Corrigé des exercices 7, 8 et 9

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Corrigé des exercices 7, 8 et 9
Série de TD N 1
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p n
p n
Exercice 7. Soit n 2 N . Véri…er que 2 + 3 + 2
3 est un entier pair. En
p n
déduire que la partie entière de 2 + 3 est un entier impair.
Calculons S = 2 +
trouve
p
3
n
S =
+ 2
n
X
p
3
Cnk 2n k
n
à l’aide de la formule du binôme de Newton. On
p
k
3
+
=
Cnk 2n
k
( 1)k
p
k
3
k=0
k=0
n
X
n
X
Cnk 2n
k
1 + ( 1)k
p
k
3
k=0
p k
Si k = 2p est pair, alors 1 + ( 1)k
3 = 2 3p qui est un entier pair, et si k est impair,
p k
1 + ( 1)k
3 =0
On en déduit que S estp
bien un entier pair, comme
pairs.
p n somme d’entiers p
n
n
De plus, on a 0 < 2
3 < 1 et donc 2 + 3 < S < 1 + 2 + 3 . On en déduit que
S
1< 2+
Ce qui prouve que la partie entière de 2 +
p
3
p
n
n
3
<S
est S
1. C’est donc un entier impair.
Exercice 8
Soient x; y deux réels et n 2 N . Prouver que
1: x
y ) E(x)
E(y) :
x y ) E(x) x y
Donc E(x) est un entier relatif inférieur ou égal à y, Comme E(y) est le plus grand entier
relatif inférieur ou égal à y, on a E(x) E(y).
2. E(x) + E(y)
E(x + y)
E(x) + E(y) + 1.
Des inégalités E(x) x < E(x) + 1 et E(y) y < E(y) + 1, on déduit que E(x) + E(y)
x + y < E(x) + E(y) + 2.
Or E(x + y) est le plus grand entier n tel que n x + y. Puisque E(x) + E(y) x + y; on
déduit que E(x) + E(y) E(x + y):
De même, E(x+y)+1 est le plus petit entier m tel que m > x+y. Puisque E(x)+E(y)+2 >
x + y, on en déduit
E(x) + E(y) + 2 > E(x + y) + 1, ce qui donne E(x + y) < E(x) + E(y) + 1 .
1
3. 8a 2 Z; E(x + a) = E(x) + a:
On traite d’abords le cas a = 1
E(x) x < E(x) + 1 ) E(x) + 1 x + 1 < (E(x) + 1) + 1
Donc E(x + 1) = E(x) + 1
Si a 2 N; E(x + a) = E(x + (a 1) + 1) = E ((x + (a 1)) + 1
Ainsi
E(x + a) = E ((x + (a 1)) + 1 = E ((x + (a 2)) + 2
= :::: = E ((x + (a a)) + a = E(x) + a
Si a < 0; E(x) = E((x + a) a) = E(x + a) a ( puisque
d’où E(x) + a = E(x + a):
Par conséquent 8a 2 Z; E(x + a) = E(x) + a:
4. E
E(nx)
n
a > 0)
= E(x).
On a
E(x)
x < E(x) + 1 ) nE(x) nx < nE(x) + n
) E (nE(x)) E (nx) < E (nE(x) + n)
nE(x) et nE(x)+n sont des entiers, donc E (nE(x)) = nE(x) et E (nE(x) + n) = nE(x)+n.
D’où
nE(x) E (nx) < nE(x) + n
Par conséquent
E(x)
Soit E
E(nx)
n
E(nx)
< E(x) + 1
n
= E(x)
Exercice 9. Montrer que fr3 ; r 2 Qg est dense dans R.
p
p
Soient x un réel et " un réel strictementppositif. On
a 3 x < 3 x + " . Puisque Q est dense
p
dans R, il existe un rationnel r tel que 3 x < r < 3 x + "
Comme la fonction t 7! t3 est croissante, on a donc x < r3 < x + ". On a ainsi montré que
fr3 ; r 2 Qg est dense dans R.
2