Le nombre d`Euler e.
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Le nombre d’Euler e. À l’instar du nombre irrationnel π, il y a un autre nombre irrationnel qui surgit de façon naturelle dans plusieurs différents contextes en mathématiques. On l’appelle le nombre d’Euler et on le dénote par le symbole e. Lorsqu’un nombre tel que celui-ci survient souvent en mathématiques il cesse d’être un “étranger”. On finit même par l’adopter et l’apprivoiser en étudiant ses propriétés pour mieux le comprendre. Sa valeur approximative est: e ≈ 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 4... Il existe de nombreuses façons d’exprimer ou de reconnaı̂tre le nombre e. Nous en présentons que quelques-unes. Les deux suivantes sont les plus connues et les plus utilisées. e=1+ 1 1 1 1 1 + + + + +··· 2! 3! 4! 5! 6! et 1 n e = lim 1 + n→∞ n La première est une somme infinie de fractions ayant comme dénominateurs des entiers 1 1 1 1 1 factoriels (par exemple, 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1). L’expression 1 + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! n’est qu’une approximation de la valeur de e. Plus on allonge la somme, plus la valeur de la somme s’approche de e. n L’expression e = limn→∞ 1 + n1 veut dire que la suite numérique infinie ( ) 1 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1+ , 1+ , 1+ , 1+ ,... 1+ ,... 1 2 3 4 n converge vers e. Plus la valeur de n est grande plus l’expression 1 + En voici trois autres: e=2+ e=2+ 2 2+ 3 3+ 4+ 4 5 6 5+ 6+··· 1 1+ 1 2+ 1 3+ 2 3 4 4+ 5+··· 1 n n s’approche de e. e=1+ 2 1+ 1 1+ 6+ 10+ 1 1 1 14+ 1 ··· Au 19ème siècle le mathématicien Joseph Fourier démontra que, comme π, e est un nombre irrationnel. Au cas où la preuve intéresserait certains lecteurs, la voici: À démontrer: le nombre d’Euler e est irrationnel: • Supposons que e est un nombre rationnel. • Donc il existe deux entiers a et b tels que e = ab . Nous savons que e n’est pas un entier et donc b n’est pas égale à 1. • Nous pouvons donc écrire a 1 1 1 1 1 1 1 1 e = = 1+ + + + + +···+ + + +··· b 2! 3! 4! 5! 6! (b − 1)! b! (b + 1)! • Multiplions les deux côtés de l’équation par b!: a b! b! b! b! b! b! b! · e = b! · = b! + + + + · · · + + + +··· b 2! 3! 4! (b − 1)! b! (b + 1)! • Si le concept des factoriels vous est familier vous déduisez rapidement que b! · e = b! · ab b! b! b! b! b! est une nombre entier, ainsi que l’expression b! + 2! + 3! + 4! + · · · + (b−1)! + b! . b! b! b! b! b! + 3! + 4! + · · · + (b−1)! sont des entiers, il faut que • Si b! · e et b! + 2! + b! b! (b+3)! b! (b+1)! b! + (b+2)! + + · · · soit également un entier. b! b! b! + (b+2)! + (b+3)! + · · · nous poursuivons avec la chaı̂ne suivante d’égalités • Si R = (b+1)! et d’inégalités: R = = ≤ = = = b! b! b! + + +··· (b + 1)! (b + 2)! (b + 3)! 1 1 1 + + +··· (b + 1) (b + 1)(b + 2) (b + 1)(b + 2)(b + 3) 1 1 1 + + +··· 2 (b + 1) (b + 1) (b + 1)3 1 1 1 1+ + +··· (b + 1) (b + 1) (b + 1)2 ! 1 1 1 (b + 1) 1 − (b+1) 1 b 2 • Donc nous avons l’entier R ≤ 1b . Ceci est impossible puisque b est un entier pas égale à 1. • La source de notre contradiction est d’avoir supposé que e pouvait prendre la forme d’une fraction ab • Donc e ne peut pas être un nombre rationnel. c Club Pythagore, 2007 3
