TROUS NOIRS 2 Philippe Magne ( texte initial de 2000 ) 1 Introduction Trous noirs 1 montre que l’issue fatale des étoiles géantes est de devenir trous noirs entourés d’un horizon qui se comporte comme une censure cosmique rendant invisible une singularité ponctuelle de l’espace temps. Dans le proche voisinage extérieur à cet horizon, le champ de gravitation est énorme, l’espace temps est fortement courbé, la capture et l’orbite de particules nécessitent un traitement relativiste. Trous noirs 2 traite ce problème à l’aide du potentiel effectif qui sera d’abord décrit dans la condition non relativiste en mécanique de Newton. Ensuite cette notion sera développée dans la condition ultra relativiste à l’aide de la métrique de Schwarzschild. Einstein considérait que la métrique de Schwarzschild est une très bonne approximation de la théorie géométrique de la gravitation. _________________________________________________________ La table des matières se trouve à la fin du texte 2 1 Rappels de la notion de potentiel effectif en mécanique de Newton Le potentiel effectif facilite considérablement l’analyse du mouvement d’une petite masse d’épreuve ne participant pas au champ de gravitation, voire très peu quand la masse centrale est prépondérante et génère une force centrale attractive. Dans un espace vide où ne se produit aucun frottement, il n’existe que deux sortes de trajectoires possibles : Hyperboliques Ouvertes Paraboliques Elliptiques Fermées Circulaires En général la force centrale est dirigée vers une masse importante M placée à l’origine du référentiel, qui attire une petite masse m0 , si petite qu’elle n’intervient pas dans le champ de gravitation. 1.1 Position du problème La vitesse La vitesse V de m0 ( figure 1 ), dans un système de coordonnées polaires r, a deux composantes, de sorte que V 2 Vr2 V2 Figure 1 3 Les forces La force centrale d’attraction Fa est toujours dirigée suivant r , on la dit centrale car M ne produit pas de couple . Figure 2 Son module, vaut, d’après la gravitation Newtonienne : Fa GMm0 r 2 M en kg m0 en kg r en mètres G : constante universelle de la gravitation ( CUG ) = 6.67 10 11 La force d’inertie FI centrifuge a un module qui vaut : Fi m0 V2 r avec V r d dt Les lois de conservation Les deux grandeurs qui se conservent pendant un mouvement sans frottement sont : L’énergie totale, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle. Le moment cinétique dont le module est : J m0 r V 1 .2 Potentiels dont dérivent Fa et Fi Potentiel Ua de Fa : c’est le travail qu’il faudrait fournir pour déplacer m0 depuis un point situé à la distance r de O jusqu’à l’infini. 4 C’est une définition qui permet de se débarrasser de la constante d’intégration en l’annulant. r r Ua Fadr GMm0 Ua dr r2 GMm0 r Potentiel Ui de Fi : la même définition conduit à un potentiel de signe négatif puisque la force Fi tend à éloigner m0 de o. Ui Fdr i r Plaçons nous dans la condition où le module du moment cinétique est constant et en utilisant la formule écrite à la page précédente, on en déduit la vitesse V puis la force Fi . V Fi m0 V2 r J m0r m0J2 J2 23 m0r m0r 3 D’où : J2dr J2 Ui 3 m r 2m0r 2 0 r 1. 3 Le Potentiel effectif Ueff est la somme de Ua et de Ui Ueff GMm0 J2 2m0r 2 r Ce potentiel peut être positif ou négatif lorsque r varie de 0 à l’infini 5 Expression de la vitesse radiale déduite de Ueff et de l’énergie E L’intérêt de calculer cette expression est de connaître d’emblée pour quelles valeurs de r on a dr 0 , éventualité qui se produit au périastre P et à l’apoastre A dt lorsqu’il s’agit de trajectoires fermées ( figure 3 ) Figure 3 Pour exprimer la vitesse exprimons comment elle intervient dans l’énergie : E GMm0 1 m0 V 2 2 r V2 2E 2GM m0 r J2 D’autre part : V V V d’où V V V et nous savons que V 2 2 m0r 2 Finalement : 2 r 2 2 r 2 2 2 2E 2GM J2 Vr 2 2 expression qui n’a de sens que si ce qui m0 r m0r est sous le radical est supérieur ou égal à zéro, dans ce dernier cas les racines de l’équation donne la valeur de r en P ou en A . 6 1.4 Choix d’une unité de longueur naturelle et applications numériques L’ intérêt de ce choix apparaîtra plus loin ; cette unité est utilisable, aussi bien en mécanique de Newton qu’en Relativité générale, c’est le rayon de Schwarzschild qui est égal à : rs 2GM c2 On pourra vérifier qu’il s’agit bien d’une longueur par l’équation aux dimensions G L3M1T 2 c LT 1 Dans le cas du Soleil M M 2 10 kg on trouve la longueur suivante : 30 rs 2.9697 103 m 3km rs étant proportionnel à M cette unité de longueur peut universaliser les formules applicable aux autres étoiles . Adoptons cette unité de longueur dans l’expression du potentiel effectif Ueff , lui 2 même normalisé à m0c : 2 Ueff J2 r 1 2GMm0 s 2 2 2 2 m0c 2m0c rs r 2 m0c 2r 2GM 2GM rsc 2 on aboutit à : 2 c 2 Ueff 1 J2 rs rs m0c 2 2 m02c 2rs2 r r r Le changement de variable u s paraît utile r et puisque rs Ueff 1 J2 2 u u m 0 c 2 2 m02c 2rs2 Il est intéressant aussi de connaître la vitesse Vr et de savoir quand elle s’annule ce qui détermine un périastre ou un apoastre ; nous la normalisons à la vitesse de la lumière c et tenons compte des expressions ci-dessus : E Vr 1 J2 2 2 u u m c 2 2 m2c 2r 2 c 0 s 0 E U Vr 2 eff 2 2 c m0c m0c 7 1.5 Application numérique Ainsi, lorsque Ueff E 0 la vitesse radiale s’annule et r prend les valeurs m0c 2 m0c 2 qui correspondent au périastre et à l’apoastre, on les obtient en résolvant 2 l’équation suivante : 2E J u2 u 0 2 2 2 2 m0c m0c rs Pour illustrer ce que peut donner rapidement cette formule, nous avons pris en compte trois potentiels effectifs concernant le système solaire celui de Vénus, celui de la Terre et celui de Mars ; la tâche est facilité par le fait que les orbites de ces planètes sont quasi circulaires et que l’on connaît le rayon r de la trajectoire qui est la distance de ces planètes au Soleil, la vitesse radiale Vr est pratiquement nulle vue l’hypothèse simplificatrice adoptée Pour effectuer des calculs numériques il faut connaître J m0rV Il se trouve que dans le cas du mouvement circulaire l’expression de V est particulièrement simple : V 2 GM r On en déduit aisément le carré de J c’est à dire J m0r 2 2 2 GM r J2 Plus exactement ce qu e nous avons à connaître c’est 2 2 2 m0c rs 2GM 1 r 3km ) On obtient : ( rappel rs concerne le Soleil et vaut c2 2 rs J2 1 r Ainsi 2 2 2 m0c rs 2 rs Pour la Terre qui se trouve à 150 10 km du Soleil on obtient : 25 10 dont la 3 racine carrée est 5 10 6 6 Planète J m0crs Vénus 4.2426 103 Terre 5 103 Mars 6.1237 103 Voir figure 4 comment le potentiel effectif varie en fonction de r rs 8 Figure 4 9 Calcul du périhélie et de l’aphélie ( points P et A ) à l’aide de l’équation : 2E J2 u2 u 0 2 2 2 2 m0c m0c rs rs r r et ce que nous voulons calculer c’est M et m ( voir figure 4 ) rs rs r Les constantes de l’équation ci-dessus sont, dans le cas de Vénus : Rappel : u 2E 2 5 109 10 10 9 m0c 2 J2 (4.2426 103 )2 1.8 107 2 2 2 m0c rs D’où l’équation à résoudre : 1.8 * 107 u2 u 10 109 Résultats donnés par MAPLE Bien noter que ce calcul est un pur exemple et ne concerne en aucune façon l’orbite réelle de Vénus qui est circulaire, alors que les conditions que nous avons introduites la rendent elliptique ! Remarquer que le rayon des trajectoires circulaires se trouve aux creux du potentiel effectif et que l’énergie de la particule d’épreuve E est négative. Le point P correspond au périhélie d’un exemple de trajectoire hyperbolique qui implique que l’énergie E de la particule d’épreuve soit positive. 10 2 Calcul relativiste des trajectoires des particules autour des trous noirs. 2 .1 Pourquoi faut-il utiliser la Relativité Générale pour traiter ce problème ? On peut le deviner en se plaçant dans la condition J 0 , c’est à dire dans la condition d’une chute radiale libre depuis l’infini, ce qui implique E 0 comme condition initiale. La formule de la vitesse radiale Vr 2E 2GM J2 2GM 2 2 tend vers Vr m0 r m0r r Et, compte tenu des notations adoptées : r Vr 2GM s 2 c rc r rs ne peut r plus être considéré comme très petit, ce qui implique que Vr n’est plus du tout petit devant la vitesse de la lumière c . Comme nous nous plaçons implicitement au voisinage d’un trou noir, L’espace temps est très distordu, courbé par la présence de M , sa géométrie n’est plus Euclidienne. Cette théorie s’applique assez facilement dans ce cas simple où une seule masse intervient. Les distorsions de l’espace temps sont formalisées dans le cadre d’une métrique qui se présente comme la différence de deux carrés, l’un du genre temps, l’autre du genre espace, cette différence est un invariant. 2 . 2 Métrique de Schwarzschild 2.2.1 Qu’est-ce qu’une métrique ? Une métrique est un ensemble de règles de mesures dans un espace fondé sur la définition de la distance entre deux points infiniment voisins. Dans l’espace temps de la Relativité la métrique est fondée sur l’intervalle entre deux évènements, cet intervalle est invariant dans les changements de coordonnées. Passant d’un espace vide à un espace occupé par une seule masse située à l’origine des coordonnées, la notion de métrique se décline de la matière suivante. On part de la Relativité Restreinte dont l’invariant d’espace temps s’écrit : s2 c 2 t 2 l2 11 C’est par sa forme différentielle que l’on exprime l’invariance de la vitesse de la lumière au sens d’une propriété locale. ds2 c 2dt 2 dl2 Lorsque le problème possède une symétrie sphérique on l’exprime dans un système de coordonnées sphériques ( figure 5 ). dl2 dr 2 r 2d2 r 2 sin2 d2 Figure 5 Ainsi, dans un espace vide et sans gravitation s’écrit- elle : ds2 c 2dt 2 (dr 2 r 2d2 r 2 sin2 d2 ) Si on place une masse M en 0 il s’établit un champ de gravitation dont la conséquence relativiste est une courbure de l’espace temps. Si GM est le potentiel de gravitation et en remarquant que : r 2 2GM rs c2 rc 2 r rs étant le rayon de Schwarzschild On aboutit à la métrique de Schwarzschild : dr 2 r ds2 c 2dt 2 1 s r 2 d2 sin2 d2 r r 1 s r 12 2.2.2 La vitesse déduite de la métrique La symétrie du problème donne à penser que les trajectoires recherchées sont dans le plan qui contient 0 ( figure 5), par exemple, faisons donc Cte ,donc d 0 2 Plaçons nous d’abord dans le cas de l’espace vide, plan x0y. Les composantes de la vitesse sont définies dans la figure 1 : Vr dr dt et V r d dt ( rappel , 2 sin 1 d 0 ) Maintenant plaçons nous dans le cas de la métrique de Schwarzschild, les éléments d’espace et de temps sont fonction de la coordonnée r et cela, par suite de la présence de la masse M en 0. 1 r 2 Temps : dt 1 s r dr Espace : 1 rs 2 1 r Ainsi, les composantes de la vitesse deviennent-elles les suivantes : dr 1 rs 2 1 r dr Vr 1 r rs 2 dt 1 s dt 1 r r V r d 1 r 2 dt 1 s r Le module de la vitesse V de la figure 1 devient maintenant : d2 2 r rs 2 dt 2 1 s dt 1 r r Le facteur de la Relativité restreinte est réutilisable, c’est à dire : 1 1 2 2 V 1 2 c 2 V dr 2 r2 13 2.3 Lois de conservation Elles concernent les mêmes quantités qu’en mécanique de Newton, à savoir : l’énergie E et le module du moment cinétique J 2.3.1 L’énergie C’est la même que celle de la Relativité Restreinte : E m0c m0c 2 2 V 1 2 c 2 1 2 Mais dans le cadre de la métrique de Schwarzschild, l’interaction entre m0 et M modifie la valeur de cette énergie qui devient fonction de r . 1 r 2 Cette interaction oblige à introduire le facteur 1 s r Ainsi l’énergie de m0 s’exprime-t-elle, compte tenu de la présence de M, par la formule : 1 r 2 E m0c 2 1 s r 2.3.2 Le moment cinétique Dans le cadre de la Relativité Restreinte, il s’écrirait : J m0rV Tenant compte de la métrique de Schwarzschild il devient J m0 r 2d 1 r 2 dt 1 s r 14 2 . 4 Potentiel effectif relativiste Pour obtenir ce potentiel il nous faut, en s’inspirant de ce qui a été exposé en mécanique Newton faire apparaître le carré de la vitesse radiale normalisée à c : 2 Vr2 V 2 V V 2 c2 c2 c2 c2 V2 2 1 2 et en introduisant le moment cinétique : c2 En remarquant, par ailleurs que : Vr2 2 1 2 c2 r 2d2 r c 2dt 2 1 s r r 2d2 1 J2 2 2 1 2 2 2 m0c r r c 2dt 2 1 s r Par ailleurs on peut tirer de l’énergie : E 1 2 1 r 2 m0c 1 s r 2 E2 1 rs 2 4 m0 c 1 r Finalement on arrive à : r m02c 4 1 s 2 2 V E J r 1 c E2 m02c 2r 2 2 4 rs m0c 1 r 2 r 2 Adoptons le changement de variable u rs r Vr2 m02c 4 E2 J2 J2 2 1 u u u3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 c E m0c m0c rs m0c rs Le potentiel effectif Ueff normalisé à m0c 2 s’en déduit en écrivant : U2eff Vr2 m02c 4 E2 c2 E2 m02c 4 m02c 4 15 D’où la formule du Potentiel effectif relativiste : Ueff J2 J2 3 u u2 u 1 m0c 2 m02c 2rs2 m02c 2rs2 Ueff r 1 et, s’agissant d’orbites en fonction de 2 rs u m0c r autour d’un trou noir dans l’intervalle 1 15 le plus intéressant. rs La figure 6 est un diagramme de On pourra constater que le potentiel effectif est toujours positif a contrario du Newtonien, cela vient de l’introduction de l’énergie de masse invariante m0c 2 que Newton ignorait. Il peut présenter un maximum et un minimum si la dérivée de l’expression sous le radical peut s’annuler, c’est à dire si : 3J2 2J2 2 u u 1 0 m02c 2rs2 m02c 2rs2 Ce qui n’est possible que si : 4J4 12J2 0 m04c 4rs4 m02c 2rs2 J 3 mocrs 16 Figure 6 17 Commentaires sur le diagramme de la figure 6 J Max Ueff 3m0crs Min Ueff Commentaires r 3 rs Une particule ayant ce moment cinétique ne peut avoir de périastre. Venant de l’ elle tombe dans le trou noir Une particule de 2m0crs r 2 rs r 6 rs 2.2m0crs 1.85 7.82 2.4m0crs 1.77 9.74 3m0crs J 2m0crs pour laquelle E est plus petite que m0c 2 peut décrire une trajectoire fermée avec périastre et apoastre. Si E est plus grande que m0c 2 , une particule venant de tombera dans le trou noir. Sur la figure 6, on constatera que la droite sur laquelle Ueff r sont portées les abscisses coupe l’axe au rs m0c 2 point 1 et est tangente à la courbe correspondant à r J 2m0crs au point 2 rs Pour J 2m0crs l’orbite a un comportement quasi Képlerien en ce qui concerne le déplacement du périastre r qui rs correspondent aux Max et min de Ueff , la variable u de l ‘équation à résoudre page Remarque : dans la deuxième et troisième colonne sont inscrites les abscisses 16 est égale à rs r Remarque concernant les orbites circulaires Ueff E Si est égal au minimum de ( creux de potentiel figure 6) alors les orbites 2 m0 c m0c 2 sont circulaires. L’orbite circulaire particulière J 2m0crs , E m0c 2 , r 2rs se trouvant à un max de potentiel est instable. Lorsqu’elle est perturbée, la particule peut tomber dans le trou noir ou s’échapper à l’ . E 0.942809m0c 2 l’orbite est stable, de rayon r 3rs , c’est Pour J 3m0crs , l’orbite la plus proche possible du trou noir. 18 3 Calcul des orbites au voisinage d’un trou noir Ce que l’on veut obtenir, c’est une relation entre r et puisque nous adoptons implicitement un système de coordonnées polaires. Cela revient à établir l’équation différentielle des trajectoires possibles. Nous adoptons l’approche suivante : 10 exprimer la vitesse de deux manière lesquelles constituerons les deux membre de l’équation différentielle : Fin de la page 13 (en conservant la notation u V2 dr 2 dt 2 1 u 2 rs ) r rs2 d2 r 2d2 dr 2 1 2 2 2 2 dt 1 u dt 1 u u dt 1 u et V 2 c 2 2 1 2 D’où cette première forme de l’équation désirée : rs2 d2 dr 2 1 2 1 2 c 2 dt 2 (1 u)2 u2 dt 2 1 u 20 exprimer d dr et en tenant compte du changement de variable u dt dt r du d dr dr du d s2 dt du d dt u d dt c’est ce que nous cherchons Tirons d du moment cinétique ( bas de la page 14 ) et conservons la notation u dt 1 d J 1 u 2 u2 2 dt m0 rs 19 L’équation différentielle des trajectoires est la suivante : rs2 u4 2 2 rs2 J 1 u u4 du J 1 u u4 1 1 2 1 2 c m02 2 rs2 1 u 2 u2 m02 2 rs2 1 u 2 d 2 Après les simplifications qui s’imposent, on obtient : 2 du J2 1 J2 u2 2 1 2 2 2 2 2 2 d m c r 1 u m c r 0 s 0 s Quant à 2 1 voir page 14 ( énergie) E2 1 1 2 4 1 m0c 1 u 2 Finalement on arrive à : 2 E2rs2 m02c 2rs2 du 2 3 1 u u u 2 2 Jc J2 d L’angle est donné par l’intégrale : u2 u1 du u3 u2 m02c 2rs2 E2rs2 m02c 2rs2 u J2 J2c 2 J2 Composantes orbitales de la vitesse : 1 Vr m0c 2 c E J2 2 J2 E2 2 2 2 u3 2 2 2 u2 u 2 4 1 m0c rs m0c m0c rs 1 J u 1 u 2 V m0crs E c m0 c 2 20 3.1 Applications numériques L’orbite dans le système de coordonnées polaires qui a été choisi au début de ce r document ( figure 1 ) conduit à calculer en fonction de u s . r Comme nous avons choisi rs comme unité naturelle de longueur, la distance s’exprime en nombre de fois rs . Si r et si rm est le périastre : 0u rs rm Pour les tracés proprement dits on utilisera le logiciel MAPLE et donc les 1 coordonnées rectangulaires x r cos( ) et y r sin( ) avec r . u Les différentes orbites dépendent du choix des invariants : énergie E et moment cinétique J Exemple 1 E 1.1m0c 2 J 2.4m0crs Pour la suite des calculs les valeurs suivantes sont utiles : J 2.4 m0crs E2 J2 5.76 m02c 2rs2 m02c 2rs2 0.173611 J2 2 Er m2 c 4 1.1 2 0 0.2100694 J 2 2 2 2.4 Jc m0c rs 2 2 s 2 2 E2rs2 m02c 2rs2 0.0364583333 J2c 2 J2 Valeur de u au périastre, elle correspond à l’annulation de la vitesse radiale, c’est une racine de l’équation : 5.76u3 5.76u2 u 0.21 0 Racines : -0.1188952579, 0.4798285472, 0.6300667107 La racine négative ne présente pas d’intérêt, pour choisir la bonne racine il faut tracer la courbe de la fonction qui se trouve sous la racine carrée de l’intégrale qui donne , voir la figure 7. 21 Figure 7 r u 1 r radians r cos r sin 10 8 7 6 5.44 5 4 3.5 2.5 2.3 2.2 2.1 2.08 0.1 0.125 0.1428 0.16666 0.18382 0.2 0.25 0.285 0.4 0.434 0.45454 0.47619 0.47977 3.5539 3.4357 3.3507 3.2359 3.1415 3.0709 2.8079 2.6029 1.7420 1.3335 0.9997 0.3760 0 +9.16 +7.65 +6.84 +5.97 +5.44 +4.98 +3.77 +3 +0.425 -0.54 -1.18 -1.953 -2.08 -4 -2.31 -1.45 -0.56 0 +0.35 +1.31 +1.79 +2.46 +2.23 +1.85 +0.77 0 Remarque : le sens de rotation choisi est trigonométrique voir la figure 8 Pour le calcul de voir page 20 22 Figure 8 Cette figure 8 montre la trajectoire d’une particule autour d’un trou noir dans les conditions de l’exemple 1 des calculs numériques. Le cercle de centre 0 est l’horizon de Schwarzschild de rayon rs pris comme unité de 2GM longueur comme déjà annoncé ( rappel, rs 2 où M est la masse du trou noir ). c Pour calculer l’intégrale donnant on peut utiliser le logiciel MAPLE, saisir : evalf ( Int (1/ ((u^3)-(u^)+0.173611*(u)+0.03645833)^(1/2),u=0.479 .. 0.1)) ; Les résultats du calcul sont dans le tableau de la page 22 23 Exemple 2 E m0 c 2 J 2m0crs Pour la suite des calculs, les valeurs suivantes sont utiles : J 2 m0crs E2 J2 4 m02c 2rs2 m02c 2rs2 0.25 J2 2 Er m2c 4 1 2 0 0.25 J 2 2 2 2 Jc m0c rs 2 2 s 2 2 E2rs2 m02c 2rs2 0.25 0.25 0 J2c 2 J2 Valeur de u au périastre, elle correspond à l’annulation de la vitesse radiale, c’est une racine de l’équation : 4u3 4u2 u 0 Racines 0, 1 , 2 1 2 rs ), la racine r double annonce une instabilité comme nous allons le montrer voir la figure 9 qui représente le polynôme qui est sous la racine carré du dénominateur de l’intégrale qui donne page 20 La racine 0 ne présente pas d’intérêt puisqu’ alors r ( rappel u 24 Figure 9 On s’aperçoit que pour u 0.5 la courbe ci-dessus est tangente à l’axe horizontal. D’autre part, en se rapportant à la figure 6 page 17, le potentiel effectif est maximum r r pour 2 , ce qui correspond à u s 0.5 . rs r Ce n’est que pour un creux de potentiel que l’on peut espérer une orbite stable. On n’a jamais pu faire tenir un crayon en équilibre sur sa pointe sur une table de bureau. 25 Figure 10 Cette figure est une approche pour faire comprendre l’instabilité. En réalité la particule parcourt l’orbite circulaire r 2 pendant un grand nombre de tours avant q’une faible instabilité ne lui fasse prendre la partie intitulée « Vers la chute inéluctable dans le trou noir » de la figure 9 page 25 26 Exemple 3 E 0.9428090416m0c 2 J 3m0crs 1 Vr 0 c 1 1 2 3 1 V 3 3 0.5 c 0.942809 Figure 11 Orbite circulaire stable, le rayon correspond au creux du potentiel effectif voir figure6 27 E 0.9744063635m0c 2 Exemple 4 J 2.2m0crs Pour la suite des calculs, les valeurs suivantes sont utiles : J 2.2 m0crs 2 2 s 2 2 J2 4.84 m02c 2rs2 m02c 2rs2 0.206611570 J2 E 0.9744063635 m0c 2 E2 Er m02c 4 0.949677613 2 0.196171025 J 2 2 2 Jc 4.84 m0c rs E2rs2 m02c 2rs2 0.1962143808 0.2066115702 0.0103971894 J2c 2 J2 Valeurs de u au périastre et à l’apoastre, elles correspondent à l’annulation de la vitesse radiale, racines de l’équation : 4.84u3 4.84u2 u 0.949677613 1 4.84u3 4.84u2 u 0.05053223866 0.07705573490, 0.1831501832, 0.7397940819 Les racines qui peuvent être utilisées nécessitent le tracé de la courbe du polynôme qui est sous la racine carrée du dénominateur de l’intégrale qui donne page 20 seule la région positive est exploitable. 28 Figure 12 Seules les racines um 0.183 qui donne le périastre rp 1 5.46 et um uM 0.0771 1 12.97 peuvent être conservées étant dans la partie uM positive de la figure 12, ( voir aussi la figure 6 page 17 où l’on peut constater que les valeurs de rp et de ra correspondent aux intersections d’une droite parallèle à l’axe u qui donne l’apoastre ra coupant l’axe vertical au point 0.97 ). La trajectoire est montrée figure 13 page 30. 29 Figure 13 Vitesses : au périastre V 0.37 c Vr 0, c L’angle entre l’axe polaire gradué en à l’apoastre V c 0.166 Vr 0 c r et la première rencontre avec le périastre rs est donné par l’intégrale : 0.1831501832 0.07710100231 du u 3 2 u u 4.84 0.0103971894 1 2 3.616 radians 207° Obtenue par le logiciel MAPLE, saisir : evalf(int(1/((u^3-u^2+u/4.84-.010397189)^(1/2)),u=0.07710100231..0.1831501832)) ; 30 Equation approchée de l’exemple 4 r 7.686424831 rs 1 0.4074374876 cos(0.8687676414 ) Tracé avec le logiciel MAPLE ( par commodité t ) 0< < 4 Figure 14 31 Tracé avec le logiciel MAPLE 0 < < 64 Figure 15 Pour une remarquable animation du mouvement de la particule, voir : Orbits in Strongly Curved Spacetime By John Walker http://www.fourmilab.ch/gravitation/orbits/ 32 4 Trajectoires radiales 4.1 Les deux temps d’un Trou noir : le temps vécu par un observateur lointain, et le temps propre d’une particule en chute libre. Pour un observateur à grande distance du trou noir on peut penser qu’il vit le temps universel encore appelé temps cosmique si il est comobile avec le trou noir., d’autre part le champ de gravitation de M est négligeable étant donnée la distance qui l’en sépare. Pour la particule en chute libre, sa vitesse toujours croissante, modifie pour elle l’écoulement du temps en raison de la théorie de la Relativité. 0n notera que, s’agissant de trajectoires radiales le moment cinétique est nul. La formule donnant la vitesse radiale( page 20 ) se réduit à : 1 2 Vr m0c 2 E2 u 1 c E m02c 4 E peut être connu en exprimant la m0 c 2 condition initiale de la chute : Le rapport Si r R alors V Vr 0 ( voir figure 5 ) Il s’ensuit que : 1 Figure 16 E r 2 V0 1 1 s 2 m0c R V2 1 2 c 1 1 La vitesse radiale s’écrit alors : Vr c rs 1 R 1 2 rs 2 1 R u 1 ( rappel u rs ) r 33 ( R est la distance à partir de laquelle la particule est lâchée en chute libre fig 16) dr Nous avons vu page 13 que Vr r dt 1 s r r 1 c 1 s dr r rs rs 2 On en déduit que : ( noter que 0< r < R ) , pour r rs 1 dt r R rs 2 1 r dr 0 . Pour l’observateur lointain, les évènements tendent à se figer curieusement dt lorsque la particule atteint l’horizon de Schwarzschild ( voir plus loin la curieuse expérience de pensée imaginée par J.P. Luminet figure 17). En plus le red shift de la lumière devient de plus en plus grand en raison de l’effet d’un champ de gravitation sur la propagation d’un champ électromagnétique. Calculons l’instant t qui serait affiché par une horloge au voisinage de l’observateur lointain lorsque la particule m0 se trouve à la distance r de 0 ( figure 16 ), étant entendu qu’elle a été mise a zéro au moment du lâché ( point désigné par « début de la chute » figure 16 ), on se sert de l’expression de la dérivée de r(t) écrite ci-dessus. 1 rs 2 1 r dr rs rs r 1 1 c R R rs rs 2 rs r R 1 r r r Conservons le changement de variable u s dr s2 du u r r 1 3km u 1, s Application numérique pour : R 3rs 10s 3 c c t 1 1 2 t 10 1 3 1 u du 1 les résultats sont ci-dessous 1 2 2 3 u u 3 1 u Résultats de l’intégrale r rs 3 2.5 2. 1.5 1..25 1.1 1.01 1.001 1 u 0.333333333 0.4 0.5 0.6666666666 0.8 0.909090909 0.9900990099 0.9990009990 1 0 6.38051163478 9.125220143 11.558739389 13.0522804302 14.5245321365 17.542137175 20.38090707 t en s 0 52 74.5 94.37 106.57 118.59 143.23 166.4 34 Figure 17 Expérience de pensée de J.P. Luminet 35 4 .1 Temps propre affiché par une horloge liée à la particule en chute libre et indiquant 0 au moment du lâché. Appelons ce temps pour ne pas le confondre avec le temps t dr La vitesse radiale pour la particule est , alors que pour l’observateur lointain on d dr l’écrivait : . rs dt 1 r r Maintenant d dt 1 s r dr dr dt dr 1 D’où : r d dt d dt 1 s r D’autre part, la chute libre en mouvement accéléré annule le champ de gravitation au voisinage proche de la particule, il faut faire R dans le numérateur de l’intégrale donnant t, mais conserver R dans le dénominateur : D’où : 1 c dr rs rs r R 1 2 on retrouve une expression Newtonienne Application numérique, on conserve les mêmes données que pour l’observateur rs r lointain u s R= 3km 0.3333333<u< 10s c r u r du s 1 c 0.333333 2 u u 0.3333333 2 r rs 3 2.5 2 1.5 1.25 1.1 1.01 1 0 u 0.333333333 0.4 0.5 0.6666666666 0.8 0.90909090909 0.9900990099 1 Résultats de l’intégrale s 4.1216521798 5.6476162347 6.67912478186 7.07782913353 7.286351135122 7.40116708848 7.41346050374 8.16209714027 41.21 56.47 66.79 70.77 72.86 74.01 74.13 81.62 r r Les courbes t et sont sur la figure 18 rs rs 36 Figure 18 Ordre de grandeur lorsqu’il s’agit de trous noirs géants pouvant contenir plusieurs millions d’étoiles, par exemples au centre des galaxies (chute à partir de 3rs ) Plaçons nous dans le cas où M 107 M Le temps de chute libre pour atteindre l’horizon de Schwarzschild est de l’ordre de 30 minutes constaté par l’observateur lointain. La durée de temps propre de la particule pour atteindre la singularité est de 13 minutes. 37 5 Période T d’une orbite quasi képlerienne En se reportant à la figure 6 page 17 et, en examinant en particulier, l’orbite J 2.2 et en adoptant les valeurs numériques de l’exemple 4, il est par ailleurs m0crs r T évident que lorsque varie de 5.46 à 12.97 il s’écoule un intervalle de temps 2 rs D’autre part, il a été montré que : dr Vr (1 u) page 13 dt dr du dt rs 2 Vr (1 u) Vr u (1 u) rs r puisque u En explicitant Vr en fonction de u ( formule de la page 20 ) dt rs c du 1 J2 2 m0c 2 J2 E2 u2 (1 u) 2 2 2 u3 2 2 2 u2 u 2 4 1 E m0c rs m0 c m0c rs 0.183 rs T 2 1.02 c 0.071 du 1 u2 (1 u)(4.84 u3 4.84 u2 u 0.05)2 En adoptant les mêmes valeurs numériques que dans l’exemple 4 page 28, on aboutit à : r du dt s 1.02 1 c u2 (1 u)(4.84 u3 4.84 u2 u 0.05) 2 T 2 1.02 rs 0.183 c 0.0771 du u (1 u) (4.84 u 4.84 u u 0.05) 2 3 2 1 2 Le résultat de l’intégrale ci-dessus obtenu par le logiciel MAPLE En adoptant rs 3km la période est de : T 2 1.02 (10s) 128 2611s M Pour un trou noir plus gros d’une masse M M multiplier les s par M Ne pas s’étonner de la petitesse de T vu que la distance à la singularité n’est en moyenne que dix fois l’horizon de Schwarzschild. 38 Période dans le temps propre de la particule l’intégrale est modifiée comme il suit : rs 0.183 T 2 1.02 c 0.0771 du 1 u2 (4.84 u3 4.84 u2 u 0.05) 2 Le résultat de l’intégrale ci-dessus obtenu par le logiciel MAPLE est Cette période vaut maintenant : 2611 113 2305s 128 On constate qu’une horloge liée à la particule retarde par rapport à une horloge éloignée du trou noir qui elle, mesure le temps cosmique du référentiel comobile dans lequel se trouve l’observateur, le trou noir, et la particule en orbite. 6 Mission possible ou impossible ? Il s’agit d’une expérience de pensée consistant à placer une fusée en immobilité au dessus d’un trou noir, son poids étant exactement compensé par une poussée égale (voir figure 19), c’est un équilibre instable purement théorique pour mettre en évidence une propriété particulière du voisinage proche d’un trou noir. Comme on peut s’attendre à une attraction gravitationnelle énorme, les effets de marée seront ressentis par l’astronaute, l’importuner, le blesser voire le tuer. Cet effet est bien connu, il est analogue à l’influence de la Lune sur les océans. En l’occurrence il s’agit d’un étirement entre la tête et les pieds, l’astronaute étant censé se tenir debout dans la fusée, parallèlement au champ de gravitation. L’attraction gravitationnelle, encore appelée accélération «a » en un point situé à une distance r du centre d’une masse sphérique M est donnée par l’expression : a GM r2 39 La singularité est en M a Figure 19 Pour une petite différence de distance r il s’ensuit une petite variation du champ de gravitation « a » que l’on peut calculer en dérivant l’expression de « a » par rapport à «r»: 2GM a 3 r r En l’occurrence, r est égale à la hauteur « h » de l’astronaute, disons 2mètres pour fixer les idées. Nous pouvons encore écrire a sous la forme suivante : 2GM c 2 a 2 3 r c r 40 On aura reconnu que 2GM rs l’horizon de Schwarzschild c2 Que peut supporter le corps humain ? Facilement a 1 g , g étant l’accélération de la pesanteur sur la Terre 10m / s2 très dangereusement 15 g soit 150m / s2 , au delà c’est mortel !. On peut résoudre l’équation ci-dessus en r en fonction du a supportable et de rs «h» 1 r c2 h 3 rs rs2 a 6.1 Application numérique Données : Trous noir de 7M dont le rs 21 103 m et h 2m 1 On aboutit à : r 1010 3 0.040816326 rs a Pour a 1 g 10m / s2 on trouve r 344 rs Pour a 15 g 150m / s2 on trouve r 139 rs Ainsi, pour une distance « r » inférieure à 139 27 3753km c’est la mort pour l’astronaute, pour une distance plus petite la fusée est complètement déchiquetée ! 6.2 Paradoxe des trous noirs géants Considérons maintenant un trou noir d’une masse de 107 M masse acquise par accrétion de nombreuses étoiles piégées par l’énorme champ de gravitation. Alors l’échelle est la suivante rs 3 1010 m 1 r 2 10 4 3 La formule ci-dessus devient : rs a r 2.7 10 2 ce qui veut dire que l’on peut Pour a 1 g 10m / s2 on trouve rs pénétrer dans le trou noir au delà de son horizon, mais on ne pourra jamais en ressortir et que l’on atteindra fatalement la singularité centrale où le champ de gravitation est infini ; il s’ensuivra la destruction de toute matière. 41 Durée de survie de l’astronaute Admettons que la limite extrême de a soit de 15g soit 150m / s2 la distance r minimale de survie par rapport à la singularité est de : 102 soit 300000km rs Si le commencement de la chute est à 3rs on trouve une durée de survie de 815 secondes soit environ 13 minutes ( en utilisant les formules de la page 36 ,qui exprime le temps propre de la particule ) 42 7 Rayons lumineux autour des trous noirs Comme on le sait, les rayons lumineux sont constitués de photons. Le photon est la particule élémentaire du rayonnement électromagnétique, particule de masse nulle, de charge électrique nulle, de spin 1, classé parmi les bosons. Pour calculer leur chemin, lorsqu’ils sont en très grand nombre, on reprend l’équation 2 du de la page 20 qui donne , en faisant m0 0 (ce chemin est une géodésique) d 2 E2rs2 du 2 3 u u 0 J2c 2 d Les constantes du mouvement sont donc E et J. Bien que les photons n’aient pas de masse, J n’est pas nul, car ils véhiculent une E quantité de mouvement qui est égale à , E étant l’énergie du photon. c Pour mener les calculs nous allons introduire une constante L telle que E2rs2 1 22 2 2 Jc L rs L : a la dimension de l’inverse d’une longueur. D’où l’équation remaniée : 2 du 1 2 3 u u 2 2 0 L rs d Pour alléger l’équation, adoptons une nouvelle notation pour la variable liée à la distance : Lrsu du d Lrs L’équation prend maintenant la forme : 2 1 d 2 3 1 2 2 3 3 2 2 0 2 2 L rs d L rs L rs L rs 2 d 3 2 1 0 Lrs d 43 Nous pouvons maintenant obtenir l’intégrale qui donne : d 2 1 Lrs 3 Les composantes orbitales de la vitesse ( comme page 20 ) peuvent s’en déduire : 1 Vr 3 2 1 2 c Lrs 1 2 1 c Lrs V On obtient, bien évidemment : Vr2 V2 c 2 en accord avec l’invariance de la vitesse de la lumière 7.1 Calculs numériques Remarquons, tout d’abord que lorsque r est très grand devant rs : Lrsu L rs2 est très petit r L’expression sous le radical qui figure dans l’intégrale qui donne ( ci-dessus )tend vers : 1- 2 Lr 2 d D’où : arcsin arcsin s 2 r 0 1 On peut en voir les conséquences sur la figure 20 Figure 20 Lrs2 il s’ensuit que, loin de 0 le rayon r lumineux ce propage parallèlement à l’axe polaire et à une distance Lrs de cet axe, est à considérer comme un paramètre d’impact . On constate que r sin et comme sin 44 Remarquons que des équations écrites précédemment on peut obtenir : 1 2 d 3 2 1 d Lrs d 0 , est à un extremum, en l’occurrence r passe par un minimum, la d bissectrice des deux asymptotes est un axe de symétrie de la trajectoire. Lorsque Exemple 1 Lrs 3 3 2 1 0 qui correspond au périastre est 1.347296356 3 L’intégrale qui donne l’angle des coordonnées polaires est donnée page 44 La racine de r rs 2.22668 2.35 2.5 2.75 3 4 5 6 7 8 9 10 u rs r Lrsu radians 0.4490987843 1.34729635 0 0.4255319149 1.276595745 0.5644322234 0.4 1.2 0.8112780488 0.3636363636 1.0909090909 1.064764294 0.333333333 1 1.234711399 0.25 0.75 1.607960790 0.2 0.6 1.794801426 0.16666666 0.5 1.910111949 0.1428571429 0.4285714286 1.989118253 0.125 0.375 +2.046893787 0.1 0 0.3 0 2.126011081 2.430334720 1390 r cos r sin -2.22668 -1.985 -1.72 -1.33 -0.989 +0.148 +1.11 +1.997 +2.84 +3.666 0 -1.257 -1.81 -2.4 -2.83 -3.99 -4.87 -5.658 -6.39 -7.11 +5.27 -8.497 La figure 21 représente la géodésique parcourue par les photons, le trou noir en 0 se comporte comme un déflecteur de lumière. 45 Figure 21 46 Effet paradoxal de la déflexion de la lumière par un trou noir ( expérience de pensée) Se plaçant dans les conditions de l’exemple 1 où l’angle de déflexion est de 82° la figure 22 montre comment on pourrait imaginer qu’un astronome puisse observer la même étoile dans deux directions différentes. En outre, si l’on suppose que le chemin direct a une longueur de 50000 AL, le chemin indirecte produit par la déflexion est plus long, il est de 76200 AL. Conclusion : on peut voir, au même instant le même astre tel qu’il était il y 50000 ans et comme il était il y a 76200 ans, l’écueil est probablement que la quantité de lumière déflectée est faible devant celle que l’on reçoit directement. Figure 22 47 Exemple 2 Lrs 2.612 La racine la plus grande de l’expression qui est sous le radical de l’intégrale donnant page 44 est 1.635498. Résultats du calcul de cette intégrale : r rs 1.597 1.65 1.70 1.8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u rs r Lrsu radians 0.6261477825 1.635498 0 0.606060606 1.5830303 0.991440957 0.5882352941 1.536470588 1.326190545 0.555555555 1.45111111 1.736407923 0.5 1.306 2.196824004 0.333333333 0.87066666 3.009495987 0.25 0.653 3.294156680 0.2 0.5224 3.446910380 0.16666666 0.43533333 3.54352282 0.1428571429 0.3731428573 3.610521680 0.125 0.3265 3.659858058 0.11111111 0.29022222 3.697759942 0.1 0.2612 3.727825288 r cos r sin -1.597 -0.9 -0.41 +0.296 +1.17 +2.97 +3.95 +4.762 +5.52 +6.24 +6.949 +7.64 +8.33 0 -1.38 -1.649 -1.775 -1.62 -0.395 +0.607 +1.5 +2.347 +3.16 +3.96 +4.75 +5.53 Le tracé de la géodésique est à la page suivante ( figure 23 ) 48 Figure 23 49 Exemple 3 Lrs 3 3 2.598076212 2 Pour cet exemple l’angle donné à la page 44 est le résultat de l’intégrale numérique suivant : 0 d 3 2 1 3 3 2 D’autre part, le périastre se trouve en un point qui correspond à l’annulation de la vitesse radiale Vr c 1 2 La fonction 1 2 3 3 3 2 3 3 3 2 s’annule alors D’autre part l’annulation de la dérivée de cette fonction coïncide avec le périastre, la racine est m 3 Comme Lrs u finalement u r r 2 on en déduit que m 1.5 telle est. m rs 3 3 3 rs 2 la position du périastre. Ces constatations sont l’indice d’un enroulement possible du rayon lumineux autour du trou noir comme nous allons le voir. Pour calculer l’approche de la lumière nous allons utiliser le paramètre d’impact mis en évidence figure 20 page 44. Sur cette figure on constate que r sin , on peut commencer mettons r =10 ( rappel rs est notre unité de longueur et vaut donc 1 ) l’approche à 1 3 3 0.2598076212 radian ( environ 15 °) r 10 2 Le tableau suivant donne les coordonnées par lesquelles passe la géodésique suivie par la lumière. Arc sin 50 r rs 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.8 1.7 1.6 1.5 u 0.1 0.111111111 0.125 0.1428571429 0.1666666666 0.2 0.25 0.3333333333 0.5 0.5555555555 0.5882352941 0.625 0.66666666666 2.598076212 u 0.2598076212 0.2886751346 0.3247595265 0.3711537447 0.4330127021 0.5196152424 0.649519053 0.866025404 1.2998038106 1.443375673 1.528280125 1.623797633 1.732050808 radians r cos r sin 0.2625886919 0.2924800155 0.3301633585 0.3792039096 0.4457892773 0.5417679988 0.6934095946 0.9754737729 1.773950649 2.208536452 2.574445652 3.226223706 9.65 8.61 7.56 6.5 5.41 4.28 3 1.68 -0.4 -1.07 -1.43-1.59 2.59 2.59 2.59 2.59 2.58 2.57 2.55 2.48 1.95 1.44 0.91 - 0.135 Figure 24 51 Exemple 4 Lrs 2.2 Cet exemple a une particularité que l’on décèle en traçant la courbe de la vitesse Vr 3 1 2 est égal à 1 lorsque c 2.2 0 , ce qui a lieu si r , ensuite passe par un minimum lorsque la dérivée de 3 s’annule c’est à dire 1.46 et remonte à 1lorsque 2.2 , cette valeur 1 2 2.2 correspond à r rs en fin de parcours du rayon lumineux, lequel est capturé par le trou noir ( figure 25 ) radiale en fonction de . On s’aperçois que Figure 25 52 Calcul de la courbe représentant le rayon lumineux. r rs 10 8 6 5 4 3 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 u 2.2 u radians r cos r sin 0.1 0.125 0.1666666 0.2 0.25 0.3333333 0.5 0.5555555 0.625 0.7142857143 0.833333333 1 0.22 0.275 0.366666666 0.44 0.55 0.7333333 1.1 1.2222222 1.375 1.57428571 1.83333333 2.2 0.2215749254 0.2782398263 0.3742514623 0.4530174894 0.5752867727 0.7934075192 1.309348864 1.51207255 1.786409856 2.158827753 2.597317222 3.051336714 9.75 7.69 5.58 4.49 3.35 2.104 0.516 0.105 -0.34 -0.776 -1.02 -0.99 2.198 2.197 2.19 2.188 2.17 2.13 1.93 1.79 1.56 1.164 0.621 0.0901 Nota : dans cette figure l’unité de longueur est rs Figure 26 L’impact est à l’intersection de la ligne rouge et de l’horizon en pointillé noir. Conclusion Aucun rayon lumineux ne peut s’enrouler autour d’un trou noir si le paramètre 3 3 d’impact est > . 2 3 3 Si le rayon lumineux est capturé et ne pourra jamais ressortir du trou noir 2 Ce la permet de définir une aire sphérique de capture 4 2 27rs2 53 8 Cas des masses stellaires non effondrées Prévisions que fit Einstein concernant le Soleil Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le paramètre d’impact est très 2GM grand de le rayon de Schwarzschild rs 2 . c Pour fixer les idées, s’agissant du Soleil par exemple,dont le rayon est R= 700000km 2GM et rs 3km et que le rayon lumineux frôle sa surface, le facteur d’impact est c2 700000 2.33 105 . On aura constaté l’énorme différence des ordres énorme 3 de grandeur avec les précédents exemples. En premier lieu, cherchons vers quoi tend l’équation différentielle de la page 43 réécrite de façon un peu différente : 2 d 3 2 1 Lrs d Dérivons cette expression par rapport à : 2 d d d2 32 2 2 d d Lrs d d2 32 d2 2Lrs Ecrivons la plutôt sous la forme : d2 32 d2 2Lrs On connaît une solution de cette équation sans second membre : d2 0 dont la solution est sin d2 Une solution approchée avec second membre est la suivante dont nous montrerons l’opportunité : sin 1 sin2 2cos2 2Lrs 54 Ecrivons cette équation de manière à faire apparaître la coordonnée polaire r r Sachant que : Lrsu Lrs rs On obtient : Lrs2 r 1 sin2 2cos2 2Lrs Nous allons maintenant étudier la fonction r( ) à partir de la figure 27 qui n’est pas du tout è l’échelle ( volontairement ). sin Figure 27 Pour l’observateur, l’étoile lointaine, avant l’éclipse, se trouvait dans la direction représentée par la ligne horizontale , mais au tout début de l’éclipse, lorsque le rayon lumineux commence à frôler la surface du Soleil elle semble s’être déplacée d’un angle 2 ( doublement de l’angle comme dans la figure 21 page 46 ) Dans l’expression ci-dessus r( ) , faisons 0 On trouve que r = OA = L2rs3 L2rs2 rs ( Lrs est un nombre pur lorsque rs n’est pas choisi comme unité de longueur ) . Lrs2 Faisons on trouve maintenant que r OB 1 2 1 2Lrs Lrs2 r r r OB 1 1 23 s2 étant petit, tg s2 s OA 1 1 L rs Lrs Lrs Lrs R 2Lrs 2r 4GM et 2 s prévision d’Einstein dont la valeur numérique pour le Soleil R Rc 2 donne 1.74 ‘’ d’arc . Cette prévision fut effectivement observée par Arthur Eddington en 1919 lors d’une éclipse favorable, la formule d’Einstein fut confrontée à l’observation de nombreuses fois en 1922, 1929, 1936, 1952, et 1973. tg 55 9 Lentilles gravitationnelles D’une certaine façon, la constatation que les rayons lumineux peuvent faiblement courbés par la gravitation fait penser aux mirages atmosphériques. être Le déflecteur des rayons lumineux est, en général, une galaxie géante qui est loin d’être ponctuelle comme dans les calculs déjà présentés. Ce n’est pas non plus un effet d’opacité comme dans le cas des rayons lumineux rasant la surface du Soleil. En somme pour aborder les mirages gravitationnels il faut abandonner, soit la densité infinie d’une masse ponctuelle, soit la densité finie du Soleil ou d’une autre étoile, responsable de son opacité. S’agissant maintenant d’une galaxie déflectrice de 1011 à 1012 étoiles liées par la gravitation ou encore de d’amas de galaxies, par exemple d’étoiles contenues dans un disque de l’ordre de 50 kpc ( 160000 AL ou 10 21 m ) et de faible épaisseur 2kpc (6500 AL ou 1021m ) nous abordons un milieu dilué de densité que l’on peut évaluer à 0.1 étoile par pc 3 ( 3.26AL3 ou 3.4 1044 m3 ). Si la masse moyenne des étoiles, comme il est admis est de l’ordre de grandeur de la masse solaire M 2 1030 kg cela fait une densité moyenne de 1020 kg / m3 , il peut aussi s’y ajouter la mystérieuse matière noire . Enfin, les distances source-déflecteur-observateur étant de l’ordre de plusieurs milliards d’AL ( 10 25 m ), très grandes devant le diamètre du déflecteur, il faut s’attendre à ce que les angles soient très petits : quelque secondes d’arc, il peut s’ensuivre aussi une amplification de l’éclat apparent des objets observés. Ajoutons enfin qu’aujourd’hui les lentilles gravitationnelles contribuent à percer le mystère de la matière noire dont l’existence conforte le modèle d’univers proposé par la cosmologie moderne. Figure 28 56 La figure 28 montre la disposition relative d’une source ( qui pourrait être un Quasar par exemple ), d’une galaxie déflectrice jouant le rôle d’une lentille gravitationnelle, d’un observateur qui constate trois images dont deux en projection sur le disque de la galaxie déflectrice. 9.1 Modélisation élémentaire Se plaçant dans le cas le plus simple où le plan de la galaxie est perpendiculaire à la droite qui joint directement l’observateur à la source, le disque galactique sera considéré comme infiniment mince. Nous tiendrons compte de la décroissance de la distribution des étoiles depuis le bulbe central jusqu’à la périphérie du disque galactique. A. Toomre a proposé une répartition de la densité surfacique de masse d’une galaxie idéalisée sous la forme : (r) 0 1 r 2 3 2 Figure 29 57 Lorsqu’un rayon lumineux impacte le disque à une distance du centre de gravité, la masse à prendre en compte pour la déviation est : M( ) 0 0 2rdr 3 1 r 2 2 : est le paramètre d’impact en nombre de fois le rayon de Schwarzschild 4GM( ) La déviation est obtenue par la formule d’Einstein : ( ) c 2 4G 1 Pour simplifier les calculs, faisons 20 1 c2 1 rdr est la déflexion dans une unité arbitraire ( figure 30) ( ) 3 0 2 2 1 r et ont le même signe sur cette figure Figure 30 58 9.2 Equation simplifiée d’une lentille gravitationnelle Le but est d’obtenir une autre relation ( ) qui dépende des positions relative de la source (Quasard), de la lentille ( Galaxie) et de l’Observateur. Figure 31 Les distances xQ et xG étant très grandes devant le paramètre d’impact angles , , , sont très petits, et l’on peut écrire : D’où l’équation : QM QI xG xQ QM xQ les QI xQ xG xQ (xQ xG ) xG xQ 1 x xG xG 1 G 1 x Q xQ Que nous écrivons sous la forme : a b équation d’une droite 59 9. 3 Position angulaire des images 1 On les obtient à l’intersection des courbes : ( ) a b et ( ) 0 rdr 3 2 2 1 r Figure 32 La figure 32 montre ces intersections, on constate que le nombre d’images est impair : un point D ou trois points A, B, C . 60 9.4 Anneaux d’Einstein C’est un cas théorique où l’angle de la figure 31 est nul, c’est à dire à l’alignement parfait de la source, du centre de la lentille, et de l’observateur. Si le déflecteur est parfaitement symétrique, alors tous les points de la source sont à égale distance du centre et sont déviés d’un même angle. L’image formée est un anneau. La taille d’un anneau s’exprime par un angle appelé « Rayon d’Einstein ». 1 4GM x x G 2 ( mêmes notations qu’à la page 59, figure 31 ) radians 2 Q xG xQ c Si l’on déplace légèrement la source, alors on obtient des arcs. Paradoxalement le télescope de Hubble a photographié un anneau d’Einstein ! .Et des images multiples d’une même source ( croix d’Einstein ) 61 Effets de la dilution de la matière dans l’espace : Figures 33 9.5 Autre effet de la courbure des rayons lumineux On constate une augmentation de l’éclat apparent d’objets très lointains qui n’auraient jamais pu être distingués sans cet effet, en somme l’univers nous fait cadeau de télescopes naturels. L’amplification de l’éclat apparent est de la forme : A M M : masse de la lentille : facteur d’impact 62 10 L’espace-temps est courbé par la présence de matière, qu’en est-il plus particulièrement pour le temps ? Retard d’écho radar Shapiro. Nous avons vu, à partir d’exemples numériques que l’espace-temps est géométriquement modifié par la présence de matière ; S’agissant, plus particulièrement du temps, Irwin Shapiro a, en 1961( à la suite de travaux pour améliorer la détermination de l’Unité Astronomique ) montré que son écoulement est affecté par la présence de matière. Ses travaux ont suggéré une expérience effectuée lors de la conjonction supérieur de Mars en 1970 et de la présence de la sonde Mariner 6 équipée d’un répondeur radar ( plusieurs autres expériences furent réalisées avec Mariner 7 et 9 ). La confrontation entre le calcul et l’expérience fut remarquablement cohérente. La figure ci-dessous montre les positions respectives de la Terre, du Soleil et de Mars, et le trajet rasant la surface du Soleil de l’onde électromagnétique radar ( un peu comme sur la figure 27 ). Etant donnée la petitesse de la déviation angulaire déjà calculée, on a fait l’approximation d’une trajectoire rectiligne. Figure 34 L’équation de la trajectoire Terre Mars se réduit à : Lrs2 tg et x On utilise maintenant la métrique de Schwarzschild ( voir page 12 ), et puisqu’il s’agit d’ondes électromagnétiques ds=0 et on adopte et d 0 , c’est à dire 2 que les calculs concernent un plan. r 2 2 x 2 L2rs4 x 2 dr 2 r 0 c 2dt 2 1 s r 2 d 2 r r 1 s r 63 De l’équation de la trajectoire écrite page précédente on tire : arctg Lrs2 x d 1 r (L2rs4 x 2 ) 2 dr Lrs2dx L2rs4 x 2 xdx (L r x 2 ) 2 4 s En portant ces valeurs dans la métrique de Schwarzschild , il vient : c 2dt 2 Finalement : x2 L2rs4 rs 2 1 2 2 4 x 2 L2r 4 dx 1 x L r r s s rs 2 1 r On fait l’approximation rs rs 1 r 1 vu que r est très petit c 2 dt 2 1 1 rs 1 r 2 dx 2 Et puisque rs <<<< r dt rs 1 rs 1 1 dx 1 c r c x 2 L2rs4 1 2 dx Le temps que l’onde radar met pour aller de x T à + xM est donné par l’intégrale : t( x T xM ) r 1 dx s c c dx x 2 L2rs4 1 2 2 2 4 x T xM rs xM xM L rs t( x T xM ) ln c c x T x T2 L2rs4 ln veut dire logarithme népérien x T et XM étant très grands devant Lrs2 qui est égal au rayon de la sphère solaire, on écrit la partie concernant le logarithme népérien sous la forme : 1 L2rs4 2xM rs 2 xM ln c 1 L2rs4 2 xT 64 Négligeons L2rs4 devant xM , on obtient finalement le retard Shapiro xM rs 4xM x T ln c L2rs4 Pour le trajet depuis la Terre jusqu’à Mars s’ajoute évidemment : xM x T c Comme le retard Shapiro est à comparer avec une expérience radar il faut le multiplier par 2 par suite de l’aller et du retour TS 2rs 4xMx T ln c L2rs4 Application numérique X T : distance Terre Soleil = 1UA = 1.5 108 km xM ; distance Mars Soleil = 1.5 UA= 2.25 108 km Lrs2 distance d’impact par rapport au centre du Soleil rs 2GM 3km 10s 3 c c 3 105 km / s RS rayon de la sphère solaire = 700000km En tenant compte du facteur d’impact on peut se placer dans la condition qui ne rase pas tout à fait la surface du Soleil : Lr 2 On a s RS RS On aboutit à l’expression suivante : 4x x 2 2rs ln M2 T ln 2 RS RS TS c TS 250s 1 0.16 ln Rs La figure 35 montre la variation de TS en fonction de 700000km 65 Figure 35 On ne perdra pas de vue que la durée d’un aller et retour entre la Terre et Mars lors de la conjonction était de : 2 (xM x T ) 2 (1.5 2.25) 108 2500 secondes c 3 105 3 d’heure 4 Une conclusion hâtive pourrait être que la vitesse de la lumière n’est pas constante ! La concordance entre le calcul conduit selon la théorie de la Relativité et l’expérience, confirme bien que l’invariance de la vitesse de la lumière est une propriété locale, et que c’est la présence de la matière qui affecte l’écoulement du temps . 66 11 Aventure de la lumière émise par un laser en chute libre vers un trou noir Cette aventure est racontée par Kip S. Thorne dans son livre : Trous noirs et distorsions du Temps Il s’agit de la lumière émise par un laser à l’argon de longueur d’onde e =0.5145 m ( dans le vert ), cette lumière est reçue par un observateur lointain situé à 162030 km de la singularité du trou noir. La figure 16 page 33 donne une idée de ce dont nous voulons parler, la particule est, en l’occurrence, un robot porteur d’un laser ; en outre le trou noir choisi a une masse de 10 fois celle du Soleil, donc rs 30km en conformité avec nos précédents calculs. Le déroulement de l’expérience de pensée de Kip S. Thorne montre qu’au cours de la chute libre la longueur d’onde reçue par l’observateur ne cesse de dériver vers le rouge, appelons 0 cette longueur d’onde. Après un premier quadruplement de la longueur de la longueur d’onde reçue, on se trouve dans l’infrarouge, ensuite cette longueur d’onde double toutes les 140 s environ, c’est ce que nous allons démontrer. Ce phénomène est communément appelé « red shift gravitationnel » de la lumière. r, distance du laser par rapport à la singularité du trou noir, la formule est déduite de la métrique de Schwarzschild ( page 12 ) : 1 z Calculons u 0 e 1 1 rs 2 1 r rs lorsque la longueur d’onde a quadruplée : r 4 1 1 rs 2 1 r On trouve : u rs 1 15 1 r 16 16 La formule donnant 0 permet d’établir le tableau de la page suivante. e 67 0 e Rang Du doublement u 8 23 1 42 2 4 2 2 16 24 3 4 2 2 2 = 32 25 rs r 1 1 26 1 1 28 1 1 210 I I I I k 2k 2 1 1 2 2(2k 2) I I I I 31 233 1 1 266 Calculons maintenant l’intervalle de temps t pendant lequel l’observateur lointain constate que 0 double. Comme r est voisin de rs au moment où les doublements se produisent, on admettra rs r 0 puisque les est voisin de 1, sans être tout à fait égal à 1 et que R r données sont rs 30km et R = 162030 km, distance à partir de laquelle commence la chute. que u 68 On utilisera la formule de la page 34 simplifiée puisque r t s c r que u s r t Comme uk 1 Comme uk rs 1 on rappelle r du 1 u rs r 1 uk 1 u ln (1 u) uk 1 s ln k c c 1 uk 1 2(k 2) 2 Et que uk 1 1 Il vient : uk 1 rs 0 R 1 2 2(k 3) rs 22(k 3) rs r t ln 2(k 2) ln 4 1.3863 s c 2 c c rs 30km c 300000km / s on trouve t 138.63s Après les 33 doublements signalé par Kip S. Thorne, la longueur reçue 0 est égale à 0.5145 (106 ) 233 4149m elle se trouve dans la gamme des grandes ondes, et l’on peut supposer qu’elle est en delà des bandes recevables par un observateur resté au lieu où la chute libre du laser a commencé. Les 33 doublements de longueur d’onde auront eu pour effet de balayer toute la partie du spectre électromagnétique comprise entre la fréquence de la lumière verte et la fréquence zéro, et, cela pendant : 138.63 33 4575s 11.1 Remarque sur la chronologie des évènements observés L’intégrale qui donne le temps t qui s’est écoulé depuis l’instant où la chute libre a commencé et l’instant où le laser est à la coordonnée r du centre du trou noir est écrite ci-dessous : 1 1 30 2 dr t 1 c 160.30 R162030 30 30 30 1 r r 162030 r La vitesse de chute est donnée par la formule : 1 Vr c 1 30 2 1 162030 30 2 30 r 162030 On trouvera page suivante un tableau des résultats de calcul. 69 r km t secondes Vr km / s 162030-2630 = 159400 9.923 523.9 162030-10500 = 151530 19.833 1073.7 162030-135000 = 27030 60.336 9115.6 14030 61.550 13248 1730 62.216 39263 32 62.247 290217 30 62.2515 299792 Conclusion : c’est donc juste avant que le robot qui transporte le laser n’atteigne la vitesse de la lumière que le décalage spectral rend inobservable son rayonnement dans le vert. 70 12 Interprétation géométrique de la gravitation L’utilisation de la métrique de Schwarschild ( page 12 ) nous a permis d’effectuer un certain nombre de calculs révélateurs des propriétés de l’espace temps, mais, peut être, sans se rendre compte vraiment, de l’aspect physique de sa courbure. C’est ce que nous allons maintenant tenter de visualiser 12.1 La courbure Réécrivons les éléments différentiels de l’espace est du temps. 1 r 2 Pour l’espace : dr 1 s r Pour le temps : dt 1 rs 2 1 r 12 .1 . 2 De l’espace Imaginons qu’un observateur en orbite circulaire de longueur C autour d’un trou noir puisse diminuer progressivement la distance qui le sépare de la singularité centrale, en agissant, par exemple sur la propulsion d’une fusée. Admettons aussi qu’il puisse mesurer les deux choses suivantes : Une petite diminution de sa distance à la singularité dr , coordonnées de Schwarzschild ; par exemple dr = 1 km Une petite diminution dC de la longueur de la circonférence orbitale résultant de la petite diminution dr r étant la dC 6.283185307 . dr On aura reconnu que ce rapport n’est autre que 2 , conformément à la géométrie euclidienne. Ce rapport qui devrait rester constant après de nombreuses diminutions dr va considérablement se réduire lorsque l’on se rapproche de l’horizon du trou noir. Loin du trou noir, l’observateur trouvera que le rapport Le tableau de la page suivante montre ce qu’il en est, sachant que : 1 dC r 2 2 1 s dr r Nous avons adopté la notation Ch 2rs pour la longueur de la circonférence « horizon » 71 Rang de la diminution dr 1km dC dr C Ch 1 2 3 4 5 6 6.283185307 5.960752959 1.89445165 0.6252003053 0.1985924939 0.06282871172 10 1.1 1.01 1.001 1.0001 C dC 6.283185307 1 h dr C C dC 1 est l’indice que la géométrie de Cette diminution très rapide de lorsque dr Ch l’espace n’est pas euclidienne au voisinage d’un trou noir, car la longueur d’une circonférence n’est pas égale à 2 fois son rayon Rappel : 12 .1 . 3 Du temps Pendant la même expérience, mettons en évidence le ralentissement que subirait une horloge en se rapprochant de la singularité. Pour cela nous comparerons les durées enregistrées par deux horloges, l’une très loin du trou noir et l’autre dans les conditions où sont repérées le rang de la diminution dr de la première colonne du tableau précédent. Rang de la diminution dr = 1km 1 2 3 4 5 6 Rappel : t Durée enregistrée par l’horloge sur l’orbite de longueur de circonférence C 20.94395102 s 19.86917653 6.314838833 2.084001017 0.6619749795 0.209429039 Durée enregistrée par l’horloge lointaine t 20.94395102 s 20.94395102 20.94395102 20.94395102 20.94395102 20.94395102 2dr 6.283185307 1km 20.94395102 c 300000km C t 1 h C 72 12.2 Invariance locale de la vitesse de la lumière Faisons le rapport de la variation dC de la longueur de la circonférence C au produit dr , la variation qui accompagne celle de l’espace et qui s’applique au temps, est pour l’horloge sur l’orbite C, l’intervalle . Rang de la diminution dr De 1 km dC dr 1 6.283185307 =300000 20.94395102 10 6 2 5.960752959 =300000 19.86917653 106 3 1.89445165 300000 6.314838833 106 I I I 0.06282871172 300000 0.209429039 106 6 Remarque 1 Faisons ds 0 dans la métrique de Schwarzschild ( page 12 ) dr 2 rs 0 c dt 1 r rs 1 r 2 2 et Cte d 0 73 C’est l’équation différentielle de la géodésique suivie par les photons, on peut calculer le temps mis par la lumière pour franchir la distance comprise entre les C C 10 et 1.0001, ce qui correspond à 1.0001 rs r 10 rs circonférence Ch Ch 10r s 1 t r c 1.0001 s dr 1 rs 2 1 r Si rs 3km on trouve 1890 s , alors que la distance parcourue semble plutôt de 30km, que la lumière parcourt en 100 s . De prime abord cela donnerait à penser que la lumière ralentit au voisinage d’un trou noir ! Il n’en est rien, car la vitesse de la lumière est une propriété locale, ce sont l’espace et le temps qui sont distordus par la présence de matière, en l’occurrence effondrée. Remarque 2 En Relativité générale la relation de Képler 2r 3 = Constante s’applique comme nous allons le démontrer à partir de la figure 11 page 27 E 0.942809m0c 2 Et page 14 dans le cas général : J 3m0crs J m0r 2 r 3rs d dt d dt 1 1 rs 2 1 r Résolvons l’équation : J m0r 2 1 rs 1 r 1 2 3m0crs Dans la condition r 3rs et sachant que Vr 0, donc que le terme concernant la d vitesse est égale à V r , on trouve : dt 2r 3 1 1 2GM rs c 2 2 c 2 GM 2 2 c C’est exactement la relation de Képler, M étant la masse du trou noir 74 13 Visualisation de la courbure de l’espace 13 .1 Artifice du « Plongement » Il consiste à plonger un espace donné dans un espace de dimension supérieur. Dans son livre Les Trous noirs, Jean Pierre Luminet l’exprime très bien : « On visualise parfaitement la forme d’un cercle de dimension 1 en le plongeant dans le plan de dimension 2, ou, la surface d’une sphère de dimension 2 dans l’espace euclidien de dimension 3, ce n’est alors qu’un espace fictif ne servant qu’à encadrer l’espace temps sectionné ». Reportons nous à la figure 5 page 12, on y constate une symétrie évidente par rapport à l’axe oz, s’agissant des trajectoires dans le plan xoy ( ). 2 Il nous suffit de calculer la méridienne d’une surface de révolution, laquelle surface se trouvera plongée dans l’espace euclidien habituel. Les propriétés géométriques de cette surface doivent satisfaire la partie spatiale de la métrique de Schwarzschild : on obtient le résultat avec le paraboloïde de L. Flamm 13 . 2 Paraboloïde de L. Flamm Figure 36 La figure 36 montre comment aborder ce problème : la partie spatiale dl de la métrique à prendre en compte est, sachant que 2 2 r dr dl2 r 2 d2 posons sin2 1 s rs r 1 r 75 Sur la figure 36, on constate que : 1 sin2 dz cot g dr sin dr tg dz rs = r 1 rs r 1 2 1 = 1 r 2 1 rs 1 r 2 Intégrons cette équation à partir du changement de variable w 1 rs dr dr On a alors dw 1 2rs w r 2 2rs 1 rs 1 r 2 wdw la solution recherchée est z2 4rs r rs z 2rs 2rs 1 w r s C’est l’équation d’une parabole passant par r rs z=0 ( figure 37 ) Figure 37 76 Paraboloïde de L. Flamm ( 1916 ) Figure 38 13.2.1 Commentaires sur le Paraboloïde de L. Flamm C’est une surface obtenue par la rotation de la méridienne autour de l’axe oz. On aura remarqué la symétrie verticale par rapport au plan qui découpe la gorge de Schwarzschild dont on peut se demander quelle signification elle a ? D’aucuns prétendent que ce pourrait être une connexion avec un autre univers !....... C’est une opinion très spéculative ……. Quant à la gorge proprement dite, elle a pour rayon rs 2GM c2 S’agissant du feuillet supérieur il s’étant à l’infini et perd peu à peu sa courbure, il est asymptotiquement plat. Les trajectoires des particules en chute libre et les rayons lumineux sont les géodésiques du paraboloïde. Celles-ci sont d’autant plus courbées qu’elles passent plus près du puits de potentiel de gravitation. Sur les figures 39 et 40 sont tracées 5 géodésiques. 1, 2, 3, …sont de plus en plus infléchies par la courbure de l’espace. La géodésique 4 plonge dans le puits et se 77 recoupe elle même en ressortant. La géodésique 5 tombe radicalement dans le trou noir et ne remonte pas. La figure 40 projette les géodésiques précédentes sur un plan parallèle au cercle horizon. « Le résultat illustre parfaitement le principe d’équivalence en rendant l’illusion newtonienne d’un univers plat dans lequel les particules sont déviées de la ligne droite par les forces de gravitation au lieu d’épouser librement les contours de la géométrie courbe »selon une remarque pertinente de Jean-Pierre Luminet. D’après Jean Pierre Luminet Figure 39 78 D’après Jean Pierre Luminet Figure 40 79 14 .1 Les Trous noirs existent-ils vraiment ? 14.1.1 La découverte et la localisation de sources X et en est peut-être la preuve Les aspects principaux de ces sources sont : l’énormité de leur luminosité X et la faiblesse voire l’absence d’une contrepartie dans le visible De prime abord on pourrait considérer que la température de ces sources est telle que le maximum de leur spectre correspond à celui d’un corps noir à la même température. La figure ci-dessous montre l’allure de ce spectre, en fonction de la longueur d’onde. 8k 4 T 4 1 kT x Les notations sont les suivantes : , la densité spectrale 3 3 hc hc 1 x 5 e x 1 23 34 k : constante de Boltzmann 1.38 10 J / K , h : constante de Planck 6.62 10 J s c : vitesse de la lumière Figure 41 Le maximum de la densité spectral a lieu pour x 0.2 , la fonction de répartition est alors égale à 21.2. Poursuivons l’analyse par l’évaluation de la température et de la luminosité dans les domaines X et . 80 Dans le domaine X Plaçons nous à la longueur d’onde 0.1nanomètre. En résolvant l’équation : x 0.2 kT (0.1 10 9 ) hc On obtient une température de l’ordre de T = 30 10 6 K La densité surfacique de puissance rayonnée dans tout le spectre est donnée par la loi du corps noir : 5.67 108 T 4 4.6 1022 w / m2 La luminosité L est le produit de cette densité par la surface rayonnante S qui, dans le cas d’une sphère vaut S 4R 2 où R est le rayon. Adoptons, pour fixer les idées celui du Soleil R =700000 km, d’où S 6 1018 m2 On obtient une luminosité de L 3 10 41 watts Dans le domaine Plaçons nous à la longueur d’onde 3 picomètres (0.003 nanomètre ) On obtient une température de l’ordre de 4.8 108 K La densité surfacique du rayonnement atteint 3 1027 w / m2 La luminosité dans les mêmes conditions que ci-dessus L 1.8 10 46 watts Conclusion : L’énormité de ces luminosités vis à vis de la luminosité du Soleil dont la température de surface n’est que de 6000 K et la luminosité de 4 1026 watts donne à penser qu’il doit y avoir une faille dans ce calcul ! Cette faille vient de ce qu’il y a une limite supérieure à la luminosité d’une étoile : 81 14.2 Limite d’Eddington de la luminosité d’une étoile Rappelons que la stabilité d’une étoile résulte d’un équilibre entre l’attraction gravitationnelle qui maintient sa cohésion, et, la pression qu gaz à haute température qui la constitue… ou la pression de radiation lorsque la luminosité est très grande. La luminosité limite d’Eddington s’obtient en se plaçant dans la condition où ces forces sont égales. Voici un calcul rudimentaire qui permet de situer cette limite. Notons d’emblée que la pression de radiation agit plutôt sur les électrons, alors que l’attraction gravitationnelle concerne plutôt les protons et les neutrons plus massiques. Notons aussi que le nombre de protons et le nombre d’électrons sont égaux en vertu de la neutralité électrique de l’état de plasma du gaz stellaire. L’attraction gravitationnelle qui s’exerce sur un proton dépend de la masse du proton m p et de la masse totale M de l’étoile, elle est donnée par l’expression : GMmp R2 G : constante universelle de la gravitation 6.67259 1011 R : distance au centre de gravité en mètres mp : masse du proton 1.67265 1027 kg La pression de radiation qui s’exerce sur les électrons se traduit par une force qui est proportionnelle à la section efficace T de choc de l’électron libre T 8 e2 0.66 1028 m2 2 3 40mec e : charge de l’électron 1.602190 1019 Coulomb 1 : constante des unités MKSA 8.9877 109 40 me : masse de l’électron 0.910954 1030 kg c : vitesse de la lumière 2.99792458 108 mètres / sec onde Si L est la luminosité limite, la densité de puissance qui traverse l’unité de surface à la distance R du centre de gravité est : L 4 R 2 82 La force répulsive est proportionnelle à la puissance qui traverse la section efficace LT divisée par la vitesse de la lumière c . T , c’est à dire 4R2 LT 1 4R2 c L’égalité entre la force attractive et la force répulsive donne la limite de luminosité : GMmp R 2 Lmax T 4R2c Pour une masse égale à celle du Soleil M 2 1030 kg on trouve : Lmax 4GMmpc T 1.3 1031 watts En fait, cette luminosité est très supérieure à la luminosité actuelle du Soleil qui n’est que de 4 1026 watts , cela est dû à un effet d’opacité des couches supérieures qui modèrent le rayonnement. Plus généralement, pour une étoile de masse M la limite de luminosité est donnée par : M Lmax 1.3 1031 Msolaire Pour avoir une idée de l’évolution d’une étoile, le tableau suivant montre comment se succèdent les étapes de la fusion thermonucléaire. Réaction de fusion Température en K Rayon R en km de l’étoile MM Densité kg/ m Hydrogène Hélium Carbone Oxygène Silicium Fer Mort de l’étoile 10 7 10 8 à 5 108 6 108 à 1.8 109 10 9 à 3.6 109 7 103 7 104 10 4 7 103 1.78 103 1.78 10 6 3.84 108 1.78 109 3 109 à 8 109 2.3 103 4.8 1010 3 Durée de l’étape en années 10 6 à 1010 10 5 à 10 8 10 2 à 10 3 10 2 à 10 3 1 Les températures indiquées sont celles qui peuvent régner au centre d’une étoile, mais la température de surface est, en général, beaucoup plus faible, cela est dû à un effet d’opacité déjà évoqué qui joue un rôle modérateur pour le rayonnement : Par exemple la température interne du Soleil est probablement voisine de 10 7 K alors que la température de surface n’est que de 6000K. 83 On aura noté qu’au cours de la vie d’une étoile, sa concentration ( colonne 3 ) joue un rôle de thermostat fonctionnant par paliers. Un aspect, de prime abord contre intuitif, est que, plus une étoile rayonne d’énergie, plus elle se réchauffe ( colonne 2 ) contrairement à ce qui se passe lorsqu’un corps se refroidit en rayonnant son énergie thermique. Voyons maintenant ce que peut rayonner, au maximum, une étoile effondrée mais qui n’atteint pas le stade de trou noir 14.3 Rayonnement d’une étoile à neutrons de 2M et de rayon R=8km Plaçons nous à la limite d’Eddington Alors L 2 1.3 1031 watts La température T est donnée par l’équation : 4R2 5.67 108 T 4 2 1.3 1031 T 2.75 107 K A cette température le maximum du rayonnement est la longueur d’onde M telle que : kT X 0.2 M hc On trouve M de l’ordre de 0.1 nanomètre Par ailleurs on peut s’attendre à ce qu’un observateur lointain reçoive ce rayonnement affecté d’un red shift gravitationnel donné par : 1 rs 1 R 1 2 1 6 1 8 1 2 2 14.4 Conclusion Les étoiles ne peuvent pas rayonner des tout au plus des X mous Les sources de proviennent de phénomènes confinés dans un très petit volume le rayonnement n’en sortant qu’à travers une très petite surface. Le confinement ne peut provenir que d’un champ de gravitation extrêmement intense régnant dans ce petit volume. D’où l’hypothèse attrayante que les sources de pourraient bien être confondues avec le voisinage immédiat des trous noirs, ce qui accréditerait qu’ils existent bien. 84 15 Le disque d’accrétion d’un trou noir, possible source de gammas Et d’abord, qu’est-ce qu’un disque d’accrétion ? D’une manière générale, l’accrétion est un processus d’agglomération d’éléments. Lorsqu’il d’agit d’un trou noir, c’est l’accroissement de sa masse par capture de particules selon les trajectoires calculées dans la deuxième partie de ce document. Le disque d’accrétion peut être considéré comme le lieu de la simultanéité de toutes les trajectoires possibles, il se présente un peu comme ce que montre la figure 45, la matière occupe une bande circulaire aplatie comme une crêpe entre des limites qui semblent comprises entre 3 et 10 à 15 fois le rayon de Schwarzschild. Disque d’accrétion autour d’un trou noir Les gaz du disque décrivent des spirales avant d’être capturés Figure 45 Dans la partie la plus proche de l’horizon se détachent certaines particules qui sont absorbées par la singularité, on a vu que leur vitesse est très proche de celle de la lumière, certaines l’atteignent réellement lors de captures au périastre où se réalisent les conditions V 0 et Vr exactement c. En somme, un trou noir est en quelque sorte un accélérateur de particules naturel, accélérateur parfait puisqu’il est capable de communiquer à certaines la vitesse de la lumière. On pense qu’il se forme un bourrelet à environ 2 à 3 rs de la singularité dont la température est extrêmement élevée, les milliards de degrés nécessaires à la production de . Dans ces régions, très proches de l’horizon, s’établit un équilibre entre la pression de radiation et la gravitation, lequel régule l’accrétion de matière. 85 Figure 46 On peut s’interroger sur le réservoir de matière nourrisseur d’un trou noir. D’aucuns pensent que, dans certain cas, ce pourrait être une géante rouge, par une sorte de cannibalisme stellaire qui serait régi par la limite de Roche (1849), calculable par l’attraction différentielle entre astres de densité différente. En résumé, l’émission ne peut avoir lieu que dans une très petite région de l’espace, la matière devant être piégée par un énorme champ de gravitation. Rappelons que pour un trou noir de 10 masses solaires, le rayon de Schwarzschild est de rs 30km , pour un géant de 10 7 masses solaires il est de 3 107 km , c’est à dire le cinquième de la distance Terre Soleil pour loger une importante fraction de galaxie ( une galaxie contient, en moyenne, 100 milliards de masses solaires ) 16 A l’intérieur des trous noirs, l’interrogation de Kip S. Thorne ? Evoquant cet intérieur il précise avec humour : où les physiciens se collectant avec les équations d’Einstein tentent de percer le secret de l’intérieur. Est-ce une route vers un autre univers ? Une singularité où les forces de marée sont infinies ? La fin de l’espace et du temps et la naissance de l’écume cosmique ? Il semble qu’il y ait eu beaucoup de débats sur sujet sans résultats bien précis. Finalement c’est Roger Penrose qui proposa du nouveau : professeur de mathématiques à Oxford il eut l’idée d’appliquer la Topologie à ce problème, c’est une branche des mathématiques qui s’intéresse à la façon dont les objets sont connectés entre eux et à eux mêmes. En 1969 Penrose émis la conjecture de la censure cosmique : aucun objet ne peut en s’effondrant donner naissance à une singularité nue. Si une singularité se forme, elle est obligatoirement habillée d’un horizon qui la rend invisible depuis l’univers extérieur. Osons maintenant une remarque personnelle : pouvons nous subodorer qu’à l’intérieur de la sphère horizon il n’y a rien, si ce n’est un point au sens géométrique où la densité est infinie puisque toute la matière s’y est engouffrée et où semblent converger toutes les lignes de force du champ de gravitation situées au dehors de l’horizon. 86 Conclusion Le calcul des trajectoires des particules autour d’un trou noir, en utilisant la notion de potentiel effectif issu de la mécanique classique ajusté à l’aide de la métrique de Schwarzschild, montre que, comme l’avait souhaité Einstein, sa théorie de la Relativité générale est dans le prolongement de la gravitation Newtonienne qui en constitue la limite lorsque les vitesses sont faibles devant celle de la lumière. La forte courbure des rayons lumineux et leur enroulement autour des trous noirs montrent qu’il existe d’autres géométries que l’euclidienne tout aussi licites. La notion de rectitude ne nous vient-elle pas de la propagation des rayons lumineux dans la région du cosmos où nous vivons, région réputée occupée par des champs de gravitation faibles ?... Ce qui nous fait dire : le plus court chemin d’un point à un autre, c’est la ligne droite En Relativité Générale, le plus court chemin est une géodésique de l’espace-temps obéissant à une condition d’extremum ( ds2 0 ), ce plus court chemin, c’est celui qu’empruntent les rayons lumineux. Non seulement la courbure de l’espace est tributaire de la présence de matière mais aussi l’écoulement du temps. L’espace-temps à quatre dimensions fait partie de la tendance moderne à la géométrisation de la physique. En Relativité Générale on dit, a contrario de la Relativité Restreinte, qu’il devient « mou » puisque la présence de matière le déforme, il devient alors « mollusque ». On aura constaté que l’artifice du plongement d’un espace à n dimensions dans un espace à n+1 dimensions permet de visualiser cette déformation, des coupes à temps constant conviennent à nos habitudes sensorielles. La dépendance de l’espace et du temps à la présence de matière est bien ressentie en constatant que les unités naturelles d’espace et de temps sont : loin de la matière, comme dans le système solaire, l’Unité Astronomique U.A. qui vaut 150 millions de kilomètres et l’année, voire le siècle autour d’un trou noir, plutôt le kilomètre et la microseconde Enfin, si dans le passé on a pu douter qu’il puisse exister des trous noirs, les récentes découvertes des sources X et confortent plutôt leur réalité au regard de la limite de luminosité d’Eddington. Philippe Magne 2006 87 Bibliographie Les trous noirs Jean Pierre Luminet Belfond 1987 Editions du Seuil, pour mise à jour, novembre 1992 ISBN original 2-7144-2039-7 ISBN 2-02-015948-1 Le destin de l’univers Trous noirs et énergie sombre Jean Pierre Luminet Le temps des Sciences Fayard 2006 Trous noirs et distorsions du temps Kip S. Thorne Nouvelle Bibliothèque Scientifique Flammarion, 1997 pour la traduction française ISBN 2-08-211221-7 Gravitation Charles W. Misner University of Maryland Kip S. Thorne John Archibald Wheeler California Institute of technology W. H. Freeman and Company Princeton University New York 1997 88 Table des matières Introduction p1 1 Rappels de la notion de potentiel effectif en mécanique de Newton p3 1.1 Position du problème p3 1.2 Potentiel dont dérivent Fa et Fi p4 1.3 L e Potentiel effectif p5 1.4 Choix d’une unité de longueur naturelle et application numériques p7 1.5 Application numérique p8 2 Calcul relativiste des trajectoires des particules autour des trous noirs p11 2.1 Pourquoi faut-il utiliser la Relativité Générale pour traiter ce problème ? p11 2.2 Métrique de Schwarzschild p12 2.2.1 Qu’est-ce qu’une métrique p12 2.2.2 La vitesse déduite de la métrique p13 2.3 Lois de conservation p14 2.3.1 L’énergie p14 2.3.2 Le moment cinétiquep14 2.4 Potentiel effectif relativiste p15 et p17 3 Calcul des orbites au voisinage d’un trou noir p19 3.1 Applications numériques Exemple 1 p21 Exemple 2 p24 Exemple 3 p27 Exemple 4 p28 4 Trajectoires radiales p33 4.1 Les deux temps d’un trou noir : le temps vécu par un observateur lointain et le temps propre d’une particule en chute libre p36 5 Période T d’une orbite quasi képlérienne p38 6 Mission possible ou impossible? p39 6.1 Application numérique p41 6.2 Paradoxe des trous noirs géants p41 7 Rayons lumineux autour des trous noirs p43 7.1 Calculs numériques p44 Exemple 1 p45 Effet paradoxal de la déflexion de la lumière par un trou noir p47 Exemple 2 p48 Exemple 3 p50 Exemple 4 p52 8 Cas des masses stellaires non effondrées Prévision d’Einstein concernant le Soleil p54 89 9 Lentilles gravitationnelles p56 9.1Modélisation élémentaire p57 9.2 Equation simplifiée d’une lentille gravitationnelle p59 9.3 Position angulaire des images p60 9.4 Anneau d’Einstein p61 9.5 Autre effet de la courbure des rayons lumineux p62 10 L’espace temps est courbé par la présence de matière, qu’en est –il plus particulièrement pour le temps. Retard Shapiro p63 11Aventure de la lumière émise par un laser en chute libre vers un trou noir p67 11.1Remarque sur la chronologie des évènements observés p56 12 Interprétation géométrique de la gravitation p71 12.1La courbure p71 12.1.2 De l’espace p71 12.1.3 Du temps p 72 12.2 Invariance locale de la vitesse de la lumière p73 Remarque 1 p73 Remarque 2 Relation de Kepler en RG p74 13 Visualisation de la courbure de l’espace p75 13.1Artifice mathématique du plongement 13.2 Paraboloïde de Flamm p75 13.2.1 Commentaire sur ce paraboloïde p77 14 Les trous noirs existent-ils vraiment ? p80 14.1 La découverte et la localisation des sources X et en est peut-être la preuve p80 14.2 Limite d’Eddington de la luminosité d’une étoile p82 14.3 Rayonnement d’une étoile à neutrons de 2 masses solaires p84 14.4 Conclusion p84 15 Le disque d’accrétion d’un trou noir possible source de gammas p85 16 L’intérieur des trous noirs, l’interrogation de Kip S. Thorne, réponse de Penrose p86 Conclusion générale p87 Bibliographie p88 90