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M5 - DYNAMIQUE
Compétences attendues :
Déterminer l’accélération d’un solide.
Déterminer les actions mécaniques qui agissent
sur le solide en mouvement
Programme S.T.I. :
• Principe fondamental de la dynamique
pour un solide en mouvement
Mise en évidence du principe
• Expérience 1 :
Soit une patineuse de masse m faisant la "toupie"
(rotation d'axe fixe)
• Comparer la vitesse de
rotation de la patineuse
dans les deux cas. Que
constatez-vous ?
La vitesse dépend de la
répartition de la matière
autour de l’axe de rotation.
Cette grandeur s’appelle le moment d’inertie noté IG
Moment d’inertie
 IG représente le moment d’inertie par rapport à l’axe de
rotation du système isolé (c’est la répartition de la matière
autour de l’axe de rotation) .
Il est exprimé en kg.m2
Volume
Moment d’inertie
représentation
Rayon R
Cylindre plein
Cylindre
creux
IG = ½ m.R2
IG = ½ m.(R2+r2)
Rayon R
Rayon r
Mise en évidence du principe
• Expérience 2 :
trois roues indépendantes de masse et de rayon
différents (IG différents) sont guidées par des
roulements identiques. On néglige toutes résistances
passives.
tracteur
Sur
quelle
grandeur
physique faut-il agir pour
que les trois roues aient
la même accélération w’ ?
Le couple moteur Cm
vélo
voiture
Principe fondamental de la dynamique
de rotation
Le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation.
La somme des moments qui agissent sur le
solide S, est égale au moment d’inertie du
solide IG multipliée par son accélération
angulaire w’ .


MG (S / S )  IG   '
NEWTON
1642 - 1727
Autour de l’axe de rotation : Cm – Cr = IG x w ’
Rappel de cinématique : w ’ = (w-wo)/t ou w ’ =(w2-w02)/2(q-q0)
Le solide est équilibré en translation donc la somme des forces est nulle
Application : démarrage à vide d’une perceuse
Le couple de démarrage d’une perceuse est de 0,1 N.m.
Sa vitesse de rotation en régime permanent est de 3000 tr/mn.
Le moment d'inertie des parties tournantes est de 10-4 kg.m2 .
1/ Calculer l'accélération angulaire au moment du démarrage.
PFD : Cm – Cr = IGx . w’
x
w’ = ( Cm – Cr ) / IGx
w’ = ( 0,1 – 0 ) / 10-4 = 103 rd/s2
Application : démarrage d’un moteur
S
C
m
C
r
A
x
G
P
Soit l’ensemble S en liaison pivot d’axe Ax.
L’ensemble de la chaîne cinématique est modélisé par un volant plein de
rayon R= 150 mm et de masse m= 50 kg.
L’inventaire des actions mécaniques extérieures à S est définit comme suit :
* un couple moteur au démarrage de 5 Nm
* un couple résistant de 0,2 Nm
* Le poids de l’ensemble tournant de 500N
* l’ action de guidage en A de 0 sur S
1/Modéliser les Actions mécaniques extérieures au solide S
tournant :



T Cm 
0 5Nm
0 0 
0 0  xyz
A
0  0,2Nm

T Cr  0
0

0
0
 xyz
A


 0 0
Tterre/ S 500N 0
 0 0 xyz
G
ddl en A
0 Rx

XA 0 

0 0  T0/ S  YA M A 
 ZA N A 
0 0
 xyz
A
2/ Calculer la durée de l’accélération pour que le moteur atteigne
la vitesse de 1500 tr/mn :
2-1/ en négligeant les frottements
2-2/ en considérant que tous les frottements se réduisent
à un couple de frottement Cf = 0,2 Nm.
Frottements
négligés
PFD
Cm - Cr
IGX=1/2.m.R2
w’= (Cm-Cr)/IGX
t = (w-w0) / w’
Cf = 0,2Nm
Cm – Cr = IGX . w’
5Nm
4,8Nm
½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2
8,89 rd/s2
8,53 rd/s2
(1500.2P/60)/8,89 (1500.2P/60)/8,53
= 17,67s
= 18,41s
Application : Freinage du moteur
L’arrêt d’un arbre moteur tournant à 1500 tr/mn s’effectue en
1 seconde.
Déterminer le couple de freinage assurant l’arrêt de moteur.
Frottements
négligés
Cf = 0,2Nm
PFD
Cm – Cr = IGX . w’
IGX=1/2.m.R2
½ . 50 . 0,152 = 0,5625 kg.m2
w’ = (w-w0) / t
Cm-Cr
Cfreinage=Cr-Cf
(-1500.2P/60)/1 = - 157,08 rd/s2
- 88,36 Nm
88,36 Nm
88,16 Nm
Exercice 4 : Etude d’un frein
Soit le frein schématisé ci-dessous.
4.1. Déterminer le couple de freinage du moteur :
C = n . N . f . rm
-
frein
n : nombre de couples de surfaces frottantes (ici, 1 paire)
N : force normale aux surfaces frottantes.
f : coefficient de frottement entre les surfaces frottantes.
rm : rayon moyen du disque. rm≈(R+r)/2
Données :
N=1500N, f=0,2, R=150mm, r=115mm.
C = 1500 x 0,2 x (150+115)/2 = 39750 mmN
C = 39,75 mN
4.2. Déterminer la décélération du moteur.
On prendra une inertie du rotor J=1,6 Kg.m2.
PFD :
Cm – Cr = J . w’
0 – 39,75 = 1,6 . w’
w’ = – 39,75 / 1,6 = - 24,84 rd/s2
4.3. Pour une fréquence de rotation nominale de 300tr/min,
déterminer le temps de freinage.
w0 = 2p N / 60 = 2p x 300 / 60 = 31,4 rd/s
t = (w – w0) / w’ = - 31,4 / - 24,84 = 1,26 s
Exercice 5 : Choix d’un moteur
Un malaxeur chargé de mélanger des produits est entraîné par un moteur
électrique. La vitesse de rotation de ce moteur est égale à 140 tr/min.
5.1- Calculer, en rad/s, la vitesse angulaire du moteur électrique.
w = 2p N / 60 = 2p x 140 / 60 = 14,66 rd/s
5.2- Le malaxeur est assimilé à un volant d'inertie en forme de jante
de masse m égale à 40 kg et de diamètre D égal à 50 cm.
a/ Calculer, en kg.m2, le moment d'inertie J1 de la jante.
J1 = ½ .m . R2 = ½ x 40 x 0,252 = 1,25 kg.m2
b/ Pour un moment d'inertie du moteur J2 égal à 2 kg.m2,
déduire le moment d'inertie total JT correspondant à la chaîne
cinématique « jante + moteur ».
JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2
c/ En appliquant le principe fondamental de la dynamique en
rotation, calculer, en N.m, le moment M du couple de la chaîne
cinématique lors de la phase de démarrage.
On prendra w’ = 2,1 rad/s2.
PFD :
M = Cm – Cr = JT x w’
M = 3,25 x 2,1 = 6,825 N.m
5.3- Le moment du couple résistant du malaxeur est estimé à 5 N.m.
a/ Calculer le moment du couple moteur de ce moteur électrique lors
de la phase de démarrage.
PFD :
M = Cm – Cr = JT x w’
Cm = (JT x w’ ) + Cr
Cm = M + Cr = 6,825 + 5 = 11,825 N.m
b/ Parmi les 3 propositions ci-dessous, quel est le moteur le plus
approprié
Moteur A : 10 N.m Moteur B : 15 N.m
Moteur C : 20 N.m
Moteur B : 15 N.m > Cm=11,825N.m
Exercice 6 : Etude de poulies
Cas n°1
Données
Cas n°2
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est l'accélération angulaire de la poulie ?
PFD : Cm – Cr = J . w’
=> w’ = Cm – Cr / J
cas 1 : w’ = mg . R / ½ . M . R2
w’ = 2mg / M R = 2x2x10/ 5x0,2 = 40 rd/s2
cas 2 : w’ = 2(-m2+m1)g / M R = -2x1x10/ 5x0,2 = -20 rd/s2
cas 3 : w’ = (-m2 r + m1 R)g / Jp = (-3x0,1+2x0,2)x10/0,3=3,3 rd/s2
Exercice 6 : Etude de poulies
Cas n°1
Données
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Cas n°2
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est l'accélération linéaire de la masse m ?
At = R. w’
Cas n°1 : At = R. w’ = 0,2x40 = 8 m/s2
Cas n°2 : At = R. w’ = 0,2x20 = 4 m/s2
Cas n°3: At = R. w’ = 0,2x3,3 = 0,66 m/s2
Exercice 6 : Etude de poulies
Cas n°1
Données
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Cas n°2
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est la tension dans la corde reliant la masse m à la poulie, celle
reliant la masse m1 à la poulie et celle reliant la masse m2 à la poulie ?
Cas n°1 : T = m . g = 2 x 10 = 20 N
Cas n°2 et n°3 :
T1 = m1 . g = 2 x 10 = 20 N
T2 = m2 . g = 3 x 10 = 30 N
Exercice 7 : solide en liaison pivot
On considère un ensemble S en liaison
pivot d’axe (A,x).
AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4
I(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2
y
x A
O
G
B
C
P
* Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une
linéaire annulaire d’axe Bx.
XA
A(1/ S )  YA
Z
A A
0

0
0 XYZ
0
B(2 / S ) YB
Z
B B
0

0
0 XYZ
0
 0
* Le poids est modélisable en G par :
T (terre / S )  200 0
 0

0

 XYZ
G
 0 2




C
(
3
/
S
)

100
0
* Le couple moteur est modélisable en C par :


 0 0
 XYZ
C
1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à
l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R
des actions mécaniques extérieures agissant sur S.
*Transfert des torseurs au point A :
XA
A(1/ S )  YA
Z
A
A
0
B(2 / S )  Y
Z
B
B
B
0

0
0 XYZ
0
0


0   Y
0  XYZ A Z
B
B
 0
T (Terre / S )  30
 0
G
 0
C(3 / S ) 100
 0
C

0,32 0
0





 0,32ZB  M A (2 / S ) MB (2 / S )  AB  B2 / S  0  YB   0,32ZB
0,32YB  XYZ
0
ZB
0,32YB
0
0
 0


0    30
0  XYZ A  0
2
 0


0  100
0 XYZ A  0
0 
0,15
0
0





0  M A (T / S )  MG (T / S )  AG  P  0   30  0
 4,5 XYZ
0
0
 4,5
2
2





0
M A (3 / S )  MC (3 / S )  AC  C3 / S  0 
40 XYZ
0
0,4
0
2
0  100  0
0
0 40
* PFD :
I AX .w ' 

0


0
 XYZ
0
A(1/ S )A  B(2 / S )A  T (terre / S )A  C(3 / S )A  0
0
A
XA

 YA
Z
A
A
0
0


0   Y
0 XYZ A Z
B
B
 0



 0,32ZB    30
0,32YB  XYZ A 
 0
0
* Équations :
X A  0 (1)

 Y  Y  30  100  0 (2)
B
 A

Z A  ZB  0 (3 )

2  I AX .w ' ( 4)


 0,32ZB  0 (5)

 0,32YB  4,5  40  0 (6)
0 
 0


0   100
 4,5 XYZ A  0
2

0 
40 XYZ
I AX .w ' 

0


0
 XYZ
0

0
0
A
* Résolution : (1)  X A  0
( 5 )  ZB  0
(3 )  Z A  0
(6)  YB  110,94 N
(2)  YA  40,94 N
( 4)  w ' 
2
I AX

2
0,008
w '  250rd .s
2
2/ Déterminer l’accélération angulaire q’’ du mouvement de
S/R et en déduire la nature du mouvement.
(4)  q ' '  w '  250rd.s
2
3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la vitesse
de régime N = 1500 tr / mn.
1500.2p
w  w0
p
60
t

  0,628 s
w'
250
5