Série 7 Photons-2
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OPTIQUE II Section de Physique Professeur : R. Houdré Exercices : R. Therisod Série 7 4 novembre 2015 Photons Ex 1: Quantification d'un circuit LC excité par une source de tension a) On considère un circuit LC sans pertes. Soit e(t) la tension excitatrice et q la charge du circuit. Ecrire l’équation classique qui détermine la charge q . On posera ω 02 = (LC)−1 la fréquence de résonance du circuit. € € b) En faisant l’analogie avec l’oscillateur harmonique, quelle est €la variable € conjuguée de q ? On la notera p . € c) Soit H le Hamiltonien de ce système. Les équations classiques du mouvement de ce système sont (équations de Hamilton-­‐Jacobi)): € € € dq ∂H = dt ∂p dp ∂H =− dt ∂q Déterminer H . d) Nous €associons des opérateurs hermitiens à q et p . Quelle est la relation qui traduit la quantification? € e) On introduit les opérateurs non-­‐hermitien a et a + définit en fonction de q et p , avec: € € a = (2ω 0 L)−1/ 2 [ω 0 Lq + ip] + a = (2ω 0 L) € −1/ 2 [ω 0 Lq − ip] € € € € Ecrire q et p en fonction de a et a + . En utilisant la question précédente montrer que [a,a + ] = 1. € de €a et a + . On posera f (t) = − e(t) = f * (t) f) Ecrire H en fonction € € 2ω 0 L € g) On charge la capacité avec un tension de 1 volt. A t=0 on court-­‐circuite la source. € totale € du système en prenant C=1nF. Déterminer la condition à € Calculer l’énergie € régime quantique. Que vaut L dans ce cas? réaliser pour se trouver dans un Commenter. Cet exercice a été inspiré du livre de W.H. Louisell “Quantum Statistical Properties of Radiation” 1 Ex 2: Effet Compton: Diffusion de rayons X sur des électrons au repos Lorsqu’un photon de fréquence ν entre en collision (élastique) avec un électron au repos, un photon de fréquence ν’ est émis avec un angle θ et l’électron acquiert une impulsion Pe avec un angle φ (voir schéma du cours). a) Rappelez comment s’écrit l’énergie et la quantité de mouvement d’un photon en fonction de la fréquence optique ν. On notera m0 la masse au repos de l’électron. € b) En utilisant les lois de la mécanique classique (conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement) écrivez trois équations reliant ν, ν’, θ et φ. (On supposera que la vitesse de l’électron est négligeable devant celle de la lumière) c) Montrez qu’à la limite où la différence de fréquence δν << ν, ces équations permettent d’exprimer la fréquence optique du photon diffusé ν' en fonction de la fréquence optique du photon incident ν, et de l’angle de diffusion θ sous la forme h h ν'−ν ≈ ν 2 (1− cosθ) i.e. λ − λ' ≈ (1− cosθ) 2 m0c m0c On éclaire un gaz d’électrons avec des rayons X de 0.1nm de longueur d’onde. Quelle est la vitesse maximale que peut acquérir un électron par effet Compton ? € € Ex. 3 : Quantification du champ électromagnétique a) En utilisant le cheminement indiqué dans le cours, monter que l’énergie électromagnétique du mode k s’exprime sous la forme : 𝑈! = ! 𝜀! 𝐸 ! 𝐵! 𝜀! + 𝑑 ! 𝑟 = 2 2𝜇! 2𝑉 𝜕𝐴! 𝜕𝑡 ! + 𝜔!! 𝐴!! = 𝜀! ! 𝐸 + 𝜔!! 𝐴!! 2𝑉 ! Indication : utiliser l’égalité de Plancherel-­‐Parseval 𝐹 𝑟, 𝑡 ∗ 𝐺 𝑟, 𝑡 𝑑 ! 𝑟 = ! 1 𝐿! ℱ!∗ 𝑡 𝐺! (𝑡) ! b) En introduisant les opérateurs création et annihilation 𝑎!! = 𝑎! = 𝜀! 2 ! 𝜔! 𝑉 𝜀! 2 ! 𝜔! 𝑉 𝜔! 𝐴! + 𝑖 𝜕𝐴! 𝜀! = 𝜔! 𝐴! + 𝑖𝐸! 𝜕𝑡 2 ! 𝜔! 𝑉 𝜔! 𝐴! − 𝑖 𝜕𝐴! 𝜀! = 𝜔! 𝐴! − 𝑖𝐸! 𝜕𝑡 2 ! 𝜔! 𝑉 monter que les opérateurs de champ électromagnétique s’écrivent : 𝐸! = 𝑖 ! 𝜔! 𝑎 𝑒 !(!!!!") − 𝑎!! 𝑒 !!(!!!!") 𝑒! 2𝜀! 𝑉 ! 𝐻! = 𝑖 ! 𝑐! 𝑘 ∧ 𝑒! 𝑎! 𝑒 !(!!!!") − 𝑎!! 𝑒 !!(!!!!") 2𝜇! 𝑉𝜔! 2 Correction Ex 1: Quantification d'un circuit LC excité par une source de tension a) La tension au bornes de la bobine vaut VL = L tension aux bornes de la capacité vaut VC = di d 2q = L 2 avec i le courant et la dt dt 1 q . C € Comme VL + VC = e(t) , on en déduit: € d 2q 1 + ω 02q = e(t) 2 dt L € € dq . En faisant l’analogie avec l’oscillateur harmonique on voit que L joue dt le rôle de la masse. Il est donc naturel de choisir p = Li comme variable dq conjuguée de q . On a alors L = p(t) . € dt b) On a i = € c) Avec la question précédente on a déjà L dq € = p(t) . Par ailleurs, en utilisant la dt € € dp 1 question a) on peut écrire: = − q + e(t) . dt C € dq ∂H 1 = = p(t) on intègre une première fois par rapport à q , ce qui dt ∂p L 1 €2 donne H(t) = p + g(q) . On détermine la fonction g(q) à partir de 2L dp ∂H 1 € = − q + e(t) €= − dt ∂q C € € 1 2 1 2 d’où: H(t) = p + q − e(t)q . 2L 2C A partir de € d) La relation qui traduit la quantification est [q, p] = i € e) Il est immédiat que: p=i ω 0 L €+ ω 0C + [a − a] et q = i [a + a] 2 2 En utilisant [q, p] = i on trouve tout aussi immédiatement que [a,a + ] = 1. €les expressions de q € f) En injectant et p en fonction de a et a + dans H obtenu à la question c) on trouve: H(t) = ω 0 (a + a + 1/2) + [ f (t)a + f * (t)a + ] € € 1 1 € € g) L’énergie totale est E total = C ×12 = 10−9 Joules € €2 2 € € 3 € La quantification a lieu quand le quanta d’énergie ω 0 est de l’ordre de grandeur 1 ≈ E total de l’énergie totale du système, i.e. ω 0 = LC € −41 ce qui est équivalent à L ≈ ≈ 4.10 H 2 (Etotal ) C € N φ µ0 l I × NS N 2S Pour une bobine infinie (solénoïde) on a L = = = µ0 I I l avec, φ le flux et N le nombre de spires, l la longueur de la bobine, S la surface d’une spire et N = 4 π ⋅10−7 H/m. € S 1 1 on obtient = ×€ 2 ×10−34 . € Pour la v€aleur de L trouvée précédement € l π N € ( r %1 1 En prenant S = π × r 2 on trouve un facteur de forme = ' × ×10−17 * qui est € ) l &π N € irréaliste, ce qui montre qu’avec une capacité de 1nF on ne peut pas atteindre le régime quantique. Il en est de même pour une capacité C de 1pF qui donne: € r % 10 1 € −12 ( =' × ×10 * . l & π N ) Remarque: si on considère un condensateur plan de surface S' et d’épaisseur d , S' 1 S' 1 on a = C ≈ 10 2 pour C=1nF et = C ≈ 10−1 pour C=1pf (les valeur de € d ε0 d ε0 capacité que l’on trouve en générale vont de 1pF à 1€ µF). € La forme trouvée pour H est identique à celle du Hamiltonien de l’oscillateur € € a + a pour les quanta de l’oscillateur devient harmonique forcée. L’opérateur nombre l’opérateur nombre de photons dans le circuit LC. a et a + sont respectivement les opérateurs annihilation et création de photon du circuit. € € € € Ex 2 : Effet Compton: diffusion de rayons X sur des électrons au repos a) Energie d’un photon : E=hν Quantité de mouvement d’un photon : p=hν/c P2 b) Conservation de l’énergie : hν = hν'+ e (1) 2m0 hν hν' Conservation de la quantité de mouvement : = cosθ + Pe cos φ c c hν' € 0 = sinθ − Pe sin φ c hν hν' hν' c) On peut réécrire (2) Pe cos φ = − cosθ sinθ € et (3) Pe sin φ = c c c (2) (3) € € € 4 En élevant au carré ces deux expressions, en additionnant les deux nouvelles expressions obtenues et en utilisant (1), on obtient : h2 2 2m0h(ν − ν') = 2 (ν − 2νν'cosθ + ν'2 ) c qui peut se réécrire : ( h2 % 2νν' 2m0h = 2 ' (ν − ν') − (1− cosθ)* c & (ν − ν') ) € En négligeant δν devant ν, il reste : h ν'−ν ≈ ν 2 (1− cosθ) m0c 2 € ou encore en utilisant n=c/l h 2h θ δλ = λ − λ' ≈ (1− cosθ) = sin 2 m0c m0c 2 € d) D’après l’équation de Compton, l’impulsion maximale est transférée lorsque le photon est rétrodiffusé (q=180°). 2h Il s’ensuit que €la différence de longueur d’onde vaut alors δλ Max = m0c δλ Max 2h 2 L’énergie transférée correspondante s’écrit : ΔE Max = hδν Max = h 2 = λ m0 λ2 2h € Et finalement la vitesse maximale est v Max = m0 λ € Ex. 3 : Quantification du champ électromagnétique € a) En introduisant les potentiels vecteur et scalaire, 𝐴 et 𝑉 respectivement, les équations de Maxwell s’écrivent ∇ ∙ 𝐵 = 0 → 𝐵 = ∇⋀𝐴 𝜕𝐵 𝜕𝐴 ∇⋀𝐸 = − → 𝐸 = −∇𝑉 − 𝜕𝑡 𝜕𝑡 1 𝜕𝐸 1 𝜕 1 𝜕!𝐴 ! ∇⋀𝐵 = 𝜀! + 𝐽 → ∇ ∇ ∙ 𝐴 − ∇ 𝐴 + ! ∇𝑉 + ! ! = 𝜇! 𝐽 𝜇! 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝐴 𝜀! ∇ ∙ 𝐸 = 𝜎 → −𝜀! ∇! 𝑉 − 𝜀! ∇ ∙ = 𝜎 𝜕𝑡 Dans le jauge de Coulomb (∇ ∙ 𝐴 = 0) et en absence de courants et de charges on obtient 𝜕𝐴 𝐸 = − 𝜕𝑡 Grâce à l’égalité de Plancherel-­‐Parseval on a tout de suite 𝑈! = ! 𝜀! 𝐸 ! 𝐵! 𝜀! + 𝑑 ! 𝑟 = 2 2𝜇! 2𝑉 𝜕𝐴! 𝜕𝑡 ! + 𝑐 ! 𝐴!! Et en utilisant la relation de dispersion 𝜔! = 𝑐 𝑘 𝑈! = ! 𝜀! 𝐸 ! 𝐵! 𝜀! + 𝑑 ! 𝑟 = 2 2𝜇! 2𝑉 𝜕𝐴! 𝜕𝑡 ! + 𝜔!! 𝐴!! = 𝜀! ! 𝐸 + 𝜔!! 𝐴!! 2𝑉 ! 5 b) En considérant les analogies 𝜔 ↔ 𝜔! 𝜀! 𝑚 ↔ 𝑉 𝑥 ↔ 𝐴! 𝜀! 𝑝 ↔ − 𝐸! 𝑉 On reconnaît l’analogie avec les opérateurs de création et de annihilation pour un oscillateur harmonique : 𝑎! = 𝑎 = 1 2𝑚 ! 𝜔 1 2𝑚 ! 𝜔 𝑚𝜔𝑥 − 𝑖𝑝 ↔ 𝑎!! = 𝑚𝜔𝑥 + 𝑖𝑝 ↔ 𝑎! = 𝜀! 2 ! 𝜔! 𝑉 𝜀! 2 ! 𝜔! 𝑉 𝜔! 𝐴! + 𝑖𝐸! 𝜔! 𝐴! − 𝑖𝐸! ! Et donc l’Hamiltonien ℋ! = ! ! 𝜔! (𝑎! 𝑎!! + 𝑎!! 𝑎! ) Par analogie avec l’expression de l’énergie électromagnétique du mode (exprimée en fonction du potentiel vecteur 𝐴! , cf par exemple Loudon, « The quantum theory of light », chap. 4) 𝑈! = 𝜀! 𝑉𝜔!! (𝐴! 𝐴∗! + 𝐴∗! 𝐴! ) On trouve 𝐴! = ! !!! !!! 𝑎! 𝑒 !(!!!!") − 𝑎!! 𝑒 !!(!!!!") 𝑒! Et alors 𝐸! = 𝑖 ! 𝜔! 𝑎 𝑒 !(!!!!") − 𝑎!! 𝑒 !!(!!!!") 𝑒! 2𝜀! 𝑉 ! 𝐻! = 𝑖 ! 𝑐! 𝑘 ∧ 𝑒! 𝑎! 𝑒 !(!!!!") − 𝑎!! 𝑒 !!(!!!!") 2𝜇! 𝑉𝜔! 6
