1c-division-congruence - ambition

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SPÉCIALITÉ MATHS
Mme MAINGUY
L’arithmétique
L’arithmétique est l’étude des nombres entiers. Dans cette partie vous allez vous former à des raisonnements fins et ambitieux. Vous développerez votre esprit d’analyse, votre capacité à prendre des initiatives. Ces m éthodes vous seront très utiles dans vos études post-­‐bac. En arithmétique, nous travaillerons sur les notions de multiples, de diviseurs, de PGCD, de congruences. En dehors de l’étude purement mathématique des nombres entiers, l’arithmétique est aujourd’hui utilisée en cryptologie (science du codage et du décodage) : les codes-­‐barres, les codes ISBN les RIB se terminent par des clés ayant pour but de détecter certaines erreurs. La division euclidienne et les congruences sont les principaux outils permettant de fabriquer ces clés. chapitre 1 :
divisibilité et congruences
Introduction On rappelle que  est l’ensemble des entiers relatifs et  est l’ensemble des entiers naturels. L’ensemble  vérifie deux propriétés (admises) auxquelles nous ferons fréquemment appel dans ce chapitre : •
Toute partie non vide de  admet un plus petit élément ; •
Toute partie non vide et majorée de  admet un plus grand élément. Pouvez-­‐vous donner un exemple de partie non vide de  ? Puis d’une partie non vide et majorée de  ? On peut remarquer que la deuxième propriété est vraie dans  ce qui n’est pas le cas de la première. (Quelle hypothèse supplémentaire faudrait-­‐il ajouter pour que la première soit vraie dans  ?) I / Divisibilité dans  définition Soient a et b deux entier relatifs et b ≠ 0 . On dit que b divise a et on note b a , s’il existe un entier relatif k tel que a = k × b . On dit aussi que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a . remarque ( ) ( )
l’égalité a = k × b s’écrit aussi −a = ( −k ) × b . Ainsi , si b a alors b −a . L’égalité a = k × b s’écrit aussi a = −k × −b donc si b a alors − b a . D’autre part : On en déduit la recherche des diviseurs d’un entier relatif a dans  , revient donc à chercher les diviseurs de a dans  . LFA / Terminale S
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exemple Déterminons les diviseurs de −36 : On peut écrire : 36 = 1× 36 = 2 × 18 = 3× 12 = 4 × 9 = 6 × 6 Il en résulte que les diviseurs de 36 sont : On en déduit que : Conséquences ! tout entier relatif divise 0 cad : ∀b ∈, b 0 ; ! les seuls diviseurs de 1 sont : 1 et −1 ; ! −1 et 1 divisent tout entier relatif a cad : −1 a et 1 a ; ! Pour tout entier relatif a , −a et a sont des diviseurs de a : cad ∀a ∈, a a et − a a ; ! deux entiers relatifs opposés ont les mêmes diviseurs. Propriétés Soient a , b et c trois entiers relatifs non nuls : 1/ si c b et b a alors c a (transitivité) ; 2/ si a b et b a alors a = b ou a = −b ; 3/ si a b et b ≠ 0 alors a ≤ b . Ainsi, tout entier admet un nombre fini de diviseurs ; 4/ si a b et a c alors pour tous entiers relatifs λ et µ , a λ b + µc ; 5/ si a b alors a bc 6/ si a b alors ac bc 7/ si a b et a′ b′ alors aa′ bb′ . En particulier a b pour tout n ∈ ∗ n
n
démonstration 1/ si c b alors il existe un entier k tel que b = k × c ; si b a alors ils existe un entier k ′ tel que a = k ′ × b . On a alors : a = k ′ × b = k ′ × k × c Ainsi a = kk ′ × c cad : c a . ( )
2/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka ; si b a alors il existe un entier k ′ tel que a = k ′b . Il en résulte que : a = kk ′a . Ainsi : kk ′ = 1 . Or les seuls diviseurs de 1 sont 1 et − 1 . conclusion : k = k ′ = 1 ou k = k ′ = −1 . 3/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka . Il en résulte que b = k × a . or b ≠ 0 , donc k ≥ 1 d’où a ≤ b . 4/ si a b et a c alors il existe deux entiers k et k ′ tels que b = ka et c = k ′a . (
)
Pour tous entiers λ et µ , on a alors : λ b + µc = λ ka + µ k ′a = λ k + µ k ′ × a , cad que : a λ b + µc . ( )
5/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka . Alors bc = kc × a et a bc . 6/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka . Alors bc = k × ac cad ac bc . 7/ si a b et a′ b′ alors il existe deux entiers k et k ′ tels que b = ka et b′ = ka′ . On a alors : bb′ = kk ′ aa′ cad aa′ bb′ . remarque : en particulier, a 2 b2 et en utilisant un raisonnement par récurrence, on démontre aisément que pour tout n ∈∗ , on a a n bn . ( )
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exercice 1 On veut déterminer tous les couples a ; b d’entiers relatifs tels que 4a 2 − b2 = 27 (
)
1) Factoriser 4a 2 − b2 . (
)
2) Dans cette question, a et b sont des entiers naturels. Déduire de la question précédente que a ; b est solution si et seulement si : ⎧2a − b = 1
⎧2a − b = 3
et ⎨
⎨
⎩2a + b = 27
⎩2a + b = 9
3) Résoudre les deux systèmes ci-­‐dessus et conclure. solution 1)
( )
(
2
)(
)
4a 2 − b2 = 2a − b2 = 2a − b 2a + b . (
)(
)
2) On résout 2a − b 2a + b = 27 : ! on sait d’une part que : 27 = 1× 27 = 3× 9 ! on sait d’autre part que a et b sont des entiers naturels ; on en déduit alors que 2a − b < 2a + b (puisque b ≥ 0 ) On en déduit que résoudre 2a − b 2a + b = 27 revient à résoudre : (
)(
⎧2a − b = 1
et
⎨
⎩2a + b = 27
)
⎧2a − b = 3
⎨
⎩2a + b = 9 CQFD
3) ⎧2b = 26
⎧2b = 6
⎧2a − b = 1
⎧b = 13
⎧2a − b = 3 ⎪
⎧b = 3
⎪
⇔⎨
et ⎨
⇔⎨
⎨
b+1 ⇔ ⎨
b+3 ⇔ ⎨
⎩2a + b = 27
⎩a = 7
⎩2a + b = 9 ⎪ a =
⎩a = 3
⎪a = 2
2
⎩
⎩
conclusion : Dans 2 , l’ensemble de solutions de l’équation : 4a 2 − b2 = 27 est : S=
{( −3 ;−3) ; ( −3 ;3) ; (3 ;−3) ; (3 ;3) ; ( −7 ;−13) ; ( −7 ;13) ; (7 ;−13) ; (7 ;13)} exercice 2 Les questions sont indépendantes. 1) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. 2) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair. 3) Démontrer qu’il n’existe pas d’entier a et b tels que 26a − 54b = 2013 solution 1) Notons n le plus petit de ces trois entiers. Les deux entiers suivants s’écrivent donc n + 1 et n + 2 Le somme de ces trois entiers s’écrit : n + n + 1+ n + 2 = 3n + 3 = 3 n + 1 . D’où le résultat. (
)
2) Soit n le plus petit des deux entiers. L’entier consécutif est n + 1 . Le produit de ces deux entiers s’écrit : n n + 1 . (
)
n est pair, alors il existe un entier k tel que n = 2k . Ainsi : n ( n + 1) = 2k ( n + 1) = 2 ⎡⎣ k ( n + 1) ⎤⎦ et donc n ( n + 1) est pair. 1er cas : 2nd cas : n est impair alors n + 1 est pair. Il existe alors un réel k ′ tel que n + 1 = 2 k ′ . Ainsi : n n + 1 = 2 k ′n . D’où le résultat. (
)
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(
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)
26a − 54b = 2 13a − 27b . Il en résulte que 26a − 54b est pair. Or 2013 est impair. 3)
Il n’existe donc pas d’entier a et b vérifiant 26a − 54b = 2013 exercice 3 (astuce et méthode à retenir !) Soit n un entier différent de −4 . {
}
1) Démontrer que si un entier k divise simultanément n + 4 et 5n + 21 , alors k ∈ −1;1 . { }
2) En déduire que, pour tout n ∈ − −4 , la fraction 5n + 21
est irréductible. n+4
solution 1)
(1) . On sait aussi que k 5n + 21 ( 2) De (1) et ( 2 ) , on peut déduire que : k 5n + 21− 5( n + 4 ) cad k 5n + 21− 5n − 20 ou encore k 1 . k n + 4 ⇒ k 5( n + 4 )
Ainsi k = 1 ou k = −1 . CQFD 2) On déduit de les seuls diviseurs communs à n + 4 et 5n + 21 sont 1 et −1 . Le résultat est immédiat. II / Division euclidienne A! division euclidienne dans  théorème (
)
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d’entiers q ; r tel que : 0 ≤ r < b a = bq + r avec Déterminer q et r , c’est effectuer la division euclidienne de a par b . On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. exemples 1/ le cas a ∈ est connu ! Si l’on effectue la division euclidienne de 37 par 3 , on cherche le plus grand multiple de 3 inférieur à 37 , c’est-­‐à-­‐dire dans 37 , combien de fois 3 ? On a donc : 37 = 3× 12 + 1 . Ainsi : q = 12 et r = 1 . 2/ Effectuons à présent la division euclidienne de −37 par 3 . L’erreur vue fréquemment est de considérer que la division euclidienne de −37 par 3 est : −37 = 3× −12 − 1 . or ce n’est pas le cas puisque −1 < 0 . (
)
On a le schéma : On en déduit que : la division euclidienne de −37 par 3 est : −37 = 3× −13 + 2 ; q = −13 et r = 2 ( )
démonstration Commençons par prouver l’existence du couple q ; r d’entiers vérifiant a = bq + r avec 0 ≤ r < b (
)
1er cas : supposons que a ∈ . Notons E l’ensemble des multiples de b inférieurs à a . -­‐ E est non vide puisque 0 ∈E . En effet : 0 = 0 × b , on peut donc affirmer que 0 est multiple de b et 0 ≤ a -­‐ E est majoré puisque tout élément de E est inférieur à a On en déduit que E admet un plus grand élément noté e . e étant un multiple de b , il existe q ∈ tel que e = bq LFA / Terminale S
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On pose : r = a − bq . Puisque e = bq ≤ a alors a − bq ≥ 0 cad r ≥ 0 . D’autre part, le multiple de b suivant e est b q + 1 : comme b q + 1 > e alors b q + 1 ∉E puisque e est le plus grand élément de E . On a alors : b q + 1 > a cad bq + b > a ou encore a − bq < b . On a donc prouvé que : 0 ≤ r < b . L’existence de q ; r est démontrée dans le cas a ∈ (
(
)
)
(
(
)
(
)
)
2nd cas : supposons maintenant que a ≤ 0 , alors −a ∈ et d’après ce qui précède, nous savons qu’il existe un (
)
( )
couple q ; r d’entiers naturels tel que −a = bq + r avec 0 ≤ r < b . on a donc a = b × −q − r . ! si r = 0 alors a = b × −q et donc −q est le quotient ; ! si r > 0 alors a = b −q − 1 + b − r Comme 0 ≤ r < b alors 0 ≤ b − r < b . Ainsi a = b −q − 1 + b − r est la division euclidienne de a par b , −q − 1 est le quotient, b − r est le reste. (
( )
)
(
(
) (
)
)
(
)
Prouvons maintenant l’unicité du couple d’entiers b ; q : supposons qu’il existe deux couples d’entiers b ; q et ( b′ ; q′ ) tels que : a = bq + r avec 0 ≤ r < b et a = bq′ + r ′ avec 0 ≤ r ′ < b . (
) (
)
(
)
On obtient alors par différence, b q − q′ + r − r ′ = 0 avec −b < r − r ′ < b cad : r − r ′ = b q − q′ avec −b < r − r ′ < b Il en résulte que r − r ′ est un multiple de b . Or le seul multiple de b strictement compris entre −b et b est 0 . D’où r = r ′ et q = q′ . B! Extension à  théorème (
)
Soient a et b deux entiers relatifs, b étant non nul. Il existe un unique couple d’entiers q ; r tel que : a = bq + r avec 0 ≤ r < b exercice 4 Les questions sont indépendantes. 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b : a/ a = 413 et b = 10 b/ a = 100 et b = 19 c/ a = −34 et b = 7 d/ a = 100 et b = −3 e/ a = −654 et b = −13 f/ a = −1001 et b = 31 2) On considère l’égalité suivante : 23× 51+ 35 = 1208 Sans effectuer de division, répondre aux questions suivantes : a/ Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 1208 par 51 ? b/ Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 1208 par 23 ? solution (
)
1) a/ 413 = 410 + 3 = 10 × 41+ 3 1208 = 23× 51+ 35 = 23× 51+ 23+ 12 = 23× 51+ 23+ 12 = 23× 52 + 12 , d’où : q = 41 et r = 3 . On peut observer au passage que le reste de la division de euclidienne de tout entier naturel a ≥ 10 par 10 est son chiffre des unités. b/ 100 = 5 × 20 = 5 × 19 + 1 = 19 × 5 + 5 , d’où q = 5 et r = 5 (
)
( )
d/ 100 = −33× ( −3) + 1 , d’où q = −33 et r = 1 e/ (avec calculatrice) −654 = 13× ( −51) + 9 , d’où q = −51 et r = 9 f/ (avec calculatrice) −1001 = 31× ( −33) + 22 , d’où q = −33 et r = 22 c/ −34 = 7 × −5 + 1 , d’où q = −5 et r = 1 LFA / Terminale S
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2) a/ On observe immédiatement que q = 23 et r = 35 . b/ Ne pas écrire trop rapidement que q = 51 et r = 35 car la condition 0 ≤ r < b n’est pas vérifiée ! (
)
On a alors : 1208 = 23× 51+ 35 = 23× 51+ 23+ 12 = 23× 51+ 23+ 12 = 23× 52 + 12 On conclut ainsi que : q = 52 et r = 12 Division euclidienne TOUCHES 1) Quotient : intDiv(nombre1,nombre2) catalogue ; 1 2) Reste : remain(nombre1,nombre2) OU mod(nombre1,nombre2) menu ; 2 ; 5 menu ; 2 ; 8 ; 5 Attention ! Ceci n’est valable que dans le cas de deux entiers naturels. Dans le cas d’un dividende négatif, on entre les deux nombres (le premier étant négatif) et on ajoute -­‐1 au quotient trouvé. exemple : division euclidienne de -­‐5000 par 17 à l’aide de la TI n’spire intDiv(-­‐5000,17)ž-­‐294 ; on en d éduit que : -­‐5000=17x(-­‐295)+15 exemple et remarque (
)
2
Pour tout entier naturel n , on a : n2 + 2n + 2 = n + 1 + 1 . On peut en déduire, que le reste de la division de n2 + 2n + 2 par n + 1 est 1 . On a aussi : n2 + 2n + 2 = n n + 1 + n + 2 : on ne peut cependant pas en déduire que le reste de la division (
)
euclidienne de n + 2n + 2 par n + 1 est n + 2 car le reste r doit vérifier : 0 ≤ r < n + 1 . Il est par conséquent essentiel de retenir la propriété suivante : propriété 2
Le reste de la division euclidienne de a par b ne peut prendre que b valeurs entières comprises entre 0 et b − 1 . exercice 5 On divise l’entier 256 par b ∈! , on trouve alors comme quotient 15 et comme reste r . " Quelles sont les valeurs possibles pour b et r ? solution On peut écrire : 256 = 15b + r et 0 ≤ r < b 256
! On a d’une part : 256 < 16b ⇔ b >
cad b > 16 1 16
256
! on sait que r ≥ 0 alors 256 > 15b cad b <
d’où b ≤ 17 2 15
De 1 et 2 , il en résulte que la seule valeur prise par b est 17 . 256 = 15 × 17 + 1 ()
()
() ( )
III / Congruences A! Définition définition Soit n un entier naturel non nul et soient a et b deux entiers. On dit que a et b sont congrus modulo n , si et seulement si n b − a . On note alors : a ≡ b mod n ou a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ . (
)
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théorème Soit n un entier naturel non nul et soient a et b deux entiers. Alors a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ si et seulement si, a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n . démonstration Supposons d’abord que a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ , c’est-­‐à-­‐dire que n b − a . Il existe donc un entier k tel que b − a = kn . (
)
Soient q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par n .On a alors : a = qn + r et 0 ≤ r < n . (
)
on obtient : b = n k + q + r avec 0 ≤ r < n . Ainsi r est aussi le reste de la division euclidienne de b par n . CQFD. Réciproquement, supposons que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n . Il existe donc des entiers r , q et q′ tels que : a = qn + r et b = q′n + r et 0 ≤ r < n . On a alors : b − a = q′ − q n . (
)
Il en résulte que n b − a , et donc a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ CQFD. remarque En particulier, on a b a si et seulement si a ≡ 0 ⎡⎣ b ⎤⎦ et si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. conséquences 1/ a ≡ 0 ⎡⎣ n ⎤⎦ équivaut à a est divisible par n . 2/ Si a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ et b ≡ c ⎡⎣ n ⎤⎦ alors a ≡ c ⎡⎣ n ⎤⎦ . exercice 6 : démonstration 1/ On sait que a ≡ 0 ⎡⎣ n ⎤⎦ ⇔ n a − 0 cad n a cqfd 2/ a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ ⇔ n b − a ⎫⎪
⎬ on en déduit que : n c − b + ( b − a )
b ≡ c ⎡⎣ n ⎤⎦ ⇔ n c − b ⎪⎭
cad n c − a
soit a ≡ c ⎡⎣ n ⎤⎦
B! Congruence et opérations théorème a , b , c et d sont quatre entiers relatifs quelconques et n un entier naturel non nul. Si a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ et c ≡ d ⎡⎣ n ⎤⎦ alors a + c ≡ b + d ⎡⎣ n ⎤⎦ et ac ≡ bd ⎡⎣ n ⎤⎦ On dit que la congruence est compatible avec l’addition et la multiplication. conséquences Soit n un entier naturel non nul, a et b deux entiers relatifs quelconques. 1/ Pour tout entier relatif k , si a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ alors a + k ≡ b + k ⎡⎣ n ⎤⎦ . 2/ Pour tout entier relatif k , si a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ alors ka ≡ kb ⎡⎣ n ⎤⎦ 3/ Pour tout entier naturel non nul p , si a ≡ b ⎡⎣ n ⎤⎦ alors a p ≡ b p ⎡⎣ n ⎤⎦ exercice 7 Soient a et b deux entiers tels que a ≡ 3 ⎡⎣7 ⎤⎦ et b ≡ 1 ⎡⎣7 ⎤⎦ . " Démontrer que 2a + b est un multiple de 7 . LFA / Terminale S
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solution a ≡ 3 ⎡⎣7 ⎤⎦ ⇒ 2a ≡ 6 ⎡⎣7 ⎤⎦ ⎪⎫
2
⎬ alors 2a + b ≡ 7 ⎡⎣7 ⎤⎦ ≡ 0 ⎡⎣7 ⎤⎦ D’où 7 divise 2a + b2 . b ≡ 1 ⎡⎣7 ⎤⎦ ⇒ b2 ≡ 1 ⎡⎣7 ⎤⎦ ⎭⎪
exercice 8 1) Le nombre A = 13051305 + 900900 est-­‐il divisible par 29 ? 2) On considère un entier naturel n supérieur ou égal à 2 . Calculer le reste de la division euclidienne de 27 2012 par 7 . Astuce à retenir ! (Savez-­‐vous le justifier ? ) On pourra utiliser la propriété : n − 1 = −1 ⎡⎣ n ⎤⎦ (
)
3) a/ Quel est le reste de la division euclidienne de 1000 par 37 ? b/ En déduire que pour tout entier naturel n , le reste de la division euclidienne de 103n par 37 est égal à 1. c/ Quel est le reste de la division euclidienne du nombre N = 1010 + 1020 + 1030 par 37 ? Justifions d’abord que n − 1 ≡ −1 ⎡⎣ n ⎤⎦ : (
)
! On a d’une part : n − 1 = 0 × n + n − 1 (
)
! On a d’autre part : −1 = −1× n + n − 1 (
)
Il en résulte que n − 1 et −1 ont le même reste égal à n − 1 dans la division euclidienne par n . D’où le résultat. (
) ( )
On peut aussi le montrer plus simplement encore ! n − 1 − −1 = n et
(
) ( )
n n . Cela signifie que n − 1 ≡ −1 ⎡⎣ n ⎤⎦ . solution 1)
1305 = 45 × 29 ⇔ 1305 ≡ 0 ⎡⎣ 29 ⎤⎦ .
900 = 29 × 31+ 1 ⇔ 900 ≡ 1 ⎡⎣ 29 ⎤⎦
On a alors 2)
A = 13051305 + 900900
Alors 13051305 ≡ 0 ⎡⎣ 29 ⎤⎦ .
. 900 ≡ 1 ⎡⎣ 29 ⎤⎦
. Alors . ≡ 0 + 1 ⎡⎣ 29 ⎤⎦
A ≡ 1 ⎡⎣ 29 ⎤⎦
. Conclusion : . A n’est pas divisible par 29 . 900
27 = 21× 3+ 6 ⇔ 27 ≡ 6 ⎡⎣7 ⎤⎦ ≡ −1 ⎡⎣7 ⎤⎦ . Alors 27 2012 ≡ −12102 ⎡⎣7 ⎤⎦ cad
Le reste de la division euclidienne de 27
2012
27 2012 ≡ 1 ⎡⎣7 ⎤⎦ . par 7 est 1 . 3) a/ 1000 = 37 × 27 + 1 . Le reste de la division euclidienne de 1000 par 37 est 1 . ( )
b/ D’après la question précédente, 103 ≡ 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ ⇔ 103
n
≡ 1n ⎡⎣37 ⎤⎦ cad 103n ≡ 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ . ()
10
3×3
c/ 10 = 10 × 10 . On sait que 103×3 ≡ 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ alors 1010 ≡ 1× 10 ⎡⎣37 ⎤⎦ cad 1010 ≡ 10 ⎡⎣37 ⎤⎦ 1 10 = 10
20
10 = 10
30
3×6+2
3×10
= 100 × 10
()
3×6
≡ 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ 3 On déduit de 1 , 2 et 3 que N = 1010 + 1020 + 1030 ≡ 10 + 100 + 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ cad
()( ) ()
Or 111 = 3× 37 ⇔ 111 ≡ 0 ⎡⎣37 ⎤⎦ . Il en résulte que N ≡ 0 ⎡⎣37 ⎤⎦ . Le reste de la division euclidienne de N par 37 est nul. ()
; 103×6 ≡ 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ alors 1020 ≡ 100 × 1 ⎡⎣37 ⎤⎦ cad 1020 ≡ 100 ⎡⎣37 ⎤⎦ 2 N ≡ 111 ⎡⎣37 ⎤⎦ LFA / Terminale S
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IV / Bases de numération A! Introduction Lorsque nous comptons, nous utilisons le système décimal ou base 10. Par exemple, le nombre 3 507 est d’après ce système de numération : 3× 103 + 5 × 102 + 0 × 101 + 7 × 100 . D’autres systèmes de numération sont utilisés dans notre environnement. Les ordinateurs « comptent » en base 2 (système binaire), les programmateurs utilisent la base 16 (système hexadécimal), dans la marine, on se repère avec des degrés-­‐minutes-­‐secondes, c’est-­‐à-­‐dire en base 60 (système sexagésimal). théorème (admis) Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2. Tous entier naturel N peut s’écrire de façon unique : n
N = ∑ ak p k avec : k=0
! les « ak sont des entiers naturels tels que 0 ≤ ak < p ! an ≠ 0 si N ≠ 0 ! an = 0 si N = 0 La suite a0 , a1 , … , an est appelée développement en base p de N et l’écriture de N en base p est : an an−1 …a1a0 p
exemples 5
1) Déterminons l’écriture en base 5 de 121 : 121 = 4 × 52 + 4 × 51 + 1× 50 d’où 121 = 441 . 2) astuce : pour convertir 134 , on effectue des divisions successives par 7 . L’ordre inverse des restes donne immédiatement l’écriture souhaitée. 7
Ainsi : 134 = 251 B! Autres systèmes : exemples exercice 9 : le système binaire Pour écrire en base 2, on utilise uniquement les chiffres 0 et 1 . 1) Écrire en base 2 les nombres : 19 , 157 , 987 . 2
2
2
2) Écrire en base 10 les nombres : 10110 , 11011 , 101011 solution 2
1) 19 = 1× 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 1× 20 = 10011 2
157 = 1× 27 + 0 × 26 + 0 × 25 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 22 + 0 × 21 + 1× 20 = 10011101 2
987 = 1× 29 + 1× 28 + 1× 27 + 1× 26 + 0 × 25 + 1× 24 + 1× 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 1× 20 = 1111011011 2
2) 10110 = 1× 24 + 0 × 23 + 1× 22 + 1× 21 + 0 × 20 = 22 = 22 2
11011 = 1× 24 + 1× 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 1× 20 = 27 2
101011 = 1× 25 + 0 × 24 + 1× 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 1× 20 = 43 LFA / Terminale S
SPÉCIALITÉ MATHS
Mme MAINGUY
exercice 10 : le système hexadécimal En base 16, les nombres utilisés sont 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F et A , B , C , D , E , F représentent respectivement les nombres 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 16
16
16
1) Convertir en base 10 les nombres 16 , 1A , BAC . 2) Écrire en base 16 les nombres 19 , 157 , 987 . solutions 16
1) 16 = 1× 161 + 6 × 160 = 22 16
1A = 1× 161 + 10 × 160 = 26 16
BAC = 11× 162 + 10 × 161 + 12 × 160 = 2988 16
2) 19 = 1× 161 + 3× 160 = 13 16
157 = 9 × 161 + 13× 160 = 9 × 161 + D × 160 = 9D 16
987 = 3× 162 + 13× 161 + 11× 160 = 3× 162 + D × 161 + B × 160 = 3DB