introduction aux orbites autour des trous noirs

INTRODUCTION AUX ORBITES
AUTOUR DES TROUS NOIRS
Potentiel effectif relativiste
Orbites des particules
Géodésiques parcourues par la lumière
Espace temps au voisinage d’un trou noir
Lentilles gravitationnelles
Trous noirs et limite de luminosité d’Eddington
Philippe Magne
2006
1
Potentiel effectif ( données )
2
Potentiel effectif
3
Choix des unités de calculs
4
Potentiel effectif et composante radiale Vr de la vitesse, exprimés
dans les unités proposées
5
Application numérique Ueff en fonction de r
6
Potentiels effectifs Newtoniens dans le système Solaire
7
Préliminaire pour passer d’un Potentiel effectif Newtonien
à un Potentiel effectif Relativiste
8
Potentiel effectif Relativiste
9
Potentiels effectifs relativistes dans l’intervalle 0 < r/rs=1/u < 15
10
Commentaires sur la figure précédente
11
Calcul des trajectoires des particules autours des trous noirs
Elles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires r, 

u2

u1
du
m02c 2rs2
E2rs2 m02c 2rs2
u u 
u  2 2 
2
2
J
Jc
J
3
2
Composantes de la vitesse:

Vr m0c 2  J2
J2
E2
3
2

  2 2 2  u  2 2 2  u  u  2 4  1
c
E
m0c rs
m0c
 m0c rs

Rappel u  rs
r
1
2
1
J
 u  1  u  2
V m0crs

E
c
m0c 2
12
Applications numériques
E  1.1 moc 2
J  2.4  m0crs
rs  1
13
Trajectoire E  1.1 m0c
2
J  2.4  m0c 2
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Trajectoire instable
E  m0 c 2
J  2  m0crs
rs  1
15
Trajectoire stable E  0.9428090416  m0c 2 J  3  m0crs
1
2
vr
0
c
rs  1
1  1
3   1 
V
3  3

 0.5
c
0.942809
16
Trajectoire
E  0.9744063635  m0c 2 J  2.2  m0crs
rs  1
Orbite quasi képlérienne
17
Equation approchée r  1 
rs
u
7.686424831
1  0.4074374876  cos(0.8687676414  )
0    4
18
0    64 
19
Trajectoire radiale en chute libre
Ecoulement du temps
20
Temps propre t de l’observateur lointain et Temps propre
 de la particule en chute libre r =3 km
s
21
Expérience de pensée proposée par J.P. Luminet
Le salut de l’astronaute
22
L’effet de marée assassin !
a 
2GM
 r
r3
a mortel  15g
23
Rayons lumineux
Rappel de l’équation concernant les particules massiques:
2
m02c 2rs2
E2rs2
 du 
2
3
1  u  2 2  0

 u u 
2
d

J
Jc


Equation pour les photons, on fait : m0= 0
2
E2rs2
 du 
2
3

 u u  2 2  0
Jc
 d 
On écrite la constante sans dimension :
E2rs2
1

J2c 2 L2rs2
L : est homogène à l’inverse d’une longueur
  Lrs :
est un paramètre d’impact
On adopte le changement de variable :   Lrsu
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Calcul des géodésiques parcourues par les photons autour des
trous noirs
Elles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires


d
3
 2  1
Lrs
Composantes de la vitesse
Vr
c
3



2
 1   
Lrs 


 
  1

c
Lr
s 

V
rs2
Rappel :   Lrsu  L 
r
1
2
1
2
25
Applications numériques
Lrs= 3
26
Géodésique Lrs= 3
27
28
Géodésique Lrs= 2.678
29
Géodésique Lrs=2.612
30
Géodésique
3 3
2
31
Géodésique 2.2
32
Conclusion
Aucun rayon lumineux ne peut s’enrouler autour d’un trou noir
si le paramètre d’impact
Si

3 3
2

est supérieur à
3 3
2
le rayon lumineux est capturé et ne pourra jamais ressortir du trou noir
Cela permet de définir une aire de capture 4  27rs
2
2
33
Déflexion de la lumière par des masses stellaires non effondrées
Angle de déflexion prévu par Einstein

4GM
Rc 2
R: rayon de l’étoile
Pour le Soleil on trouve 1.74’’ seconde d’arc
La validité de cette formule a été confirmée en 1919 1922 1936 1952 1973
Croquis d’après J.P.Luminet : a) positions apparentes pendant une éclipse du Soleil
b) positions en l’absence du Soleil
34
Lentilles gravitationnelles
35
Images observées
36
L’espace temps courbé par la présence de matière, qu’en est-il plus
particulièrement pour le temps ? Retard d’écho radar Shapiro
Expérience réalisée en 1970 lors de la conjoncture supérieure de Mars,
et de la présence de la sonde Mariner 6 équipée d’un répondeur radar
Nota: durée d’un aller retour Terre Mars Terre ¾ d’heure, mais le retard
d’écho Shapiro est beaucoup plus court
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Formule donnant le retard d’écho Shapiro




Ts  250s   1  0.16  lnep 

 700000km  

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Visualisation de la courbure de l’espace, artifice du plongement
« On visualise parfaitement la forme d’un cercle de dimension 1 en le plongeant dans le plan de
dimension 2, ou, la surface d’une sphère de dimension 2 dans l’espace euclidien de dimension 3,
ce n’est qu’un espace fictif ne servant qu’à encadrer l’espace temps sectionné » ( J.P. Luminet )
Paraboloïde de L. Flamm ( 1916 )
39
Géodésiques de l’espace temps
( d’après J. P. Luminet )
40
Commentaire de J. P. Luminet
« Le résultat illustre parfaitement le principe d’équivalence en rendant l’illusion newtonienne d’un univers
plat dans lequel les particules sont déviées de la ligne droite par les forces de gravitation au lieu d’épouser
librement les contours de la géométrie courbe »
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Les Trous Noirs existent –ils vraiment ?
La découverte et la localisation des sources X et

en est peut être la preuve
•
L’énormité de leur luminosité
•
La faiblesse, voire l’absence d’une contrepartie dans le visible
Les étoiles ne peuvent être les sources de ces rayonnements.
Eddington a montré que la luminosité d’une étoile ne pouvait être
supérieure à:
M
watts
LMax  1.3  1031 
M
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Le disque d’accrétion d’un trou noir, possible source de gammas
La matière capturée par un trou noir orbite à une vitesse qui rend
vraisemblable l’émission de photons d’une très grande énergie par
suite de chocs d’une extrême violence.
On peut considérer ce disque comme une sorte d’accélérateur de
particules naturel.
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