RESUME sur les COMPLEXES

RESUME sur les COMPLEXES
AFFIXE D’UN POINT
M un point du plan :
Le monde « parallèle » des
nombres complexes
Le monde des points du plan
G G
Dans un repère (O, u , v ), on le
repère avec ses coordonnées
On peut lui associer un
nombre complexe …
M(a, b)
zM , l’affixe du point M
zM = a + ib
Inversement, M(a, b) est le point image du nombre complexe zM = a + ib.
AFFIXE D’UN VECTEUR
JJG
W un vecteur du plan :
Le monde des vecteurs du plan
Le monde « parallèle » des
nombres complexes
G G
Dans un repère (O, u , v ), on le On peut lui associer un
nombre complexe …
repère avec ses coordonnées
JJG JJJJG
W = OM (a, b)
JJJJG
JJJJJG , l’affixe du vecteur OM
Z OM
JJJJJG = a + ib
zOM
JJJJG
JJJJJG = a + ib.
Inversement, OM (a, b) est le vecteur image du nombre complexe zOM
JJJG
G du vecteur AB est :
Propriété : Soit A et B deux points d’affixes zA et zB l’affixe zJJJ
AB
G = z −z
zJJJ
B
A
AB
JJG
JJG
Propriété : soit w1 et w2 les vecteurs d’affixes z1 = a1 + ib1 et
JJG JJG
z2 = a2 + ib2 . Le vecteur w1 + w2 a alors pour affixe z1 + z2 .
MODULE et ARGUMENT
|z|, le module z, c’est :
JJJJG
|z| = OM = || OM || = a 2 + b 2 = ρ
(Ro, lettre grecque)
arg(z), l’ argument z, la mesure en radian de
G JJJJG
l’angle θ . arg(z) = θ = ( u , OM ) dans ]–π,π]
L’écriture ou la forme trigonométrique c’est :
z = ρ cosθ + i ρ sinθ = ρ (cosθ + i sinθ) = [ρ,θ]
Propriété : Soit A et B deux points d’affixes zA et zB.
La distance AB est égale à :
G|=|z −z |
AB = | zJJJ
B
A
AB
G G
Dans un repère orthonormal (O, u , v ) on a aussi :
G JJJG
Arg(( u , AB ) = Arg ( z B − z A ).
CONJUGUE
Définition : On appelle conjugué de z = a + ib, et on le note z , le nombre complexe z = a – ib.
Propriétés : Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres complexes. On a
1 z
a − ib
z.z ' = z.z '
z + z'= z+ z'
;
;
z z = a 2 + b2 ;
=
= 2
z z z a + b2
Propriété : Soit M un point d’affixe z = a + ib.
Le point M’, symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses a pour
affixe z’ = z .
Propriété :
|z|= | z|
et
Arg( z ) = – Arg(z)
FORMES ALGEBRIQUE / TRIGONOMETRIQUE / EXPONENTIELLE
forme algébrique
z = a + ib
forme trigonométrique
z = [ρ,θ]
z = ρ cosθ + i ρ sinθ avec ρ = |z| = a 2 + b 2 ; cos θ =
forme exponentielle
z = ρeiθ
a
a 2 + b2
et sin θ =
b
a2 + b2
Forme
Forme
exponentielle trigonométrique
zA = 3e
2 iπ
3
zA = [3 ,
Forme
algébrique
zB = 2 + 2i
2π
]
3
transformation
Forme
algébrique
1
3
3(cos(2π 3) + i sin(2π 3)) = 3(− +
i)
2 2
3 3 3
zA = − +
i
2
2
transformation
|zB | =
(2) 2 + (2) 2 = 8 = 2 2
Sachant que :

2
=
cos θ B =
2 2

et 
sin θ = 2 =
B

2 2
Forme
trigonométrique
1
2
=
2
2
1
2
=
2
2
zB = [ 2 2 ;
π
]
4
Forme
exponentielle
On en déduit que : θ B =
π
4
zA = 2 2e
+ 2 kπ
i
π
4
Les calculs avec les nombres complexes peuvent s’écrire :
OPERATIONS
Produit
Puissance n
Inverse
Quotient
Sous forme trigonométrique avec
z = [ρ,θ] et z’ = [ρ’,θ’ ]
[ρ,θ] .[ρ’,θ ’ ] = [ρρ’, θ + θ’ ]
[ρ,θ] n = [ ρ n, nθ]
1
1
=[ , – θ ]
[ρ, θ] ρ
[ρ, θ]
ρ
= [ ,θ – θ’]
ρ'
[ρ ', θ ']
Sous forme exponentielle avec
z = ρeiθ et z’ = ρ’ei θ’.
(ρeiθ).( ρ’ei θ’ ) = ρ ρ’ei (θ+ θ’ )
(ρeiθ) n = ρ n einθ
1
1
= e–iθ
iθ ρ
ρe
ρeiθ
iθ '
ρ'e
=
ρ i (θ −
e
ρ'
θ’ )
FORMULE DE MOIVRE. FORMULE D’EULER.
Théorème. Soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin
(nθ)
e iθ + e − iθ
e i θ − e − iθ
Théorème. Soit θ un nombre réel. Alors : cos θ =
et sin θ =
2
2i