Cinématique du point Les vecteurs position, vitesse et accélération

Leçon n°2
PHR 004
Cinématique du point
Les vecteurs position, vitesse et accélération
1 - Généralités sur le mouvement d'un point
La cinématique du point est l'analyse du mouvement en ignorant ses causes. Le mouvement
d'un point est connu lorsque qu’il est possible d’associer chaque instant avec un point de la
trajectoire:
Mouvement = Trajectoire + Equation horaire
Notre espace physique, celui dans lequel on existe, présente trois dimensions. Une trajectoire
dans cet espace, est représentée par 2 égalités:
⎧f (x, y, z) = 0
trajectoire ⇒ ⎨
⎩g(x, y, z) = 0
Chacune d’entre elles est l’équation d’une surface. En effet la trajectoire est une courbe
définie comme l’intersection de deux surfaces.
L’équation horaire est fournie par la valeur de l’abscisse curviligne en fonction du temps:
s = s(t), qui mesure la longueur du chemin parcouru sur la trajectoire (le compteur de distance
de votre véhicule mesure une abscisse curviligne).
Mouvement connu = trajectoire + équation horaire
L’expression de la trajectoire de la courbe:
C
1
⎧f (x, y, z) = 0
⎨
⎩g(x, y, z) = 0
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nécessite la présence d’un système d’axes trirectangles, les équations spatiales sont ici
exprimées avec les coordonnées cartésiennes: x, y, z, projections orthogonales sur chacun des
axes.
L’équation horaire implique la présence d’une horloge qui fournit la variable temporelle t
encore nommée "date".
z'
t= 5
s(0)
z(5) H
s(5)
M
y(5)
0
y'
C
x(5)
P
x'
Figure:1
Le repère constitué par les trois axes O x’ y’ z’ attachés à un observateur, muni d’une horloge,
constituent un référentiel (ou système référentiel).
2
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2 - Vecteur position
Le repère sert à définir la position du point. Le vecteur position est par définition le vecteur:
G JJJJG
r = OM
où O est l'origine du repère et M le point à repérer.
Avec un même repère, plusieurs systèmes de coordonnées peuvent être envisagés. Le choix
des coordonnées sera gouverné par les symétries des problèmes traités. Dans la pratique les
coordonnées orthogonales seront les seules utilisées. Parmi celles-ci les plus courantes sont:
les coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques. Donnons quelques
éléments sur leur propriétés:
2.1. Coordonnées cartésiennes
z'
H z(t)
K
M
J
r(t)
k
I
y(t)
O
j
i
x(t)
P
x'
Figure: 2
3
y'
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Le vecteur position est par définition:
G JJJJG
G
G
G
r = OM = x i + y j + z k
[2.1]
La position du point M, à chaque instant, sera exprimée à l’aide des coordonnées:
x = x(t) ; y = y(t) ; z= z(t)
ou bien avec la trajectoire et l’équation horaire:
f(x, y, z) = 0 ; g(x, y, z) = 0 et s = s(t)
2.2. Coordonnées polaires
y'
JJG
uθ
J
IuJJG
r
y
M
r
j
O
ϕθ
x'
x
i
Figure: 3
Dans le système de coordonnées polaires, le point M est parfaitement repéré si
-
on connaît la distance OM = r
-
l'angle θ que fait le segment (OM) avec l'axe (Ox)
Le point θ correspond au pôle (d'où l'appellation coordonnées polaires)
La longueur du segment r = coordonnée radiale (comme rayon)
4
PHR 004
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Dans le système de coordonnées polaires, un même et unique point peut avoir une infinité de
coordonnées → Il suffit juste d'ajouter un tour complet (2π).
JJG JJG
JJJJG
Pour exprimer le vecteur position OM , on introduit une nouvelle base orthonormée u r , u θ
(
)
G
JJJJG
- u r = vecteur unitaire suivant la direction de OM
G
G
- u θ = vecteur unitaire ⊥ u r
et on a :
JJJJG
G
OM = r u r
[2.2]
Les variables cartésiennes s’obtiennent par la transformation ponctuelle:
⎧ x = r cos θ
⎨
⎩ y = r sin θ
[2.3]
La transformation inverse s’écrit:
⎧r = x 2 + y 2
⎪
⎨
y
⎪ϕ = Arc tan( )
x
⎩
Pour les vecteurs
G
G
G
⎧ u r = cos θ i + sin θ j
⎪
⎨G
G
G
⎪u θ = − sin θ i + cos θ j
⎩
Transformation inverse
G
G
G
⎧ ( u r = cos θ i + sin θ j ) × sinθ
⎪
⎨ G
G
G
⎪( u θ = − sin θ j + cos θ j) × cosθ
⎩
5
[2.4]
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G
G
⎧ cos θ u r = cos θ sin θ i + sin² θ j
⎪
⎨
G
G
⎪cos θ uθ = − sin θ cos θ i + cos² θ j
⎩
G
G
G
⇒ sin θ u r + cos θ uθ = (sin² θ + cos² θ) j
Par conséquent :
G
G
G
j = sin θ u r + cos θ u θ
[2.5]
G
On détermine le vecteur i
G
G
G
⎧ u r = cos θ i + sin θ j × cosθ
⎪
⎨ G
G
G
⎪ u θ = − sin θ i + cos θ j × − sinθ
⎩
(
)
(
)
G
G
⎧ cos θ u r = cos² θ i + sin θ cos θ j
⎪
⇒⎨
G
G
⎪− sin θ u θ = + sin² θ i − sin θ cos θ j
⎩
D’où :
G
G
G
i = cos θ u r − sin θ u θ
6
[2.6]
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2.3. Coordonnées cylindriques
G
k
z
uθ
M
uρ
G
k
G
j
G O
i
uθ
r
x
m
θ
JJG
ur
y
figure: 4
Si le point doit être repéré dans l'espace, on utilisera les coordonnées cylindriques ⇒ on
complète le système de coordonnées polaires par un troisième axe :
JJJJG JJJG JJJG
JJG
JJG
OM = OP + PM = r u r + z u z
[2.7]
Les variables cartésiennes s’obtiennent par la transformation ponctuelle:
⎧ x = r cos θ
⎪
⎨ y = r sin θ
⎪z = z
⎩
[2.8]
Là aussi, comme pour les polaires, la transformation inverse s’écrit:
⎧r = x 2 + y2 + z 2
⎪
y
⎪
⎨θ= Arc tan ( )
x
⎪
z
=
z
⎪
⎩
7
[2.9]
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2.4. Coordonnées sphériques
Z
ur
ur
ϕ M
uθ
uϕ
r
uϕ
k
G O
i
X
θ
G
j
uθ
Y
m
Figure 5
C'est un système de coordonnées qui généralise les coordonnées polaires du plan. Un point
dans l'espace est repéré par la distance à un pôle et deux angles.
Le premier par rapport à un axe horizontal (ox) et le deuxième par rapport à un axe vertical
(oz)
Les variables cartésiennes s’obtiennent par la transformation ponctuelle :
⎧ x = r sin ϕ cos θ
⎪
⎨ y = r sin ϕ sin θ
⎪⎩ z = r cos ϕ
8
[2.10]
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et pour la transformation inverse :
⎫
⎧ θ = artg y
⎪
⎪
x
⎪⎪
⎪
z
⎬ ⇒ ⎨ϕ = arcos
x² + y² + z²
⎪
⎪
⎪
⎪ r = x² + y² + z²
⎩
r 2 = x² + y² + z² ⎪⎭
y
= tg θ
x
z = cos ϕ
r
3.
Vecteur vitesse
3.1. Vecteur vitesse moyenne
Soit un mobile M se déplaçant sur une trajectoire (C). Le même déplacement de M entre deux
positions peut se faire pendant des durées différentes. Pour caractériser un mouvement, il peut
être intéressant de connaître la distance parcourue par unité de temps, c'est-à-dire la vitesse
moyenne. Si la position du point M à l’instant t1 correspond au point M(t1) = M1 et à l’instant
t2 au point M(t2) = M2, le vecteur vitesse moyenne se définit par :
JJJJJJG JJJJJG JJJJJG
JJJG M M
OM 2 − OM1
Vm = 1 2 =
Δt
Δt
[2.11]
Exemple :
Un cycliste conduit son vélo sur 200 m, puis revient sur son chemin sur
40 m. S’il a mis 60 s pour effectuer son parcours, trouvez sa vitesse
moyenne Vm.
Solution
La distance totale parcourue Δd = 200 + 40 = 240 m
Le temps de parcours : Δt = 60 s
La vitesse moyenne : Vm =
9
Δ d 240
=
= 4 m.s −1
Δt
60
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3.2. Vecteur vitesse instantané
Lorsqu’on considère une durée Δt infiniment petite, le mobile passe d’un point M à un point
M’ infiniment proche.
La vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée lorsque Δt tend vers zéro.
JJJJG JJJJG
Le vecteur position OM = OM ( t ) est une fonction du temps et la vitesse instantanée
correspond alors à la dérivée par rapport au temps du vecteur position :
JJJJG
JJJJG
JJJJG
JG
OM ( t + Δt ) − OM ( t ) d OM
V ( t ) = lim
=
Δt → 0
Δt
dt
[2.12]
Lorsque le point M tend vers le point M’, la corde MM’ tend vers la tangente à la trajectoire
au point M. Le vecteur vitesse est donc un vecteur tangent à la trajectoire au point
considéré (Figure. 6)
z'
M s(t)
dM
s(t+dt)=s(t)+ds
M(t)
k
T
M(t+dt)
O
v
y'
j
i
x'
Figure. 6
Nous désignerons par :
G G
G
T = T(t) ; T = 1
G
G
V
Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire à chaque instant : T = G
V
10
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3.2.1. Expression en coordonnées cartésiennes
G
A partir de l’expression du vecteur position r [2.1] et de la définition du vecteur vitesse
[2.12], on obtient :
Remarque : la base
G
• G
• G
• G
dr G
= v = x i +y j + z k
dt
GG G
i, j,k
(
)
[2.13]
G
G
G
di d j dk G
est une base fixe dans le temps Ö
=
=
=0
dt dt dt
La valeur V de la vitesse correspond à la norme de ce vecteur :
•2
•2
•2
G
V= v = x + y + z
[2.14]
3.2.2. Expression en coordonnées polaires
Lorsque le point M est en mouvement, l’angle polaire θ = θ(t) est une fonction du temps.
JJG
Le vecteur unitaire u r tourne et est donc fonction du temps par l’intermédiaire de
l’angle.
JJG JJG
La base ( u r ,u θ ) est une base mobile dans le référentiel d’étude, puisque la direction des
vecteurs de base dépend du point considéré sur la trajectoire.
G
A partir de l’expression du vecteur position r [2.2] et de la définition du vecteur vitesse
[2.12], on obtient :
JJJJG
JJG
JJG
d OM
d
d r JJG
d ur
G
v=
=
r ur =
ur + r
dt
dt
dt
dt
( )
[2.15]
JJG
Pour dériver le vecteur u r par rapport au temps, il faut appliquer les règles de dérivation des
fonctions composées. Dans notre cas :
JJG
JJG
JJG
d ur d u r d θ
d
u
r
=
×
= θ
dt
dθ d t
dθ
11
[2.16]
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•
La quantité θ caractérise la variation de l’angle polaire au cours du temps et correspond à la
définition de la vitesse angulaire. Elle est souvent notée ω et s’exprime en rad.s-1.
Dans le repère choisi :
JJJJG
JJG
G
G
G
G JJG
d ur
= − sin θ i + cos θ j = uθ
ur = cos θ i + sin θ j ⇒
dθ
Par conséquent :
JJG
JJG
• JJG
G • JJG
v = r u r + r θ u θ = v r u r + vθ u θ
[2.17]
vr et vθ sont respectivement les composantes radiales et orthoradiales du vecteur vitesse dans
la base polaire. La norme de ce vecteur est :
•
•2
G
v = v = r + ⎛⎜ r θ ⎞⎟
⎝ ⎠
2
[2.18]
3.2.3. Expression en coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques correspondent aux coordonnées polaires dans le plan (o, x, y)
auxquelles on ajoute une coordonnée z suivant un axe perpendiculaire au plan. La base
JJG
JJG JJG
associée est donc composée de la base tournante u r , u θ et du vecteur u z (3eme vecteur de
(
)
la base cartésienne qui est un vecteur fixe dans le référentiel d’étude.
G
En dérivant le vecteur position r [2.7], on obtient :
JJJJG
JJG
JJG
d OM
d
G
r ur + z u z
=
v=
dt
dt
(
)
[2.19]
En tenant compte des résultats du paragraphe précédent, l’équation [2.19] peut s’écrire sous le
forme de :
12
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JJJJG
JJG
• JJG
G d OM • JJG
= r u r + r θ u θ + z u z
v=
dt
PHR 004
[2.20]
Et :
2
•
•2
•2
G
V = v = r + ⎛⎜ r θ ⎞⎟ + z
⎝ ⎠
[2.21]
3.3. Vecteur vitesse angulaire
En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée
fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle s'exprime dans
le système international en radians par seconde (rad.s-1) ; elle reste de manière courante
donnée en tours par minute (tr/min). Une révolution complète est égale à 2π radians, donc :
ω=
d θ 2π
=
= 2π f
dt
T
[2.22]
T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en s-1 ou Hz).
L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes
applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π. Elle est utilisée, entre autres,
dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et
l'électromagnétisme.
Le vecteur vitesse angulaire est un vecteur :
• normal au plan de rotation,
• orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens positif,
• dont la norme vaut ω.
On a donc :
JJG • JJG
G
ω = ω uz = θ uz
13
[2.23]
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4. Vecteur déplacement élémentaire
JJJJG
G
A partir de la relation [2.12], on peut définir le vecteur déplacement élémentaire d OM = d l ,
en coordonnées cartésiennes, par :
JJG
JJG
JJG
G
G
V ( t ) dt = d l = dx u x + dy u y + dz u z
Pour obtenir l’expression du vecteur déplacement en coordonnées polaires, on reprend
l’expression [3.7] :
G
JJG
JJG
G
d l d r JJG
dθ JJG
=
ur + r
u θ ⇒ d l = d r u r + r dθ u θ
d t dt
dt
5 - Vecteur accélération
5.1. Définition
La vitesse évalue la variation de la position par rapport à celle du temps. De la même façon, la
variation de la vitesse par rapport au temps est nommée accélération:
G
G
G def d 2 r ••
G d v G•
= r =
=v
a =
dt 2
dt
[2.24]
5.2. Expression en coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes le vecteur accélération s'écrit :
G •• G •• G •• G
a = x i +y j+ z k
[2.25]
5.3. Expression en coordonnées polaires
A partir de l’expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires [3.10] et de la définition
G
du vecteur accélération a on obtient :
JJG
G
G • • JJG ⎞ ⎛ • • JJG •• JJG
• JJG
• JJG
• du ⎞
•• JJ
G d v d ⎛ • JJG
d ⎛ • JJG
⎞
⎞
⎛
θ
= ⎜ r u r + r θ uθ ⎟ = ⎜ r ur + r θ uθ ⎟ = ⎜ r ur + r θ uθ ⎟ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ
a=
⎟
dt dt ⎝
dt ⎠
⎠ dt ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
14
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JJG
JJG
Rappelons que, comme ur , le vecteur unitaire u θ tourne et qu’il est fonction du temps par
l’intermédiaire de l’angle θ. Pour le dériver par rapport au temps, il faut appliquer les règles
de dérivation des fonctions composées. Dans notre cas :
JJG
JJG
JJG
• du
d uθ
d uθ d θ
θ
=
×
= θ
dt
dθ d t
dθ
Dans le repère choisi :
JJJJG
JJG
G
G
G
G
d uθ
= − cos θ i − sin θ j
u θ = − sin θ i + cos θ j ⇒
dθ
JJJJG
JJG
G
G
d uθ
⇒
= − cos θ i + sin θ j = − u r
dθ
(
)
Par conséquent :
JJG
•• JJG
• du ⎞
G ⎛ •• JJG • • JJG ⎞ ⎛ • • JJG
θ
a = ⎜ r ur + r θ uθ ⎟ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ
⎟ ⇒
dt ⎠
⎝
⎠ ⎝
G • • JJG ⎛ • • JJG
G ⎞
•• JJG
•
• JJ
•• JJ
G
a = ⎛⎜ r u r + r θ u θ ⎞⎟ + ⎜ r θ u θ + r θ u θ − r θ ⎛⎜ θ u r ⎞⎟ ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎝
⎠⎠
G
L’expression finale de a est :
G
JJG
JJG
• 2 ⎞ JJ
•• JJG
• • JJG
G ⎛ ••
a = ⎜ r − r θ ⎟ u r + ⎛⎜ 2 r θ u θ + r θ ⎞⎟ u θ = a r u r + a θ u θ
⎝
⎠
⎝
⎠
[2.26]
•2 ⎞
⎛
••
Le premier terme ⎜ a r = r − r θ ⎟ correspond à la composante radiale de l’accélération, le
⎝
⎠
• •
second a θ = ⎛⎜ 2 r θ + r
⎝
15
θ ⎞⎟ à l’accélération orthoradiale.
⎠
••
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5.4. Expression en coordonnées cylindriques
A partir de l’expression [2.10] du vecteur vitesse et des résultats obtenus en coordonnées
polaires [2.17], on trouve :
G
JJG ⎞ ⎛ ••
G ⎛ • • JJG
• JJG
• 2 ⎞ JJ
•• JJG
• JJG
G d v d ⎛ • JJG
⎞
a=
=
⎜ r ur + r θ uθ + z uz ⎟ = ⎜ r − r θ ⎟ u r + ⎜ 2 r θ uθ + r θ ⎟ uθ + z uz
dt dt ⎝
⎠ ⎝
⎝
⎠
⎠
[2.27]
5.5. Vecteur accélération et la base de Frenet
5.5.1. Trièdre de Serret-Frenet
G
Dans le cas d’un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteur unitaire T
tangent à la trajectoire et orienté comme celle-ci, le vecteur vitesse, lui-même tangent à la
trajectoire au point M (Figure. 7) peut s’écrire :
JG
G
V(t) = v T
G
V = v
avec
[2.28]
La notation v correspond à la valeur algébrique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel
sens le point M se déplace sur la trajectoire : v est positif pour un déplacement dans le sens
positif et négatif dans le sens contraire.
JJG
Pour obtenir une nouvelle base dans le plan, il suffit de définir un vecteur unitaire N
G
perpendiculaire à T et toujours tourné vers la concavité (Figure 7).
z'
plan osculateur
ϖ
N
M
a(t)
T
r(t)
v(t)
k
O
i
y'
j
trajectoire
C
x'
Figure 7
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JJG G
( N , T ) s’appelle la base de Frenet. Elle est mobile dans le référentiel d’étude puisque la
direction des vecteurs de base dépend du point considéré sur la trajectoire.
5.5.2. Expression du vecteur accélération dans la base de Frenet
G
G
G
G
En tenant compte de la figure. 8, exprimons T et N en fonction de i et j :
G
G
G
⎧⎪T = cos(Φ) i + sin(Φ) j
G
G
⎨G
⎪⎩ N = − sin(Φ) i + cos(Φ) j
y
dΦ
ρ
G
N
A
G
T
Φ
G
r
G
j
O
B
dΦ
G
i
x
Figure . 8
La dérivée du vecteur vitesse dans cette base conduit à :
G
JG
G
G dV
d VT
dV G
dT
a=
=
=
T+ V
dt
dt
dt
dt
( )
G
dT
:
Déterminons ensuite
dt
G
G
⎛
dT
dΦ ⎞ G ⎛
dΦ ⎞ G
dT
dΦ G
= ⎜ − sin Φ
i
+
cos
Φ
j
⇒
=
N
⎟
⎜
⎟
dt
dt ⎠
dt ⎠
dt
dt
⎝
⎝
17
[2.29]
[2.30]
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En combinat les équations [2.29] et [2.30], on trouve :
G
dV G
dΦ G
a =
T+ V
N
dt
dt
En se déplaçant du point A au point B, le mobile a parcouru une certaine distance l, ce qui se
traduit aussi par une variation angulaire dΦ.
Appelons ρ le rayon de courbure de la trajectoire.
dΦ
dΦ dl
=
⋅
dt
dl d t
La variation de dΦ étant infiniment petite, on peut donc écrire que :
tg Φ =
dl
dΦ 1
≈ dΦ ⇒
=
ρ
dl ρ
D’où l’expression de l’accélération dans la base de Frenet :
G
d V G V2 G
a =
T+
N
d
t
ρ
N
N
aT
aN
La composante at est la composante tangentielle et an est la composante normale centripète.
18