OSP05 - Cours 7 : Equations de Maxwell en dynamique

OSP05 - Cours 7 : Equations de Maxwell en dynamique
1- Statique
En statique les dérivées par rapport au temps sont nulles :
dE
dB
 0 et
0
dt
dt
2- Expérience avec un champ magnétique variable dans
le temps
dB
0
dt
L'expérience montre que la variation dans le temps d'un champ
magnétique
dB
 0 , produit une tension aux bornes d'une
dt
ampoule.
Sous forme locale la tension induite s'écrit Rot ( E )    E .
Jusqu'à présent en statique on avait   E  0 c'est-à-dire que la
tension aux bornes d'une contour fermé (ici la spirale de fil
électrique rebouclée sur elle même) était nulle. Cette expérience
montre qu'elle n'est nulle que si le champ magnétique ne varie
pas dans le temps. Dans le cas contraire, cela induit une tension
ce qui se traduit par :
E 
dB
dt
Figure 1 : Un champ magnétique
variable produit induit une tension
aux bornes d'une ampoule.
Equation de Maxwell-Faraday
3- Equation de Maxwell avec un champ électrique variant dans le temps
dE
0
dt
Pour des raisons de conservation des charges, Maxwell se rend compte qu'en dynamique il manque
un terme au théorème de Maxwell-Ampère et qu'elle doit s'écrire sous la forme :
⃗
⃗
dE
  B   0 j   0 0
dt
ou encore
⃗
⃗ dD
H  j 
dt
avec B   0 .H et D   0 .E
4- Equation de Maxwell en dynamique dans le vide (  0 ,  0 )
Champ
électrique
⃗ ⃗ 
E 
0
E 
 est la densité volumique de charge
⃗ ⃗
B  0
Champ
magnétique
⃗
j est
dB
dt
⃗
⃗
dE
  B   0 j   0 0
dt
la densité surfacique de courant.
5- Dans un diélectrique : (  ,  )
Dans un diélectrique (isolant) (  ,  ), les charges et les courants sont nuls   0 et
j0.
Les
équations de Maxwell se simplifient donc :
Champ électrique
⃗
⃗
E 0
(Eq.1)
Champ magnétique
⃗ ⃗
B  0
(Eq.2)
dB
dt
(Eq.3)
⃗
dE
  B  
dt
(Eq.4)
E 
6- Equation de propagation :
Les équations 3 et 4 indiquent qu'un champ magnétique variable dans le temps produit un
"tourbillon" de champ électrique. De même un champ électrique variable dans le temps peut
produire un "tourbillon" de champ magnétique. Dans ce contexte l'équation de propagation s'écrit :
 2 E  
d2E
dt
2
0
ou encore sous la forme
 2 B  
d2B
dt 2
0
7- Laplacien :
Le Laplacien  2 est un opérateur noté de la façon suivante :
2 
2
x 2

2
y 2

2
z 2
1- L’équation d’onde (Equation de propagation)
 2 E  
d2E
dt 2
0
 2 E 2 E 2 E 
   r 0
d2E
ou encore  2  2  2    2  0 Eq. 1 avec
  r 0
y
z 
dt
 x
2- Onde plane
Lorsqu’on cherche une solution d’onde plane, c’est que dans
le plan (par exemple x,y) E ne varie pas avec x ni y. Il ne
varie qu’avec z qui est la direction de propagation. Dans ce
cas, les dérivées de E par rapport à y et z sont nulles :
E
E
 0 . Il en est de même pour les dérivées
 0 et
y
x
secondes. L’équation de propagation se simplifie en
2 E
z 2
 
d2E
dt 2
0
Figure 1 : Solution d'onde plane.
(Eq 2)
3- Onde plane monochromatique solution de
l'équation de propagation
• On cherche des ondes de la forme cos (wt-kz) ou w
est la pulsation, k la constante de propagation et z la
direction de propagation
• les vecteurs E et B ont leur troisième composante
nulle et sont donc des vecteurs contenus dans un plan
perpendiculaire à la direction de propagation z.
•
Si on choisit un repère qui simplifie le problème au maximum on peut écrire :
E  z , t   E 0 . cost  Kz  avec E0  E y 0
•
Les
équations
de
B  z , t   B0 . cost  Kz 
Maxwell
avec
•
montrent
1
B0  B x 0 0
0
4- Polarisation (linéaire) d'une
onde
•
0
1
0
Une onde est polarisée
linéairement suivant l'axe de x
lorsque le champ électrique E est
orienté suivant l'axe x. (par
exemple en bleu sur la figure)
La polarisation est orientée suivant
y lorsque E est orienté suivant y.
(par exemple en vert sur la figure)
que
B
est
prpendiculaire
à
E: