1. - Thierry Albertin
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Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN ‐ Cours d’électromagnétisme ‐ Propagation libre dans un plasma 1 Equations de Maxwell notation complexe On s’intéresse à des O.P.P.H. (dites aussi O.P.P.M.) telles que1 : Re . Re En général, . . , avec , Eventuellement : . Re Re . Equations de MAXWELL : 1 Dans tout ce document, désigne le nombre tel que MP Physique 1 / 18 1. 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ div . 0 div . 0 rot ∂ ∂ rot ∂ ∂ 2 Application à un plasma 2.1 Propriétés du plasma étudié Le programme impose des limitations : Soit un ensemble de charges : − électrons : , ( 1,6. 10 C), − ions : , (pour simplifier, par la suite, on prendra 1). L’ensemble étant globalement neutre, et pouvant recéler des molécules neutres : 1. On néglige le mouvement des ions par rapport au référentiel d’étude : ions fixes. Pourquoi ? − Force (électrique éventuellement) sur un électron : , − Force (électrique éventuellement) sur un ion (avec , La taille du volume est telle que : avec la longueur d’onde de l’O.P.P.H.. MP Physique 2 / 18 1) : 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ En conséquence, les charges « voient » toutes les mêmes champs : , , On pourra effectivement dire que les ions sont « fixes » si . 2. Le plasma est suffisamment dilué. Cela implique quoi ? Mouvement d’un des électrons dans , , : , , , C’est le terme en , que l’on veut négliger, étant la durée moyenne entre deux collisions. Pour un milieu suffisamment dilué, on aura suffisamment grand pour pouvoir négliger ce terme (en pratique, il faudra comparer à . Remarque : Pour un plasma « froid », on pourra également négliger grad , , . 3. Les interactions électromagnétiques entre les charges sont négligées. Conséquences : − On pourra considérer le plasma électriquement neutre en tout point (électroneutralité « locale ») : , − Les seuls champs agissant sur les charges sont ceux de l’onde. MP Physique 3 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN Attention : vérifier si absence de champs statiques ou stationnaires. La relation de conductivité se simplifie : , , , (on néglige la force magnétique) , d’où : 0 , avec constant le nombre d’électrons par m . , Remarque : Grâce à , Pour , , on a une relation linéaire. . . On a évidemment de la forme : . ce qui conduit à D’où MP Physique 4 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN avec2 qui est un imaginaire pur fonction de . 2.2 Equations de propagation et dispersion Rappel : . . avec et en général pour une O.P.P.H. homogène. Equations de MAXWELL : . car dans ce milieu 0 0. . 0 Multiplier au numérateur et au dénominateur par dans 2 MP Physique 5 / 18 . 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ avec la permittivité complexe du milieu3. On trouve : 1 en posant la pulsation plasma, exprimée en rad. s On pose : . 2 Remarques : − Partons de div 0 qui est linéaire, donc on passe par : 0 div avec Attention : la notation « * » ne signifie pas ici « conjugaison complexe ». 3 MP Physique 6 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ d’où 0 0 En conséquence, on voit que l’on peut avoir 0 (donc 0) si On peut prolonger l’exercice et montrer que les électrons oscillent à cette pulsation (cf. exercice traité dans le chapitre 1 du cours d’électromagnétisme : , calculé en fonction du déplacement , ). Voir aussi : « onde électrostatique » longitudinale. − et sont perpendiculaires à la direction de propagation En effet . 0 d’où . 0 puis 0 . Re Re . De même, . 0 d’où . 0 puis Re . 0 . Re MP Physique 7 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN L’O.P.P.H. dans le plasma est donc T.E.M. (Transverse ElectroMagnétique4). Relation de MAXWELL‐FARADAY : soit Equation de dispersion : On peut finir le calcul de deux façons : 1. . 0 2. Autre solution : . Il n’existe une O.P.P.H. dans ce plasma que si , 0, 0 ce qui nécessite : On retiendra que l’O.P.P.H. dans le plasma est transverse électrique et transverse magnétique. 4 MP Physique 8 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN c’est‐à‐dire une relation entre et . Remarque : Dans d’autres milieux, il peut y avoir plusieurs équations de dispersion. Avec le du problème : 2.3 Etude des O.P.P.H. dans le plasma − Cas où Deux solutions : 1 puisque 0 1 puisque 0 Re si on choisit Re Re 1 1 1 1 Re Remarque : MP Physique 9 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN Si l’O.P.P.H. est polarisée rectilignement, par exemple parallèlement à écrire : avec alors 1 , on peut cos et 1 cos sont en phase. Dans le cas général d’une polarisation elliptique : On constate que l’O.P.P.H. se propage sans atténuation/amplification, ce qui doit être compatible avec : . 0 (liée à la puissance moyenne fournie par l’O.P.P.H. aux électrons). Vérifions : . 1 Re . 2 1 Re 2 . 1 Re 2 0 Vitesse de phase : MP Physique 10 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN ici 1 Remarque : dépend de la fréquence − , on dit (c’est général) qu’alors le milieu est dispersif, − ce qui n’est pas compatible avec la relativité (qui limite la vitesse de déplacement de l’énergie). Indice de réfraction du milieu : 1 1 1 Remarque : − En général, on peut définir un indice complexe : est alors l’indice d’extinction et − Le mot dispersif est lié à . Exemple : MP Physique 11 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Thierry ALBERTIN Le verre est dispersif, on peut voir son effet avec un prisme. On a , la longueur d’onde dans le vide. Retour sur l’approximation de départ : avec Ici : . D’où Il est donc nécessaire d’avoir aux fréquences de travail. Exercice : Lumière (O.P.P.H. de pulsation ) dans le vide ( 1) réfractée dans un plasma (ionosphère) tel que 1. La lumière est réfractée dans une direction telle que : 1. sin . sin Toutes les O.P.P.H. ne se propageant pas à la même vitesse (ici la vitesse de phase ), peut‐on définir la vitesse de propagation d’un paquet d’ondes ? Réponse : oui, pour un milieu faiblement dispersif. La vitesse de propagation d’un paquet d’ondes est donnée par sa vitesse de groupe. m. s Pour notre plasma : MP Physique 12 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Il s’agit de l’équation de dispersion. 2 2 Justification de : , 2 Paquet d’O.P.P.H. se propageant toutes dans le sens Pour un milieu faiblement dispersif : 1 2 . é , 1 2 1 2 , A un facteur de phase près, on retrouve le paquet d’ondes (non déformé) qui s’est propagé à la vitesse . MP Physique 13 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Remarque : Si l’on tenait compte du deuxième ordre, on pourrait observer un étalement du paquet d’ondes. Cas où : Alors : 1 Champs : ou qui n’est pas acceptable car physiquement, le champ ne peut devenir infini lors de la propagation. En définitive : avec Pour une onde polarisée rectilignement parallèlement à : MP Physique 14 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ pour Re cos Re Re sin Commentaires : O.P.P.M. de pulsation incidente polarisée rectilignement (dans le vide tel que , , 0, 0) passe dans un plasma. Continuité des composantes tangentielles en 0 pour 0 0 é é Le champ électromagnétique tel que : cos sin Constitue un exemple d’onde évanescente. , . , ? Que peut‐on dire de Π. 1 1 Π. Re 2 ou calcul direct : 1 Π. sin Π est bien dirigé dans le sens cos (déplacement d’énergie dans le sens Π. ). 0 MP Physique 15 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ sin 1 sin 2 2 cos Thierry ALBERTIN 0 . 1 Re 2 1 Re 2 . 1 Re 2 . 0 1 2 11 2 1 2 11 2 cos sin 1 4 1 4 1 0 Interprétation : L’énergie électromagnétique incidente entre dans le plasma sur une épaisseur de quelques (phase transitoire) pour être ensuite totalement réfléchie. (Puisque avec . 0 et Π. 0). Exercice : Dans le cas où , proposer une expression pour la vitesse de déplacement de l’énergie électromagnétique moyenne. Π. ? Quoi qu’il en soit, on donnera l’expression de ce rapport en fonction de . On se place dans le cas où : 1 avec . MP Physique 16 / 18 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ Π 11 1 Re 2 1 1 Re 2 Π . 11 1 Re 2 11 2 1 2 . . L’énergie électromagnétique moyenne traversant entre et 1 Π. 2 A quoi sert cette énergie ? − à créer les champs , , − à donner de l’énergie cinétique aux électrons. est alors telle que : Π. avec l’énergie cinétique par unité de volume. On aura donc plutôt : Π. . : que Π. Calculons : 1 Re 2 MP Physique 2 . 1 2 . 1 Re 2 2 17 / 18 1 4 1 2eP/φ/C-El/7 Année 2007/2008 1 2 avec Thierry ALBERTIN http://ts2‐thierrymaulnier.wifeo.com/ . le nombre d’électrons par m . 1 1 Re 2 2 . Rappel : 1 1 Re 2 2 1 4 Finalement : 1 4 . La vitesse de déplacement de l’énergie est donc ici identique à la vitesse de groupe (cas où ). MP Physique 18 / 18 2eP/φ/C-El/7
