La racine de 2 est irationnelle

L a ra cin e ca rré e d e 2 e st irra tio n n e lle .
Un nombre est dit irrationnel si aucune fraction ne lui est égale.
U n e p re u v e à co m p lé te r
Supposons qu'il existe une fraction
On suppose aussi que
a
m
a
m
tel que
a
=
m
√2
.
est irréductible (toutes les fractions peuvent être réduites).
a
a²
a 2
= √ 2 entraîne que ( ) = 2 , donc
= ... , ou encore a ² = 2×... ² .
m
m²
...
L'égalité a² = 2 m² implique alors que a² est un multiple de … .
Donc a² est un nombre pair. Mais si a² est pair, alors a est forcément pair lui aussi.
Donc on peut écrire a = 2b où b est un entier (b est la moitié de a ).
Mais alors si on revient à l'égalité a² = 2 m² , on obtient en remplaçant (2 b)² = 2 m² ,
soit 4 b ² = 2 ... ² et enin 2 b² = m² en divisant l'égalité par … .
2 b² = m² entraîne que m² est un multiple de 2, et donc que m est un nombre pair.
Alors
Mais comme la fraction
a
m
est irréductible, les nombres
a et m ne
peuvent pas être pairs tous les deux.
Donc aucune fraction ne peut être égale au nombre
√2
. CQFD
U n p e u d 'h isto ire
La tablette d'argile YBC 7289 (abréviation de Yale Babylonian Collection,
no 7289) est une pièce archéologique babylonienne écrite en cunéiforme
et traitant de mathématiques. Son intérêt réside dans le fait qu'elle est la
plus ancienne représentation connue d'une valeur approchée de √2.
Elle est datée du premier tiers du IIe millénaire av. J.-C. (-1700 ± 100). On
ne connaît pas son origine exacte ; elle provient sans doute du sud de
l'Irak actuel.
L'image ci-contre présente une photographie de la tablette YBC 7289
avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système
babylonien.
La preuve de l'irrationalité de √2 aurait été découverte par les
pythagoriciens (élèves de Pythagore) vers -500.
Mais la devise des pythagoriciens était « Tout est nombre » (au sens d'un
entier ou d'une fraction) de sorte que cette découverte venait contredire leurs théories.
La légende raconte qu'ils gardèrent ce résultat secret jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de
Métaponte, le trahisse. Celui-ci aurait ensuite curieusement péri dans un naufrage.
√ 2 d a n s la v ie co u ra n te
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les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur égale
à √2 ;
en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ;
en électricité, la tension maximale du courant alternatif monophasé domestique vaut √2 de
la tension eicace indiquée (généralement 110 ou 230 V) ;
en photographie, la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées
d’une suite géométrique deraison √2.