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X Physique A PC 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l’université) et Stéphane Ravier (Professeur
en CPGE).
Ce sujet s’intéresse à l’interaction entre sphères colloïdales diélectriques ou magnétiques. Il se compose de quatre parties.
• La première permet d’établir les forces d’interaction qui existent entre deux
dipôles électriques ou magnétiques placés dans un champ externe. On démontre
les résultats classiques du dipôle électrostatique, pour les appliquer par analogie
à l’interaction magnétique dipôle-dipôle. Même si certains résultats sont fournis,
la bonne compréhension de cette partie conditionne la suite du sujet.
• Ensuite, on étudie l’agrégation de particules colloïdales placées dans un champ
magnétique. On détermine les temps caractéristiques associés à l’agrégation et
à la diffusion de particules, afin de caractériser l’évolution d’une assemblée de
dipôles. Cette partie est la plus longue et la plus difficile ; elle fait appel à des
connaissances de mécanique du point et de diffusion des particules. Un bon
sens physique est nécessaire pour appréhender correctement les différents phénomènes mis en jeu.
• Les deux dernières parties, plus courtes, présentent deux applications des particules colloïdales : les mesures de propriétés élastiques de gels à l’échelle microscopique et les mesures de viscosité d’un fluide, par des méthodes mécaniques.
Les résultats de la première partie sont constamment exploités, et seules des
connaissances élémentaires en mécanique sont nécessaires.
Ce sujet nécessite un bon recul sur la notion de dipôle, ainsi que sur la diffusion de
particules. Il est de difficulté variable : par exemple, la troisième partie est abordable
dans son intégralité dès la fin de la première année. Comme c’est de plus en plus
souvent le cas, la calculatrice était interdite. Pour s’y préparer, il faut s’entraîner à
travailler en ordres de grandeurs lors des applications numériques. L’énoncé précisant
que des parties sont indépendantes, il faut traiter en priorité ce que l’on maîtrise le
mieux, ce qui impose une lecture préalable du sujet dans son ensemble.
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Indications
Partie I
→
→
I.4 Le dipôle −
p2 est placé dans le champ créé par −
p1 . Quelle est alors son énergie
potentielle ?
I.5 Sous l’action d’un champ magnétique, les dipôles magnétiques élémentaires, que
sont les atomes ou molécules de la sphère, s’alignent.
Partie II
II.1 Ne pas chercher à expliciter les forces ici, il faut juste les présenter. Ne pas
confondre le champ externe et le champ engendré par un dipôle.
II.3 L’approximation est valable si le terme inertiel est négligeable devant un des
deux autres. Le comparer ici à la force de frottement.
II.4 Utiliser la question I.5, les deux dipôles étant alignés sur l’axe (Oz).
II.6 Les particules sont petites et la solution est diluée. Faire le lien avec la norme
de l’interaction dipôle-dipôle.
II.8 Si la densité particulaire n varie sur une échelle de temps τ d , alors
n
∂n/∂t ≃
τd
Faire de même avec le terme ∆n.
II.9 Quelle est la portée de l’interaction dipolaire ? En déduire la distance moyenne
associée au régime diffusif, puis utiliser la question II.4 pour le régime balistique.
II.10 Quel est l’ordre de grandeur de la stabilisation énergétique du dipôle ? De l’énergie qui peut lui être communiquée de part l’agitation thermique ? Dans quel cas
le régime est-il diffusif ? Balistique ?
Partie III
III.3 Écrire la condition d’équilibre pour un des cylindres. La simplifier sachant
que δ ≪ h. Quelle est l’allure de la courbe B0 2 = f (ε) ?
III.5 En quoi la méthode proposée permet-elle d’améliorer la localisation du centre
des sphères ? Pourquoi la mesure de la distance entre les deux sphères s’en
trouve-t-elle meilleure ?
Partie IV
IV.1 Faire un schéma : l’angle entre les deux dipôles est ϕ et leur distance 2 a. Que
devient le couple si l’on s’écarte d’une position d’équilibre ?
IV.2 Décomposer le couple donné pour faire apparaître le terme de friction étudié
dans la partie II. Quel est le mouvement du dimère ?
IV.4 Pour déterminer η, il suffit de mesurer ϕ en régime permanent. Comment peuton visualiser la direction du champ tournant ?
IV.5 Comment doit évoluer le couple magnétique avec la fréquence pour que le dipôle
puisse suivre le champ ? Qu’arrive-t-il au couple magnétique si ϕ > π/4 ?
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Interactions dipolaires entre particules
colloïdales
I. Interaction dipôle-dipôle
−−→
→
I.1 Avec les notations ci-contre, au point M tel que OM = r −
er , le
potentiel et le champ électrique créés par une charge q ponctuelle
placée en O sont respectivement
V(M) =
1 q
4 π ε0 r
et
−
→
E (M) =
−
→
er
z
M
r
O
1
q −
→
er
4 π ε0 r 2
y
x
−
→
Les lignes de champ, courbes telles que E y soit tangent en tout point, sont
donc des droites passant par O. Quant aux surfaces équipotentielles, elles vérifient
V(M) = Cte , soit r = Cte : ce sont des sphères de centre O, d’autant plus resserrées
que l’on s’en rapproche.
Ligne
de champ
Équipotentielle
q >0
q <0
Rappelons que le potentiel et le champ électrostatiques sont liés par
−−→
→
−
E = − grad V
Ils vérifient les propriétés suivantes, qui sont valables quelle que soit la distribution de charges :
• les surfaces équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ ;
• la norme du champ augmente si les équipotentielles se resserrent ;
• les lignes de champ convergent vers les charges négatives et divergent
des charges positives ;
• le champ est orienté dans le sens des potentiels décroissants.
On peut également donner une expression intrinsèque (indépendante du
choix des coordonnées) du résultat :
−−→
→
−
1
q
q
OM
V(M) =
et
E
(M)
=
−→
−−→ 3
4 π ε0 k −
4
π
ε
0
OMk
kOMk
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I.2 D’après le principe de superposition, le potentiel
z
créé par la distribution {O(−q), P(+q)} en M s’écrit
V(M) = VP (M) + VO (M)
r′
1 q
1 q
P(+q)
=
−
′
θ r
4 π ε0 r
4 π ε0 r
δ
−−→
−→ −−→
Or,
r′ = kPMk = kPO + OMk
O(−q)
1/2
= δ 2 − 2 δ r cos θ + r2
ϕ
1/2
δ cos θ δ 2
′
r = r 1−2
+ 2
r
r
x
On se place dans le cadre de l’approximation dipolaire r ≫ δ. Ainsi,
δ cos θ
′
r ≃r 1−
r
1
1
δ cos θ
d’où
≃
1
+
r′
r
r
Alors, le potentiel électrostatique créé par le dipôle en M est
1 q δ cos θ
V(M) =
4 π ε0
r2
→
→
que l’on réécrit en introduisant le moment dipolaire −
p = qδ−
ez
V(M) =
M
y
1 p cos θ
4 π ε0 r 2
Le champ électrostatique en M vérifie
−
→
−−→
∂V −
1 ∂V −
1 ∂V −
→
→
E = − grad V = −
er −
eθ −
e→
ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
donc
Er =
2 p cos θ
4 π ε0 r 3
Eθ =
p sin θ
4 π ε0 r 3
Eϕ = 0
Les lignes de champ du dipôle sont
représentées ci-contre. Qualitativement,
on construit cette figure en notant que
le lignes partent de la charge +q pour
revenir vers −q, deux lignes ne pouvant
se croiser.
−
→
p
La décroissance du potentiel en 1/r2 (et donc du champ en 1/r3 ) est
caractéristique d’une distribution dipolaire.
On peut directement obtenir des informations en utilisant les propriétés
de symétrie et d’invariance de la distribution de charges :
−
→
• le plan (O, →
e ,−
e ) est un plan de symétrie de la distribution de charge,
r
θ
donc du champ qui est un vecteur polaire, ce qui impose Eϕ = 0 ;
• la distribution est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) : V et
→
−
k E k ne dépendent pas de ϕ.
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