TD3 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1
Année 2012-2013
Master de mathématiques
Statistique mathématique
TD 3 – Maximum de vraisemblance
Exercice 1. Loi puissance
Soit (Rn+ , Q⊗n
) un modèle statistique tel que, pour tout θ ∈ Θ, Qθ désigne la loi de densité
θ
θ∈Θ
fθ (x) = (1 + θ)xθ 1I[0,1] ,
1. Quelles sont les valeurs admissibles pour θ ?
2. Déterminer l’estimateur θ̂n du maximum de vraisemblance pour θ. Que dire de ses propriétés
(biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 2. Lois de Poisson
Soit (Rn+ , {P(θ)⊗n }θ>0 ) un modèle statistique.
1. Calculer l’EMV de ce modèle.
2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 3. Soit (Rn+ , Q⊗n
) un modèle statistique tel que, pour tout θ > 0, Qθ désigne la loi de densité
θ
θ>0
θ2 xe−θx 1IR+ (x).
1. Calculer l’EMV de ce modèle.
2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?
Exercice 4.
Dans la suite, λ désigne la mesure de Lebesgue sur R. Soit (Rd , Q⊗n
) le modèle statistique où,
θ
θ>1
pour tout θ > 1, Qθ possède une densité par rapport à λ + δ1 donnée par
fθ (x) =
1
1I (x).
1 + θ ]0,θ]
1. Montrer que, pour tout θ > 1, fθ est bien une densité de probabilité pour la mesure λ + δ1 .
2. Calculer l’EMV θ̂ de θ pour la mesure dominante (λ + δ1 )⊗n .
3. Déterminer la fonction de répartition de θ̂.
4. En déduire que θ̂ est consistant. Préciser sa vitesse et sa loi limite.
5. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 − α pour θ.
Exercice 5.
Soient t1 , t2 , . . . , tn des réels non nuls connus. On considère le modèle statistique (Rn , {⊗ni=1 N (θi , 1)}θ∈R ).
1. Calculer l’EMV, noté θ̂ dans la suite.
2. Déterminer la loi de θ̂.
1
3. Étudier le biais et le risque quadratique de θ̂.
4. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 1 − α pour θ.
Pn 2
5. On suppose que
i=1 ti tend vers c > 0 lorsque n → ∞. Montrer que θ̂ est consistant.
Déterminer sa vitesse et sa loi limite.
Exercice 6.
Soit ([−1/2, 1/2]n , Q⊗n
) un modèle statistique tel que, pour tout θ ∈ [−1, 1], Qθ désigne la loi
θ
θ>0
de densité
fθ (x) = (1 − θ)1I[−1/2,0[ (x) + (1 + θ)1I[0,1/2[ (x).
Pn
On note (X1 , . . . , Xn ) un échantillon de Q⊗n
i=1 1I[0,1/2] (xi ).
θ et s(x1 , . . . , xn ) =
1. Calculer la loi de s(X1 , . . . , Xn ).
2. Déterminer l’information du modèle.
3. Calculer l’EMV de θ.
4. Étudier ses propriétés : biais, risque quadratique, consistance, loi limite.
Exercice 7. Estimation d’un coefficient de mélange
On considère n observations indépendantes (X1 , . . . , Xn ) de loi p U[0,a] + (1 − p)U[0,b] . On suppose
que a < b, avec a et b connus.
1. Déterminer la fonction de répartition et la densité de X1 .
2. Soit Na la variable aléatoire égale au nombre d’individus Xi compris entre 0 et a. Montrer que
la vraisemblance peut s’écrire :

na 
1 − p n−na
 p + 1−p
si x1 , . . . , xn ∈ [0, b],
L(x1 , . . . , xn , p) =
a
b
b

0
sinon,
où na = na (x1 , . . . , xn ) est le nombre d’observations comprises entre 0 et a.
3. En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance p̂ du paramètre p en fonction de la
variable aléatoire Na . Quel est son biais ?
4. Calculer E(X). Déterminez l’estimateur p∗ du paramètre p obtenu par la méthode des moments
basée sur le moment d’ordre 1. Calculez le biais de cet estimateur.
5. Des deux estimateurs précédents, lequel est le meilleur en terme d’erreur quadratique moyenne ?
en terme de variance ?
Exercicen8.
o
⊗n
Soit (Rn , U[θ,θ+l]
θ,l>0
) un modèle statistique.
1. Calculer son EMV (θ̂, ˆl). Prouver qu’il est consistant.
2. Déterminer la densité du couple 1 max Xi , min Xi . En déduire la fonction de répartition
1≤i≤n
1≤i≤n
de ˆl.
3. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance pour le paramètre l au niveau de confiance
1 − α.
1. Si (Z1 , Z2 ) est un couple de v.a.r. sur (Ω, A, P), sa fonction de répartition F : (z1 , z2 ) 7→ P(Z1 ≤ z1 , Z2 ≤ z2 ),
est liée à sa densité f (si elle existe) par la relation f = ∂ 2 F/∂z1 ∂z2 p.p.
2