Preuve de l`irrationalité de racine carrée de 2

Preuve de l’irrationalité de
Nous allons prouver que
est un nombre irrationnel en utilisant une démonstration par l’absurde.
Autrement dit, nous allons considérer l’inverse et supposer que
est un nombre rationnel.
Si
, alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction à termes entiers.
D’où,
avec
et p et q sont premiers entre eux (Autrement dit,
est une
fraction irréductible).
On peut donc dire que
D’où,
, ce qui signifie que
(*voir explication plus bas).
Il existe donc un nombre naturel
D’où,
est un multiple de et par conséquent
tel que
est également pair
.
.
Or,
. On a dès lors
.
Donc, est également pair. Il existe donc un nombre naturel
raisonnement que précédemment).
Donc,
tel que
(par le même
et n’est pas irréductible, ce qui contredit notre hypothèse de départ.
n’est donc pas rationnel, il est irrationnel.
C.Q.F.D.
*Si
est pair alors
est également pair.
En effet, supposons que
.
On alors
soit un nombre impair. Il peut donc s’écrire sous la forme
avec
qui est l’expression d’un nombre impair.
Il y a donc contradiction avec la supposition de départ, ce qui signifie que
http://www.cspu.be/~termollem/3e/3echap1/3echap1-2.php
est bien un nombre pair.