n - PUC-SP

PUC-SP. Juin 2006
Γn entier ou irr ationn el
PrŽ
sentation de Mich el HENRY,
IREM de BesanŽ
on (Fra nce)
Pour tout entier n,
√n est entier ou irrationnel
Un beau théorème absent de
l’arithmétique d’Euclide
(Livres 7 à 9 des Éléments)
√n est entier ou irrationnel
• I - L’irrationalité de √n
1 - √2 et la « crise » des quantités irrationnelles
Si √2 était un rapport de deux entiers, la diagonale et le côté d’un carré
seraient mesurés par une même unité (i.e. en seraient des multiples entiers).
On pourrait alors construire un carré de côté plus petit que la moitié du
précédent et qui serait mesuré par cette même unité. On peut refaire cette
construction jusqu’à obtenir une longueur mesurée par une unité plus
grande qu’elle ! (Cf. la démonstration d’Euclide, Livre X, prop. 117).
Preuve d’Aristote :
2 ne peut pas être le carré d’un rapport d’entiers.
En effet, si deux entiers a et b étaient dans un rapport irréductible (i.e. sans
diviseur commun) tel que a2 = 2b2, a serait un nombre pair (car le carré
d’un nombre impair est impair) et 2b2 serait multiple de 4.
b serait donc pair et 2 serait diviseur commun de a et b !
√n est entier ou irrationnel
• I - L’irrationalité de √n
2 - Généralisations ?
Théodore de Cyrène (460-369) avait obtenu l’irrationalité de √3 et √5
Platon (428-347) dans le dialogue du Thééthète:
« Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos de racines
et nous avait montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point
pour la longueur commensurables avec celle d'un pied, et, les prenant ainsi,
l'une après l'autre, il était allé jusqu' à celle de dix-sept pieds et il s'était,
je ne sais pourquoi, arrêté là ».
La question générale de l’irrationalité de √n était à la portée des Grecs,
tous les arguments nécessaires sont rassemblés dans le Livre VII des
Éléments d’Euclide (prop. 20 à 32), pourtant le résultat général n’y figure
pas.
√n est entier ou irrationnel
• I - L’irrationalité de √n
3 - Démonstration de la propriété, prérequis :
Elle s’appuie sur le théorème dit « de Gauss » suivant :
Soient a, b, c trois entiers naturels. Si a est premier avec b et si a
divise le produit bc, alors a divise c.
On utilisera seulement cette conséquence immédiate, présente dans les
Éléments (Livre VII, prop. 25) :
(1) Si p est un nombre premier divisant a2, alors p divise a.
On y trouve aussi (prop. 32) que :
(2) pour tout entier non premier b > 1, il existe un diviseur premier
de b.
Enfin (prop. 20 à 22) que :
(3) tout rationnel peut être représenté par une fraction irréductible
unique.
√n est entier ou irrationnel
• I - L’irrationalité de √n
3 - Démonstration de la propriété :
- Supposons que √n soit rationnel non entier,
- Ce rationnel peut donc être représenté par la fraction irréductible a/b,
avec b > 1 (3).
- a et b sont donc deux entiers premiers entre eux, tels que a2 = nb2.
- Soit p un diviseur premier de b (2).
- p divise a2 et donc divise a (1).
- a et b ayant p pour diviseur commun, ne seraient pas premiers entre
eux !
- rejet de l’hypothèse absurde: si √n n’est pas entier, il ne peut être rationnel.
√n est entier ou irrationnel
• II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.
1 - La division euclidienne
Pour Euclide, toute l'arithmétique dans IN* repose sur cette division
“naturelle”, non énoncée dans les Éléments :
Pour tout couple d'entiers non nuls (a, b) tels que a ≥ b, il existe un
couple unique d'entiers (q, r) tels que:
a = b q + r, avec q ≥ 1 et 0 ≤ r < b.
Résultat obtenu simplement en retranchant b de a autant de fois q qu'il est
possible. Le reste r est donc strictement inférieur à b, sinon on pourrait
enlever b de a – b q une fois de plus.
2 - L’algorithme d’Euclide (Livre VII, prop. 1) :
« Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant
retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste
ne mesure jamais le [reste] précédent jusqu’à ce qu’il subsiste une
unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux ».
√n est entier ou irrationnel
• II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.
Avec les propositions 2 à 12 du Livre VII, Euclide étudie les propriétés de
la divisibilité, et celles des proportions avec les propositions 13 à 19.
Proportion :
Deux couples d’entiers (a, b) et (c, d) sont en proportion si et
seulement si a d = b c (prop. 19).
Euclide dit qu’ils sont en « même raison », ou « dans le même rapport ».
(Pour nous : ils définissent un même rationnel).
3 - La réduction des fractions
Proposition 20, la clé :
« Les plus petits nombres parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux
mesurent ceux qui ont le même rapport autant de fois, le plus grand le
plus grand et le plus petit le plus petit ».
Traduction:
Si a et b sont deux entiers non nuls et si pour tout (c, d) formant avec
(a, b) une proportion on a a ≤ c et b ≤ d, alors il existe un entier q
tel que c = q a et d = q b.
√n est entier ou irrationnel
• II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.
3 - La réduction des fractions
Proposition 21, la bonne remarque :
« Les nombres premiers entre eux sont les plus petits parmi ceux
qui ont le même rapport qu’eux ».
Proposition 22, réciproque :
« Les nombres les plus petits parmi ceux qui sont dans le même
rapport qu’eux sont premiers entre eux ».
Synthèse: le théorème d’Euclide :
Soient (a, b) et (c, d) deux couples d’entiers non nuls en même
rapport (a d = b c). Si a et b sont premiers entre eux, alors c et d
sont équimultiples de a et b (i.e. il existe un entier q tel que
c = a q et d = b q).
Interprétation moderne:
Tout nombre rationnel représenté par une fraction c/d, peut être
représenté par une fraction irréductible unique a/b avec c = aq et
d = bq, où q est le p.g.c.d. de c et d).
√n est entier ou irrationnel
• II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.
4 - Conséquence directe : le théorème dit « de Gauss »
– Supposons que a divise b c et que a est premier avec b.
– Il existe donc d non nul tel que a d = b c.
– a et b sont premiers entre eux dans le même rapport que (c, d).
– D’après le théorème d’Euclide, a divise c.
5 - Les énoncés d’Euclide :
Proposition 24 :
Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec b c.
Cas particulier (proposition 25):
Si a est premier avec b, alors a est premier avec b2.
Conséquence contraposée pour a premier :
Si p premier divise b2, alors p divise b.
Théorème de Gauss pour a premier (proposition 30) :
« Si deux nombres se multipliant l’un l’autre produisent un certain
[nombre] et si un certain nombre premier mesure leur produit, il
mesurera aussi l’un des nombres initiaux. »
Si p est un nombre premier et si il divise le produit b c, il divise b ou il divise c