, 1[
θ
f (x) =
0
sinon.
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Déterminer la vraisemblance du n-uplet (x1 , . . . , xn ).
3. Estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance.
4. On considère la variable Z = ln(1 − X). Déterminer sa fonction de répartition et en
déduire que Z suit une loi exponentielle.
5. L’estimateur obtenu est-il sans biais?
6. Calculer la quantité d’information relative à θ contenue dans l’échantillon, autrement dit
In (θ). L’estimateur est-il efficace?
Exercice 5 :
On veut évaluer la proportion p des foyers d’un département qui disposent d’une machine
à laver. Ne voulant pas procéder à un recensement complet, on se propose d’estimer cette
proportion à partir d’un échantillon de n ménages tirés au hasard et avec remise dans la
population du département.
1. Exprimer la variable aléatoire Y représentant le nombre de foyers équipés d’une machine à
laver sous forme de somme de variables aléatoires à expliciter. Donner la loi de probabilité
de X. En déduire un estimateur convergent noté Xn .
2. On propose Tn = Xn (1 − Xn ) comme estimateur de p(1 − p). Est-il sans biais?
3. Déterminer un estimateur sans biais de p(1 − p).
P Yi
4. On tire un nouvel échantillon de taille m noté (Y1 , . . . , Ym ) et on pose Ym = m
i=1 m .
Quelles conditions doivent vérifier a et b pour que U = aXn + bYm soit un estimateur sans
biais de p?
5. En déduire un estimateur sans biais de p meilleur que Xn et Ym .
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