Lignes trigonométriques. Géométrie analytique.

Lignes trigonométriques.
•
•
•
•
Soient dans un plan
deux axes
rectangulaires x’Ox et
y’Oy.
Considérons un angle
orienté ^xOM = a
Décrivons un cercle de
x’
centre O et de rayon
OM=1
De M abaissons la
perpendiculaire MQ sur
yy’
y
M
Q
A
a
P
O
x
y’
1
Lignes trigonométriques.
•
•
Par définition on
appelle cosinus de
l’angle a la mesure
algébrique du segment
OP quand on prend OM
pour unité. On écrira
cos a = OP
Par définition on
x’
appelle sinus de
l’angle a la mesure
algébrique du segment
OQ quand on prend
OM pour unité. On
écrira
sin a = OQ
y
M
Q
A
a
P
O
x
y’
2
Lignes trigonométriques.
•
•
On appelle tangente
de l’angle a le rapport
de sinus au cosinus de
cet angle. On écrira
tg a = sin a / cos a =
OQ/OP
On appelle
cotangente de l’angle
a l’inverse de la
tangente de cet angle.
On écrira
cotg a = cos a / sin a
= OP/OQ
y
M
Q
A
a
x’
P
O
x
y’
3
Signes des lignes trigonométriques.
a
0 – 90o
90o- 180o
180o- 270o
270o- 360o
sin a + 0k1
+ 1m0
- 0m-1
- -1k0
cos a + 1m0
- 0m-1
- -1k0
+ 0k1
tg a + 0k~
- -~k0
+ 0k~
- -~k0
cotg a + ~m0
- 0m-~
+ ~m0
- 0m-~
4
Lignes trigonométriques d’angles
remarquables.
sin
cos
tg
cotg
a
a
a
a
a
0o
30o
0
1
0
1/2
3 /2
1/ 3
3

45o
60o
1/ 2
1/ 2
1
1
3 /2
1/2
3
1/ 3
5
Relation entre sinus et cosinus d’un angle.
Calcul de sinus et cosinus en fonction de
tangente.
•
Théorème. Pour un angle a quelconque les
relations suivantes sont vraies:
1. sin2 a + cos2 a = 1
2. cos a =  1 1  tg 2a
3. sin a =  tg a
1  tg 2a
6
Application au triangle quelconque.
Théorème. Dans un
triangle quelconque on a
B
Cas 1
a
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Preuve:
a2 = b2 + c2 – 2bn
m
C
b
Dans le Cas 1: n = c cos A, et
a2 = b2 + c2 – 2bn
Dans le Cas 2: n = - c cos (180o-A)
alors n = - c cos A, et
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
H
c
n
A
Cas 2
B
a2 = b2 + c2 + 2bn
Alors dans les deux cas
h
h
a
c
n
A
C
b
m
7
Relations métriques dans un cercle.
•
•
Théorème. Toute
perpendiculaire abaissée d’un
point de la circonférence sur un
diamètre est moyenne
proportionnelle entre les deux
segments qu’elle détermine sur
ce diamètre.
B
DA2 = DC * DB
Théorème. Le carré d’une corde
menée par une extrémité d’un
diamètre égale le produit de sa
projection sur ce diamètre, par le
diamètre entier.
AB2 = BD * AC
A
O
C
D
8
Relations métriques dans un cercle.
•
Théorème. Étant
donnés un cercle et
deux droites
concourantes en O,
qui coupent le cercle
respectivement en A,
B et C, D, on a la
relation:
OA * OB = OC * OD
C
B
O
A
O
D
A
C
B
D
9
Relations métriques dans un cercle.
Théorème de Ptolémée.
Dans un quadrilatère inscrit,
le produit des diagonales est
égal à la somme des produits
des côtés opposés.
a*c + b*d = AC * BD
Preuve:
ABE ~ ACD et ADE ~ ACB,
a/BE = AC/c, alors ac=AC*BE
d/ED = AC/b, alors bd=AC*ED
Donc
a*c+b*d=AC(BE+ED)=AC*BD
A
B
a
E
d
O
b
D
b
c
F
C
10
Éléments de la géométrie
analytique. Le plan cartésien.
•
•
•
•
Un plan cartésien est un plan
formé de deux droites
numériques perpendiculaires
nommées axes.
La droite numérique
horizontale, ordonnée x’x
s'appelle l'axe des abscisses
ou l'axe des x. La droite
numérique verticale , ordonnée
y’y s'appelle l'axe des
ordonnées ou l'axe des y
Le point de rencontre des deux
axes du plan cartésien se
nomme le point d'origine O.
Le plan cartésien se divise en
quatre régions nommées
quadrants.
y
Quadrant 1
Quadrant 2
x
O
x’
Quadrant 3
Quadrant 4
y’
11
Le plan cartésien. Le point.
•
•
•
Le point placé dans un
plan est identifié par sa
projection sur chacun des
axes. On obtient deux
résultats qui prennent les
signes des quadrants que
l'on appelle les
coordonnées du point.
x’
Un point est représenté
par un couple de nombres
placés entre parenthèses:
l'abscisse en premier,
l'ordonnée en second.
Le couple (x, y) désigne le
point.
y
Q(x1,y1)
P1(4,3)
x
O
P2(4,3)
P3(4,3)
y’
12
La distance entre les points. Le
milieu du segment.
•
La distance entre deux
points A(xA,yA) et B(xB,yB)
est donnée par la formule:
d ( A, B) =
•
y
P1(5,6)
xA  xB 2   y A  yB 2
Le milieu du segment
déterminé par les points
A(xA,yA) et B(xB,yB) est un
point M donné par la
formule:
 x  xB y A  y B 
M A
,

2 
 2
Q(1,-1.5)
x
O
x’
P2(-7,-3)
y’
13
La ligne droite. La pente.
•
•
La pente d’une droite
ordonnée est la tangente
de l’angle formé par cette
droite avec l'axe des
abscisses
La pente d’une droite
ordonnée non verticale
déterminée par deux
points A(xA,yA) et B(xB,yB)
(dans cette ordre) est
donnée par la formule:
m=
y A  yB
x A  xB
y
P1(5,6)
x
O
x’
P2(-7,-3)
R(5,-3)
y’
14
La ligne droite. La pente.
•
•
Les droites parallèles ont les pentes
égales
Les pentes m1 et m2 des droites
perpendiculaires ont respectent la
condition m1*m2=-1.
15
Équation de la ligne droite.
•
•
L’équation (l’inéquation)
d’un objet géométrique
détermine le lieu
géométrique des points
respectant cette
L’équation (inéquation).
L’équation d’une droite
non verticale passant
par deux points donnés
A(xA,yA) et B(xB,yB) est
donnée par la formule:
yB  y A
x  x A 
y  yA =
xB  x A
y
P1(5,6)
x
O
x’
P2(-7,-3)
y’
16
Équation de la ligne droite.
•
•
•
•
L’équation x=c détermine une droite verticale
ayant distance c à l’axe y.
L’équation y=kx+b détermine une droite ayant
pente k et coupant l’axe x au point (b,0).
L’équation Ax+By+C=0 est une équation
générale d’une droite.
L’équation x/a+y/b=1 détermine une droite
coupant les axes aux points (a,0) et (0,b).
17
Équation de la ligne droite.
•
•
L’équation
x cos w + y sin w – p =1
est une équation
normale d’une droite
ayant une pente -1/cotg
w et ayant distance p de
l’origine.
La distance d d’une
droite dans la position
normale x cos w +
y sin w – p = 0 du
point (x1,y1) est donné
par l’équation d = x1
cos w + y2 sin w – p
y
p
x’
O
w
x
y’
18
Équation paramétrique.
•
•
La forme paramétrique
d’une courbe sur un plan
est donnée par une paire
d’équations:
x = f(t)
y = g(t)
Les points de la courbe ont
donc des coordonnées
(f(t),g(t)), pour différents
valeurs de t.
L’équations paramétriques
d’un segment aux
extrémités A(xA,yA) et
B(xB,yB) sont:
x = (1-t)xA + txB
y = (1-t)yA + tyB
y
P(-3,6)
Q(6,2)
x’
x
O
y’
19
Équation d’un cercle.
•
•
L’équation d’un cercle
sur le plan est donnée
par la formule
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
Le cercle a rayon r et il
est centré au point
(a,b).
Théorème. L’équation
Ax2+Ay2+Bx+Cy+D=0
est une équation d’un
cercle.
y
(x+2)2+(y-4)2 = 9
P(-2,4)
x’
x
O
y’
20
Paire d’équations.
•
•
•
Une paire d’équations déterminent le lieu de
points appartenant à la fois aux deux objets
géométriques, définis par chaque équation (leur
intersection).
L’intersection de deux droites est la solution d’un
système de deux équations linéaires.
L’intersection d’une droite avec un cercle est le
résultat d’une solution d’un système de deux
équations. Vu que ce système résulte en une
équation quadratique, la solution donne 0, 1 ou
2 points.
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