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Université de Versailles St Quentin
Licence de Mécanique - UE2 Mécanique Générale
2001-2002
T.D. N6
Diérentiel de vitesses
On se propose d'étudier le diérentiel de vitesses d'une voiture à traction avant. Ce dispositif permet aux
roues de tourner à des vitesses diérentes quand la voiture négocie un virage. La gure 1 représente la transmission du mouvement de rotation dans une voiture du moteur vers les 2 roues motrices. Les deux parties
sont a priori indépendantes.
Partie I : Cinématique
On considère le renvoi d'angle à roues coniques dentées donné sur la gure
2. Il permet la transmission d'un mouvement de rotation entre deux arbres à axes xes (dans un bâti (B))
perpendiculaires et concourants au point O. Ces deux roues dentées peuvent être remplacées par deux
cônes primitifs (1) et (2) de sommets confondus en O avec condition de roulement sans glissement (voir
gure 3).
Soit M un point de la génératrice de contact entre les 2 cônes primitifs où les rayons des cônes sont R1 et
~
R2 . On note le vecteur rotation par rapport au bâti (B) de l'arbre (1) Ω(1/B)
= ω1 y~B et celui de l'arbre
~
(2) Ω(2/B) = ω2 x~B .
a. Traduire la condition de roulement sans glissement au point M et en déduire le rapport des vitesses de
rotation des 2 arbres par rapport au bâti ωω12 .
b. Montrer que dans ce cas le glissement est nul en tout point de la génératrice de contact. En déduire la
nature et le torseur cinématique de la liaison entre (1) et (2).
ω
c. Ecrire les équations de fermeture de la chaîne cinématique. Retrouver 2 .
ω1
I.2. On considère maintenant le diérentiel représenté sur les gures 4 et 5. Il est constitué d'un arbre
d'entrée (porte-satellite) (1), 2 roues coniques (planétaires) (2) et (3) reliées à 2 arbres de sortie non
représentés et d'une roue conique (satellite) (4). Les corps (1), (2) et (3) sont tous reliés au bâti (B) par
des liaisons pivot d'axe (O, x~B ). La roue (4) est reliée au corps (1) par une liaison pivot d'axe (O, y~1 )
perpendiculaire à (O, x~B ) et s'engrene en M avec la roue (2) et en N avec la roue (3). Les rayons des roues
~
(2) et (4) en M sont R2 et R4 et ceux des roues (3) et (4) en N sont R2 et R4 . On note Ω(i/B)
= ωiB x~B
~
le vecteur rotation du corps i (i = {1, 2, 3}) par rapport au bâti B et Ω(4/1) = ω41 y~1 le vecteur rotation
de (4) par rapport à (1).
a. Traduire la condition de roulement sans glissement au point M. En déduire une relation entre ω1B , ω2B
et ω41 .
b. Traduire la condition de roulement sans glissement au point N. En déduire une relation entre ω1B , ω3B
et ω41 .
c. En déduire une relation entre la vitesse de rotation de l'arbre d'entrée ω1B et celle des arbres de sortie
ω2B et ω3B .
I.3. Les arbres de sortie du diérentiel (2) et (3) sont reliés respectivement aux roues gauche et droite d'une
voiture qui se déplace sur un sol plan parallèle à (x~0 , y~0 ) (voir gure 6). On admet que le contact entre les
roues et le sol est ponctuel et sans glissement.
a. La voiture se déplace sur une ligne droite. Déterminer les vitesses de rotation ω2B et ω3B en fonction
de ω1B .
b. Le centre des roues gauche et droite décrit chacun un arc de cercle de rayon respectif Rg et Rd autour
d'un centre de rotation. Déterminer les vitesses de rotation ω2B et ω3B en fonction de ω1B .
Si on annule la vitesse de rotation d'une roue, que devient la vitesse de rotation de l'autre roue ?
I.1 Questions Préliminaires
Partie II : Dynamique
On considère dans cette partie la dynamique du diérentiel (gure 4 et 5) dans son mouvement par rapport
au repère du bâti RB = (O, x~B , y~B , z~B ) supposé galiléen. Les vitesses de rotation ω1B , ω2B , ω3B et ω41 sont
supposées constantes.
Soient A2 , B2 , C2 (respectivement A3 , B3 , C3 ) les moments d'inertie du corps 2 (respectivement 3) composé
de l'arbre et la roue par rapport aux axes principaux d'inertie (O, x~B ), (O, y~B ), (O, z~B ). Les centres de masse
des corps (2) et (3) sont situées sur l'axe (O, x~B ).
On désigne par m1 et m4 les masses des corps (1) et (4), G1 et G4 leurs centres de masse tels que
~ 1 = a1 x~b + b1 y~1 et OG
~ 4 = b4 y~1 , (a1 b1 b4 sont des constantes). On dénit également A1 , B1 , C1 (respecOG
tivement A4 , B4 , C4 ) les moments d'inertie du corps 1 (respectivement 4) par rapport aux axes principaux
d'inertie (O, x~1 ), (O, y~1 ), (O, z~1 ), avec x~1 = x~B .
On note θ = (y~B , y~1 ) = (z~B , z~1 ).
II.1 a. Déterminer (en justiant tous les calculs) le moment cinétique en O des corps (1) (2) et (3) dans
leur mouvement par rapport à RB .
b. Déterminer (en justiant tous les calculs) le moment cinétique en O du corps (4) dans son mouvement
par rapport à RB .
c. En déduire le moment dynamique en O du système Σ composé de (1), (2), (3), (4) dans son mouvement
par rapport à RB . Que devient ce moment dynamique quand le véhicule roule en ligne droite ?
d. Calculer la résultante dynamique de Σ dans son mouvement par rapport à RB .
II.2 Toutes les liaisons sont supposées parfaites. L'arbre (1) est soumis à un couple moteur C1 x~B et les
arbres (2) et (3) sont soumis à des couples résistifs −C2 x~B et −C3 x~B . Les actions de la pesanteur seront
négligées.
Soit {TB→Σ }O =
X x~b + Y y~1 + Z z~1
Lx~b + M y~1 + N z~1
le torseur en O équivalent aux actions du bâti sur le système Σ.
Toutes les liaisons étant parfaites, montrer que L = 0.
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à Σ et en déduire les 6 équations scalaires.
Que peut-on dire des composantes projetées sur RB de {TB→Σ }O .
A.N. ω2B = ω3B = 200rd/s, m1 = 3.0Kg, m4 = 1.0Kg, b1 = 20mm, b4 = 30mm.
II.3 Le corps (1) est composé maintenant de 2 branches qui sont disposées d'une façon symétrique par
rapport à l'axe (O, x~B ) en formant des angles de 180 degrés entre eux et qui portent 2 satellites identiques
(4) (5) (voir gure 7). Les propriétés inertielles d'une branche de (1) et d'un satellite sont celles données
dans II.1. Les hypothèses de II.2 sont toujours vériées.
a. Ecrire les 6 équations scalaires du principe fondamentale de la dynamique appliquée à Σ.
b. Calculer les composantes {TB→Σ }O et conclure.
a.
b.
no -bb-error = =
Figure 1
no -bb-error = =
no -bb-error = =
Figure 3
Figure 2
no -bb-error = =
Figure 4
Figure 5
no -bb-error = =
Figure 6