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Exercices de DYNAMIQUE de rotation
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Exercice 1 : étude d’un frein
Exercice 2 : choix d’un moteur
Exercice 3 : étude de poulies
Exercice 4 : solide en liaison pivot
Exercice 1 : Etude d’un frein
Soit le frein schématisé ci-dessous.
1.1. Déterminer le couple de freinage du moteur :
C = n . N . f . rm
-
frein
n : nombre de couples de surfaces frottantes (ici, 1 paire)
N : force normale aux surfaces frottantes.
f : coefficient de frottement entre les surfaces frottantes.
rm : rayon moyen du disque. rm≈(R+r)/2
Données :
N=1500N, f=0,2, R=150mm, r=115mm.
C = 1500 x 0,2 x (150+115)/2 = 39750 mmN
C = 39,75 mN
1.2. Déterminer la décélération du moteur.
On prendra une inertie du rotor J=1,6 Kg.m2.
PFD :
Cm – Cr = J . w’
0 – 39,75 = 1,6 . w’
w’ = – 39,75 / 1,6 = - 24,84 rd/s2
1.3. Pour une fréquence de rotation nominale de 300tr/min,
déterminer le temps de freinage.
w0 = 2p N / 60 = 2p x 300 / 60 = 31,4 rd/s
t = (w – w0) / w’ = - 31,4 / - 24,84 = 1,26 s
Exercice 2 : Choix d’un moteur
Un malaxeur chargé de mélanger des produits est entraîné par un moteur
électrique. La vitesse de rotation de ce moteur est égale à 140 tr/min.
2.1- Calculer, en rad/s, la vitesse angulaire du moteur électrique.
w = 2p N / 60 = 2p x 140 / 60 = 14,66 rd/s
2.2- Le malaxeur est assimilé à un volant d'inertie en forme de jante
de masse m égale à 40 kg et de diamètre D égal à 50 cm.
a/ Calculer, en kg.m2, le moment d'inertie J1 de la jante.
J1 = ½ .m . R2 = ½ x 40 x 0,252 = 1,25 kg.m2
b/ Pour un moment d'inertie du moteur J2 égal à 2 kg.m2,
déduire le moment d'inertie total JT correspondant à la chaîne
cinématique « jante + moteur ».
JT = J1 + J2 = 1,25 + 2 = 3,25 kg.m2
c/ En appliquant le principe fondamental de la dynamique en
rotation, calculer, en N.m, le moment M du couple de la chaîne
cinématique lors de la phase de démarrage.
On prendra w’ = 2,1 rad/s2.
PFD :
M = Cm – Cr = JT x w’
M = 3,25 x 2,1 = 6,825 N.m
2.3- Le moment du couple résistant du malaxeur est estimé à 5 N.m.
a/ Calculer le moment du couple moteur de ce moteur électrique lors
de la phase de démarrage.
PFD :
M = Cm – Cr = JT x w’
Cm = (JT x w’ ) + Cr
Cm = M + Cr = 6,825 + 5 = 11,825 N.m
b/ Parmi les 3 propositions ci-dessous, quel est le moteur le plus
approprié
Moteur A : 10 N.m Moteur B : 15 N.m
Moteur C : 20 N.m
Moteur B : 15 N.m > Cm=11,825N.m
Exercice 3 : Etude de poulies
Cas n°1
Données
Cas n°2
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est l'accélération angulaire de la poulie ?
PFD : Cm – Cr = J . w’
=> w’ = Cm – Cr / J
cas 1 : w’ = mg . R / ½ . M . R2
w’ = 2mg / M R = 2x2x10/ 5x0,2 = 40 rd/s2
cas 2 : w’ = 2(-m2+m1)g / M R = -2x1x10/ 5x0,2 = -20 rd/s2
cas 3 : w’ = (-m2 r + m1 R)g / Jp = (-3x0,1+2x0,2)x10/0,3=3,3 rd/s2
Cas n°1
Données
Cas n°2
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est l'accélération linéaire de la masse m ?
At = R. w’
Cas n°1 : At = R. w’ = 0,2x40 = 8 m/s2
Cas n°2 : At = R. w’ = 0,2x20 = 4 m/s2
Cas n°3: At = R. w’ = 0,2x3,3 = 0,66 m/s2
Cas n°1
Données
m = 2 kg
Poulie :
M = 5kg
R = 20cm
fixée au
plafond.
Cas n°2
Données
Cas n°3
Données
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
m1 = 2 kg
m2 = 3 kg
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
Poulie :
M = 5kg
R=20 cm
r =10cm
Jp =0,3kg·m2
Quelle est la tension dans la corde reliant la masse m à la poulie, celle
reliant la masse m1 à la poulie et celle reliant la masse m2 à la poulie ?
Cas n°1 : T = m . g = 2 x 10 = 20 N
Cas n°2 et n°3 :
T1 = m1 . g = 2 x 10 = 20 N
T2 = m2 . g = 3 x 10 = 30 N
Exercice 4 : solide en liaison pivot
On considère un ensemble S en liaison
pivot d’axe (A,x).
AG = 0,15; AB = 0,32; AC = 0,4
I(A,x) = 8 . 10-3 kg.m2
y
x A
O
G
B
C
P
* Cette liaison pivot est obtenue par l’association d’une rotule en A et d’une
linéaire annulaire d’axe Bx.
XA
A(1/ S )  YA
Z
A A
0

0
0 XYZ
0
B(2 / S ) YB
Z
B B
0

0
0 XYZ
0
 0
* Le poids est modélisable en G par :
T (terre / S )  200 0
 0

0

 XYZ
G
 0 2




C
(
3
/
S
)

100
0
* Le couple moteur est modélisable en C par :


 0 0
 XYZ
C
4.1/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique à
l’ensemble S au point A et déterminer les composantes dans R
des actions mécaniques extérieures agissant sur S.
*Transfert des torseurs au point A :
XA
A(1/ S )  YA
Z
A
A
0
B(2 / S )  Y
Z
B
B
B
0

0
0 XYZ
0
0


0   Y
0  XYZ A Z
B
B
 0
T (Terre / S )  30
 0
G
 0
C(3 / S ) 100
 0
C

0,32 0
0





 0,32ZB  M A (2 / S ) MB (2 / S )  AB  B2 / S  0  YB   0,32ZB
0,32YB  XYZ
0
ZB
0,32YB
0
0
 0


0    30
0  XYZ A  0
2
 0


0  100
0 XYZ A  0
0 
0,15
0
0





0  M A (T / S )  MG (T / S )  AG  P  0   30  0
 4,5 XYZ
0
0
 4,5
2
2





0
M A (3 / S )  MC (3 / S )  AC  C3 / S  0 
40 XYZ
0
0,4
0
2
0  100  0
0
0 40
* PFD :
I AX .w ' 

0


0
 XYZ
0
A(1/ S )A  B(2 / S )A  T (terre / S )A  C(3 / S )A  0
0
A
XA

 YA
Z
A
A
0
0


0   Y
0 XYZ A Z
B
B
 0



 0,32ZB    30
0,32YB  XYZ A 
 0
0
* Équations :
X A  0 (1)

 Y  Y  30  100  0 (2)
B
 A

Z A  ZB  0 (3 )

2  I AX .w ' ( 4)


 0,32ZB  0 (5)

 0,32YB  4,5  40  0 (6)
0 
 0


0   100
 4,5 XYZ A  0
2

0 
40 XYZ
I AX .w ' 

0


0
 XYZ
0

0
0
A
* Résolution : (1)  X A  0
( 5 )  ZB  0
(3 )  Z A  0
(6)  YB  110,94 N
(2)  YA  40,94 N
( 4)  w ' 
2
I AX

2
0,008
w '  250rd .s
2
4.2/ Déterminer l’accélération angulaire q’’ du mouvement
de S/R et en déduire la nature du mouvement.
(4)  q ' '  w '  250rd.s
2
4.3/ Déterminer le temps nécessaire pour atteindre la
vitesse de régime N = 1500 tr / mn.
1500.2p
w  w0
p
60
t

  0,628 s
w'
250
5