DIVISION EUCLIDIENNE

FICHE 2
DIVISION EUCLIDIENNE
Théorème et dénition
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) d'entiers vériant à la fois :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
L'opération qui à (a ; b) associe (q ; r) est la division euclidienne de a par
b ; q est le quotient, r le reste. a s'appelle le dividende et b le diviseur.
Idée de démonstration On admettra facilement que l'entier a se trouve encadré
entre deux multiples de b consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme
[bq ; b(q + 1)[. Puisque bq ≤ a < b(q + 1), on a : 0 ≤ a − bq < b et il reste à poser
r = a − bq .
Exemples a = 114 ; b = 8 : on trouve q = 14 et r = 2.
En eet, 114 = 8 × 14 + 2 et 0 ≤ r < 8 .
Remarques
? b divise a si et seulement si le reste r est nul.
³a´
a
r
r
a
? = q + avec 0 ≤ < 1, donc q est la partie entière de : q = E
.
b
b
b
b
b
(La partie entière d'un nombre réel x est l'entier n tel que n ≤ x < n + 1 et
se note n = E (x). )
? Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et b − 1. b étant xé, les
entiers relatifs peuvent être classés selon leur reste dans la division euclidienne
par b.
Si b = 2, les entiers se partagent entre les nombres pairs (r = 0) qui s'écrivent
sous la forme a = 2q et les entiers impairs (r = 1) qui s'écrivent sous la forme
a = 2q + 1.
Si b = 3, les entiers peuvent s'écrire sous l'une et une seule des trois formes :
a = 3q , a = 3q + 1 et a = 3q + 2.
Si b = 10, r est le chire des unités de a.
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§Ex
¥
2.1 ¦
Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b.
1. a = 117
b = 28
2. a = −317 b = 21
3. a = 1 999
b=4
4. a = −849 b = 13
5. a = 1 564
b = 156
6. a = −671 b = 6
7. a = 10 000 b = 11
FICHE 2
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DIVISION EUCLIDIENNE
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§Ex
¥
2.2 ¦
Sachant qu'il existe un entier q tel que 100100 = 13q+35, écrire la division euclidienne
de 100100 par 13. (Donner le quotient en fonction de q et le reste).
¨
§Ex
¥
2.3 ¦
Démontrer que si le nombre entier naturel n n'est pas un multiple de 3 alors n2 − 1
est multiple de 3.
¨
§Ex
¥
2.4 ¦
On sait que 287 025 = 635 × 452 + 5.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. 287 025 par 635
2. −287 025 par 635
3. 287 025 par 452
4. −287 025 par 452.
¨
§Ex
¥
2.5 ¦
Le dividende d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12.
On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution.
¨
§Ex
¥
2.6 ¦
Le quotient d'un entier a par un entier naturel non nul b est 17 et le reste est 25.
Quelle est la plus petite valeur possible du diviseur et du dividende ?
¨
§Ex
¥
2.7 ¦
Soit a et b deux entiers naturels.
Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2 et 7.
Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres a + b et a − b par 11.
En déduire celui de a2 − b2 .
¨
§Ex
¥
2.8 ¦
Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Déterminer le quotient et le reste de la division
euclidienne :
1. de n2 + n + 1 par n + 1 ;
2. de n2 + n + 1 par n + 2 ; (distinguer les cas n = 1 et n 6= 1)
3. de 2n − 1 par 2n−1 .
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TP ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
Une équation diophantienne est une équation dont les inconnues sont des entiers.
¨
§Ex
2.9
¥
¦
Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x ; y) solutions des équations suivantes :
1. x + y = 6
2. 2x + 3y = 40 (Remarquer d'abord que y doit être pair et inférieur à 13)
3. 4x2 + y 2 = 169
¨
§Ex
2.10
¥
¦
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions des équations suivantes :
1. xy = −6
2. x2 − y 2 = 15
3. x2 y + xy 2 = 12
4. 4x2 − y 2 = 20
5. (2x − 3)(3y + 1) = −2
6. (x − 2)(y + 3) = 14
7. x3 + y 3 = 217
¨
§Ex
2.11
¥
¦
Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x ; y) solutions des équations suivantes :
1. xy − y + x = 12
2. xy = 15
3. 2x2 − xy − 7 = 0
4. xy = 11 + x + 2y
5. 2xy = 14 + x + 6y
6. x2 − y 2 = 401
7. x2 + 57 = y 2
FICHE 2
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