D M 1 4 E 4 DM14 • RCL série en RSF et puissance

DM14 • RCL série en RSF et puissance
I
Facteur de qualité
Un circuit (R, L, C) série est soumis à une tension alternative sinusoı̈dale définie par : u(t) = U0 sin ωt.
On étudie le régime d’oscillations sinusoı̈dales forcées, à la
pulsation ω.
1) La pulsation ω étant fixée, déterminer la puissance
moyenne < P > dissipée par ce circuit par effet Joule.
2) Pour quelle valeur ω o de ω cette puissance est-elle
maximale ? A quel phénomène physique correspond cette
valeur ω o ?
R
A
u(t)
B
L
C
3) Déterminer les limites ω min et ω max de l’intervalle de pulsation sur lequel < P > est au
moins égal à la moitié de sa valeur maximale P0 .
ω0
En déduire l’expression du facteur Q =
en fonction de L, R et ω o .
ωmax − ωmin
Pour L et C fixés, comment Q varie-t-il avec R ?
Quel est l’intérêt d’un circuit possédant un facteur Q élevé ?
En déduire une justification de la dénomination : « facteur de qualité » du circuit.
4) Exprimer, en fonction de L, R et U0 , l’énergie électromagnétique moyenne < E0 > stockée,
pour la pulsation ω o , dans la bobine ou le condensateur (vérifier que c’est la même).
En déduire une relation entre Q, ω o , < Eo > et < Po >. Retrouve-t-on, du point de vue énergétique, l’intérêt d’un circuit à Q élevé ?
II
Puissance et Régime sinusoı̈dal forcé
DM14 • E4
√
1) Un dipôle est alimenté en régime sinusoïdal forcé par une tension u(t) = U 2 cos(2πf t) avec
U = 220 V et f = 50 Hz.
√
L’intensité du courant qui le parcourt est alors i(t) = I 2 cos(2πf t + ϕ).
1.a) En fonction de U , I et ϕ, donner les expressions de :
α) l’impédance complexe Z et de son module Z (on notera j le nombre imaginaire pur tel que
j 2 = −1) ;
β) la puissance électrique moyenne Pe absorbée par le dipôle.
U2
1.b) En déduire l’expression Pe = 2 R, R étant la résistance électrique du dipôle.
Z
2)
Un fusible de 16 A protège une ligne électrique
{(A, B)/(A′ , B ′ )} alimentant en régime sinusoïdal forcé, sous
B
A
Fusible
une tension efficace U = 220 V et une fréquence f = 50 Hz,
un dipôle D assimilable à une bobine d’inductance L =
u
D
30.10−3 H en série avec un dipôle ohmique de résistance R
(fig. ci-contre).
A’
B’
L’intensité efficace maximale admissible dans la ligne est
Imax = 16 A.
Ce dipôle absorbe une puissance électrique moyenne Pe = 2 500 W .
La ligne {(A, B)/(A′ , B ′ )} se comporte comme un dipôle purement ohmique de résistance électrique totale R0 = 1, 2 Ω, fusible compris.
2.a) Calculer les deux valeurs possible R1 et R2 de la résistance R du dipôle D.
2.b) Pour chaque valeur R1 et R2 , calculer l’intensité efficace I1 et I2 dans le dipôle D.
Circuit RLC série et Puissance en RSF
2012-2013
2.c) Déterminer la seule valeur de R possible compte tenu de la présence du fusible.
2.d) En déduire l’intensité efficace I0 du courant électrique circulant dans la ligne {(A, B)/(A′ , B ′ )}
et la puissance moyenne P0 dissipée par effet Joule dans cette ligne.
3) On ajoute, en parallèle sur le dipôle D, un condensateur
de capacité C = 130, 4.10−6 F .
3.a) calculer les intensités efficaces :
α) ID dans le dipôle D ;
β) IC dans le condensateur ;
γ) I0′ dans la ligne.
A
B
Fusible
C
A’
D u
B’
3.b) Déterminer la puissance P0′ dissipée par effet Joule dans la ligne.
3.c) Comparer P0′ et P0 . Conclure sur l’intérêt de ce condensateur.
DM14 • E4
Rép : 2.a) R1 = 7, 5 Ω et R2 = 11, 9 Ω ; 2.b) I1 = 18, 5 A et I2 = 14, 5 A ; 2.d) P0 =< PJ >=
2 750 Ω ; 3.a) ID = 14, 5 A ; IC = 9, 0 A ; I0′ = 11, 4 A ; 3.b) P0′ = 2 654 W .
2
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Circuit RLC série et Puissance en RSF
2012-2013
Solution
√
√
1) u(t) = U 2 cos(2πf t), U = 220 V et f = 5 Hz ; i(t) = I0 2 cos(2πf t + ϕ).
√
U
U 2
U
= √
1.a.α) U = ZI → Z =
→ Z = e−jϕ
jϕ
I
I0
I0 2e
1.a.β)
√
√
1
< P >=< u(t)i(t) >=< U 2 cos(2πf t)I 2 cos(2πf t+ϕ) >= 2U I0 < (cos(4πf t+ϕ)+cos ϕ) >
2
→ Pe =< P >= U I0 cos ϕ
U
Re (Z)
R
U2
1.b) Pe = U I0 cos ϕ ; I = ; cos ϕ = cos(arg (Z)) =
≡
→ Pe = 2 R .
Z
Z
Z
Z
2) Pe = 2 500 W et L = 30 mH.
U 2R
U2
.
De plus : Pe = 2 R = 2
Z
R + L2 ω 2
2.a) D’où :
D
A
R0
B
Pe R 2 − U 2 R + L 2 ω 2 Pe = 0
Polynôme de degré 2 de discriminant :
∆ = « b2 − 4ac » = U 4 − 4L2 ω 2 Pe2
On vérifie que ∆ ≃ 121, 9.106 V 4 > 0
jLω
U
R
I0
A'
B'
Ce
admet
deux solutions réelles :
 qui signifie que
√
√le polynôme
2
U − ∆
−b − ∆


 .R1 = «
»=
→
R1 ≃ 7, 5 Ω
2a√
2P√
e

U2 + ∆
−b + ∆

 R2 = «
»=
→
R2 ≃ 11, 9 Ω
2a
2Pe
U
U
→ deux intensités possibles :
2.b) I0 =
=√
Z
R 2 + L2 ω 2
Si R = R1 , I0 = I1 ≃ 18, 3 A et si R = R2 , I0 = I2 ≃ 14, 5 A
2.c/d) Puisque le fusible impose I0 < 16 A :
R = R2 ≃ 11, 9 Ω
1
2
= (R0 + R)I02 = 2 750 W
P0 =< PJ >= Rtot Im
2
1
(R + jLω)
R + jLω
jCω
3) Z e =
=
1
1 − LCω 2 + jRCω
+ R + jLω
A
 1jCω


 jCω I C
U = (R + jLω)I
D



′
Z eI 0
De plus : C = 130, 4 µF et R = R2 ≃ 11, 9 Ω
A'
U
≃ 14, 5 A
3.a.α) → ID =| I D |= √
R 2 + L2 ω 2
et
I0 = I2 ≃ 14, 5 A .
D’où :
D
IC
jLω
U
I0'
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B ID
R0
1
jCω
R
B'
Ze
3.a.β) →
IC =| I C |= CωU ≃ 9, 0 A
p
(1 − LCω 2 )2 + (RCω)2
U
′
′
3.a.γ) → I0 =| I 0 |=
=
≃ 11, 4 A
Ze
R 2 + L2 ω 2
3.b) P0′ =< PJ′ > est la puissance dissipée par effet Joule dans la ligne au niveau de la
résistance R0 parcourue par l’intensité efficace I0′ et de la résistance R = R2 parcourue par
l’intensité efficace ID . D’où :
2
P0′ = R0 I0′2 + R2 ID
≃ 2 654 W
3.c)
P0′ < P0 : l’ajout du condensateur permet de faire baisser les pertes par effets Joule
en faisant diminuer l’intensité efficace dans la ligne(I0′ < I0 ).
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3
Circuit RLC série et Puissance en RSF
I
2012-2013
Facteur de qualité
1) Soit i = I0 . sin(ωt+ϕ) l’intensité circulant à travers le circuit RLC série soumis (en convention
récepteur) à la tension u(t) = U0 . sin(ωt).
I0 est l’amplitude du courant i(t) et ϕ = ϕi − ϕu son déphasage i par rapport à la tension u(t).


avec : U = U0
u = U .ejωt



jϕ
i = I.ejωt
En notations complexes :
avec : I = I0 .e

1
I0 j(ϕi −ϕu )


.e
avec : Z = Z.ejϕ =
 U = Z.I = R + j Lω −
Cω
U0
La puissance moyenne reçue, en régime sinusoïdal, par un dipôle d’impédance complexe Z, soumis
R
à la tension u(t) et parcouru par i(t) (en convention récepteur) est, sachant que cos ϕ =
et
Z
I0 = Z.I0 :
< P > =< i(t).u(t) >=< iA→B uAB >=< I0 .U0 cos (ωt + ϕi ). cos (ωt + ϕu ) >
I0 .U0
=
]
[< cos (ϕu − ϕi ) > +
< cos (2ωt + ϕi + ϕu ) >
{z
}
{z
}
|
|
2
constante
→ < P >=
0 car moy. temp. d’une fonction sinusoïdale
1
U2 R
U2
U0 .I0
cos ϕ = .R.I02 = 0 . 2 = 0 .
2
2
2 Z
2
2) < P > est maximale lorsque
Alors : < P > (max) = P0 =
Lω −
1
Cω
2
R
1 2
2
R + Lω −
Cω
s’annule, c’est-à-dire lorsque ω = ω0 = √
1
.
LC
U02
2R
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Dit autrement, < P >= 21 .R.I02 est maximale lorsque :
U0
U0
I0 = Im (ω) =
=s
Z
1 2
2
R + Lω −
Cω
U0
.
R
Cl : Il y a résonance en puissance (moyenne) lorsqu’il y a résonance en intensité dans le
circuit RLC série qui se comporte alors comme une résistance pure.
passe par sa valeur maximale I0 (max) = Im (ω0 ) =
3) On recherche la bande passante en puissance (moyenne), c’est-à-dire les valeurs ωc des pulsa< P > (max)
tions de coupure qui sont les pulsations ω du générateur telles que : < P > (ω) =
2
U02
P0
Or, comme < P > (max) = P0 =
: < P > (ω) =
2
2R
Lω
1
1+
−
R
RCω
Dès lors :
< P > (ω) =
< P > (max)
2
⇔
P0
1+
1
Lω
−
R
RCω
2 =
P0
2
⇔
Lω
1
−
= ±1
R
RCω
R
4
1
R2
.ω −
= 0 polynôme de discriminant : ∆ = 2 +
L
LC
L LC
En ne retenant que les racines réelles (les seules physiquement acceptables) :
√
√
∆
∆
R
R
ωmin = −
+
+
ωmax = +
2L
2
2L
2
Soit : ω 2 ∓
4
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Circuit RLC série et Puissance en RSF
2012-2013
Comme ωmax − ωmin =
R
, on en déduit :
L
1
Lω0
ω0
1
=
=
Q=
= .
ωmax − ωmin
R
RCω0
R
r
L
C
Cl : Lorsque R ց, alors Q ր
Intérêt d’un circuit possédant un facteur de qualité élevé : réaliser un filtre (passe-bande) très
sélectif, puisque plus Q est élevé et plus la bande passante (en puissance/en courant) est réduite.
Par ailleurs, plus le facteur de qualité est élevé, pour L et C fixées, plus la puissance maximale
U2
U 2 .Q
est élevée puisque P0 = 0 = 0
2R
2.Lω0
4) L’énergie électromagnétique moyenne stockée dans la bobine ou le condensateur est :
1
1
< E >=< EL > + < EC >=< .L.i2 > + < .C.u2C >
2
2
2
I2
2 sin2 (ωt + ϕ ) >= UCm
avec : < i2 >=< I02 . sin2 (ωt + ϕ) >= 0 et < u2C >=< UCm
C
2
2
I I
0
=
Comme UCm = :
jCω Cω
1 I02
1
< E >=< EL > + < EC >= .L.I02 +
4
4 C.ω 2
Soit, pour la pulsation ω0 (imposée par l’énoncé à cette question), puisque I0 (ω0 ) =
en courant) :
1 L.U 2
1 U 2Q
< E0 >= < EL > = . 20 = . 0
4 R
4 Rω0
Donc, puisque P0 =
et
< E0 >= < EC > =
U0
(résonance
R
1 1 U02
1 U 2Q
. 2 = . 0
2
4 C.ω0 R
4 Rω0
1 U 2Q
Q
< E0 >= . 0 =
.P0
4 Rω0
2ω0
Cl : Plus le circuit a un facteur de qualité élevé, et plus l’énergie électromagnétique moyenne
stockée (pour la pulsation ω0 ) est élevée puisque, lorsque L et C sont fixées :
< E0 >=
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Q
U02
.Q2 ր lorsque Q ր
.P0 =
2ω0
2Lω02
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DM14 • E4
U02
:
2R