Physique générale

C30131
Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE APPLIQUÉE
Session 2010
__________
Épreuve de
PHYSIQUE GÉNÉRALE
__________
Durée : 4 heures
__________
Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique – à
fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre
1999.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est
rigoureusement interdit.
Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans
sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.
__________
Ce sujet comporte quatre parties indépendantes entre elles. La première partie traite du problème de la
propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non magnétique. La seconde partie
aborde le problème de la réflection sous incidence normale d’une onde électromagnétique à l’interface entre un
milieu diélectrique et un métal. La troisième partie vise à établir une description classique, via la permittivité
diélectrique complexe, d’un matériau semi-conducteur possédant des états excitoniques. Enfin, la quatrième
partie introduit la notion de régime de couplage fort en cavité Fabry-Pérot en se basant sur les résultats établis
dans les parties II et III.
~
Par convention, les nombres à priori complexes devront être soulignés. À tout vecteur A(t)
à dépendance tem~ exp(−iωt) tel que A(t)
~
~
~
=A
= Re{A(t)}.
porelle sinusoïdale de pulsation ω, on associe le vecteur complexe A(t)
0
Dans tout le problème, on note e la charge élémentaire, m la masse d’un électron, ε0 la permittivité diélectrique
du vide, µ0 la perméabilité magnétique du vide, c la célérité de la lumière dans le vide, ~ la constante de
Planck réduite et i le nombre complexe tel que i2 = −1. Pour les applications numériques, on prendra :
• e = 1, 60.10−19 C,
• m = 9, 11.10−31 kg,
• ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 ,
• µ0 = 4π.10−7 H.m−1 ,
• c = 3, 00.108 m.s−1 ,
• ~ = 1, 05.10−34 J.s.
PARTIE I : Propagation d’une onde électromagnétique
dans un milieu diélectrique non magnétique
I-1 Équations de Maxwell dans un milieu diélectrique non magnétique
Les charges électriques dans les milieux matériels peuvent être répertoriées selon deux catégories :
– les charges libres qui sont susceptibles de se déplacer (sous l’action de champs appliqués) dans l’ensemble
du matériau, sur des distances très grandes devant les dimensions atomiques,
– les charges liées qui sont liées aux atomes ou aux molécules. Elles peuvent se déplacer (sous l’action
de champs appliqués) légèrement autour de leur position d’équilibre, sur des distances de l’ordre des
dimensions atomiques.
a- Dans un milieu diélectrique (l’air, l’eau, le verre par exemple), l’action d’un champ électrique engendre
l’apparition de dipôles électriques à l’échelle atomique1 . Expliquer pourquoi.
b- Pour décrire la réponse d’un milieu diélectrique à une excitation électrique, on introduit le vecteur~
polarisation P(M,
t) défini au point M à l’instant t par :
d~p
~
P(M,
t) =
,
dτ
où dτ est un volume mésoscopique autour du point M considéré et d~p est la somme des moments dipolaires des
dipôles électriques contenus dans dτ à l’instant t. Rappeler la définition de l’échelle mésoscopique et donner
un ordre de grandeur possible pour dτ .
c- On note ~jliées (M, t) le vecteur densité de courant au point M à l’instant t associé aux charges liées. En
considérant les différents porteurs de charges liés (que vous pourrez repérer par l’indice k) présents dans le
volume dτ établir la relation :
~
~jliées (M, t) = ∂ P(M, t) .
∂t
d- En admettant que ρliées (M, t) la densité volumique de charges liées en M à t vérifie :
~
ρliées (M, t) = −div P(M,
t),
1
On dit que le milieu se polarise.
1
montrer que, dans un milieu diélectrique non magnétique2 , les équations de Maxwell prennent la forme :
~ = ρlibres
div D
~ =0
div B
~
∂B
−→~
rotE = −
∂t
~
∂D
−→~
rotB = µ0 ~jlibres +
,
∂t
~ (respectivement B)
~ le champ électrique (respectivement magnétique), ρlibres la densité volumique de
avec E
~
charges libres et jlibres le vecteur densité de courant associé aux charges libres. Donner l’expression du vecteur
~ en fonction de ε0 , E
~ et P.
~
déplacement électrique D
I-2 Permittivité diélectrique relative complexe d’un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope
~ et E
~ sont reliés par une équation différena- Un milieu diélectrique est dit linéaire et isotrope lorsque P
tielle temporelle linéaire à coefficients constants. Pourquoi est-il judicieux d’étudier un tel milieu en réponse
sinusoïdale, en utilisant la notation complexe ?
b- Justifier que, pour un milieu diélectrique linéaire, isotrope et homogène, il existe un nombre complexe
χ(ω) (ω est la pulsation du champ électrique), appelé susceptibilité diélectrique complexe, vérifiant :
~
~
t) = ε0 χ(ω)E(M,
t).
P(M,
c- Établir la relation existant entre χ(ω) et la permittivité diélectrique relative complexe εr (ω) vérifiant :
~
~
D(M,
t) = ε0 εr (ω)E(M,
t).
I-3 Propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique non magnétique parfaitement isolant,
linéaire, homogène et isotrope
Dans la suite, on appellera M un tel milieu. Un milieu est dit parfaitement isolant si les densités de charges
et de courants libres sont nulles en tout point et à chaque instant : ρlibres = 0 et ~jlibres = ~0. Nous nous
intéressons ici à la propagation, dans M de permittivité diélectrique relative complexe εr (ω), d’une onde
électromagnétique plane progressive harmonique décrite en notation complexe par les champs électrique
~
~ (M)exp(−iωt) et magnétique B(M,
~
~ (M)exp(−iωt), en un point M du milieu et à l’insE(M,
t) = E
t) = B
0
0
tant t.
~
~
a- Établir les équations de propagation des champs complexes E(M,
t) et B(M,
t) dans M (équations
~
~
découplées vérifiées séparément par E(M, t) et B(M, t)).
~ (M) et B
~ (M), la relation de dispersion
b- En déduire, en précisant la forme choisie pour les fonctions E
0
0
~
dans M (on introduira un vecteur d’onde k à priori complexe).
c- L’indice complexe du milieu n(ω) est défini comme étant le nombre complexe dont la partie réelle
est positive et qui vérifie n(ω)2 = εr (ω). On pose n(ω) = n0 (ω) + i n00 (ω), donner l’interprétation physique de
n0 (ω) et de n00 (ω). Caractériser les zones du spectre où M est transparent.
~
~
d- Quelle est la structure de l’onde électromagnétique dans le milieu ? E(M,
t) et B(M,
t) sont-ils nécessairement en phase ?
PARTIE II : Réflexion d’une onde électromagnétique
sur un métal
II-1 Le modèle de Drude
La conduction électrique dans les métaux est assurée par les électrons de conduction libres de se déplacer sur
des distances très grandes devant les dimensions atomiques. Dans le cadre du modèle de Drude, l’action du
milieu matériel sur les électrons de conduction est décrite par une force de frottement visqueux : les électrons
contenus dans le volume élémentaire dτ sont soumis à la force −α~vdτ avec α un coefficient positif et ~v la
2
Un milieu est dit non magnétique si du point de vue magnétique ce milieu se comporte comme le vide :
l’application d’un champ magnétique n’engendre pas l’apparition de moments magnétiques microscopiques.
2
vitesse de dérive3 de ces électrons. On notera n la densité volumique d’électrons de conduction dans le métal
considéré.
~ Montrer que la vitesse de dérive ~v est solution de :
a- Le métal est soumis à un champ électrique E.
~
eE
d~v ~v
+ =− .
dt
τ
m
Donner l’expression de τ .
b- À t=0, le champ électrique est supprimé brusquement. Résoudre l’équation différentielle précédente
pour t ≥ 0 et donner l’interprétation physique de τ .
~ est maintenant constant. Donner l’expression de la vitesse de dérive en
c- Le champ électrique appliqué E
~
fonction de E, e, τ et m. Retrouver la loi d’ohm locale et donner l’expression de la conductivité électrique σ0
du métal considéré.
d- Dans le cas du cuivre, σ0 = 58.106 S.m−1 et n = 84.1027 m−3 . Calculer la valeur de τ pour le cuivre.
e- On se place maintenant dans le cas d’un champ électrique sinusoïdal de pulsation ω. On rappelle que la
~ exp(−iωt). Établir l’expression de la conductivité
~ =E
notation complexe associée à ce champ électrique est E
0
électrique complexe en fonction de σ0 , τ et ω.
II-2 Permittivité diélectrique complexe du métal
Pour simplifier on ne tiendra pas compte de l’influence des charges liées sur les caractères diélectrique et
magnétique du métal.
a- Montrer que dans un métal la forme complexe de l’équation de Maxwell-Ampère peut s’écrire sous la
forme :
−→ ~
~
rot B = −iωµ0 ε0 ε E
rm
où εrm est la permittivité diélectrique relative complexe du métal dont on donnera l’expression en fonction de
ω, σ0 , τ et ε0 .
b- Montrer également que l’équation de Maxwell-Gauss peut s’écrire :
~ = 0.
div ε0 εrm E
c- Montrer que εrm peut se mettre sous la forme :
εrm = 1 −
ωp2
1
2
ω 1 + i(ωτ )−1
où ωp est la pulsation plasma du métal. Donner l’expression de ωp en fonction de n, e, m et ε0 . Comparer sa
valeur à 1/τ dans le cas du cuivre (nous admettrons dans la suite que ceci reste valable quel que soit le métal
considéré).
II-3 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un métal
On considère maintenant l’interface entre un milieu diélectrique et un métal. Cette interface est confondue
avec le plan (xOy) d’un repère cartésien (O,~ex ,~ey ,~ez ), le métal occupe l’espace correspondant à z<0 (cf
figure n˚1). La permittivité diélectrique relative du milieu diélectrique εrd est supposée réelle et indépendante
de la pulsation ω. Soit une onde électromagnétique monochromatique plane tombant normalement sur le métal.
~ exp[−i(ωt + nd ω z)] avec nd l’indice optique du
~ =E
En notation complexe, cette onde incidente s’écrit : E
i
i0
c
milieu diélectrique défini comme étant le nombre positif vérifiant la relation n2d = εrd .
3
Par définition, la vitesse de dérive est la moyenne vectorielle des vecteurs vitesses des différents électrons
contenus dans dτ .
3
Figure no 1 : Représentation schématique de l’interface métal-diélectrique
a- Donner les expressions des vecteurs d’onde des ondes incidente, réfléchie et transmise notés respectivement ~ki , ~kr et ~kt . On introduira nm l’indice optique complexe du métal (c’est-à-dire le nombre complexe dont
la partie réelle est positive et qui vérifie n2m = εrm ).
~ et E
~ les champs électriques complexes associés respectivement aux ondes réfléchie et
b- Exprimer E
r
t
transmise. On introduira pour cela les coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude relativement
au champ électrique.
~ et B
~ les champs magnétiques complexes associés respectivement aux
~ ,B
c- Donner les expressions de B
i
r
t
ondes incidente, réfléchie et transmise.
d- On admet la continuité des champs électrique et magnétique à la traversée de l’interface. En déduire
que :
nd − nm
2nd
et t =
.
r=
nd + nm
nd + nm
e- On pose nm = nm,r + i nm,i et pour cette question seulement on se place dans le cas où ω << 1/τ .
α- Donner les expressions approchées de nm,r et nm,i en fonction ω, ε0 et σ0 .
β- Montrer alors que ~kt peut se mettre sous la forme :
~k = − 1 + i~ez ,
t
δ
et donner l’expression de δ en fonction de ω, µ0 et σ0 . Pour ω = 1012 rad.s−1 , faire l’application numérique
dans le cas du cuivre.
γ- Donner alors l’expression du champ électrique de l’onde transmise. Commenter.
δ- Établir une approximation des coefficients r et t. Commenter.
f- Pour cette question, on se place dans le cas où ω >> 1/τ .
α- Donner l’expression approchée de εrm en fonction de ω et ωp .
β- Expliciter nm , r et t lorsque ω < ωp . Donner également leurs expressions approchées dans le cas où ω << ωp .
Commenter.
γ- Expliciter nm , r et t lorsque ω > ωp . Commenter.
II-4 Propagation dans une cavité Fabry-Pérot métallique
On considère toujours l’interface milieu diélectrique/métal représentée schématiquement sur la figure n˚1.
L’onde électromagnétique incidente est maintenant polarisée rectilignement selon l’axe (Oy) et sa direction
de propagation est toujours contenue dans le plan (xOz) mais forme un angle non nul avec l’axe (Oz). Le
~ = Ei0~ey exp[−i(ωt − kd,x x + kd,z z)].
champ électrique complexe associé à cette onde incidente s’écrit alors : E
i
On suppose aussi que la pulsation ω de l’onde incidente est telle que r ' −1 sous incidence normale et on
admet que ceci reste valable même si la direction de propagation forme un angle non nul avec la normale à
l’interface.
a- Donner l’expression du champ électrique dans le milieu diélectrique. Commenter.
b- On remplit l’espace correspondant à z ≥ L (avec L>0) avec un métal identique au premier (cf figure n˚2). L’ensemble métal/diélectrique/métal constitue une cavité Fabry-pérot métallique. Quelle condition
doit satisfaire kd,z pour que l’onde incidente précédente puisse se propager dans le milieu diélectrique ? En
déduire, en fonction de p un entier, L et kd,x , l’expression de la norme des vecteurs d’onde associés aux ondes
électromagnétiques pouvant se propager dans la cavité.
4
Figure no 2 : Cavité Fabry-pérot métallique
c- Les photons associés à une onde électromagnétique de pulsation ω ont une énergie E égale à ~ω avec ~
la constante de Planck réduite. Expliciter l’énergie des photons associés aux ondes pouvant se propager dans
la cavité en fonction de c, ~, εrd , p, L et kd,x .
PARTIE III : États excitoniques
dans un semi-conducteur
III-1 Questions préliminaires
a- Rappeler, en quelques lignes, l’origine des propriétés électriques d’un matériau semi-conducteur. Qu’appelle t-on "trou" ?
b- Rappeler, sans faire de calcul, l’expression de l’énergie potentielle d’interaction coulombienne entre
deux charges q1 et q2 placées dans le vide respectivement aux points M1 et M2 .
c- Dans certains semi-conducteurs et sous certaines conditions, il arrive qu’un trou puisse rester en interaction coulombienne avec un électron. L’association de ce trou et de cet électron est alors appelée "exciton",
on dit également que le semi-conducteur considéré possède des états excitoniques. La mécanique quantique
indique que l’état excitonique est un niveau discret.
α- Sur un axe ascendant gradué en énergie, représenter par trois traits horizontaux le maximum de la bande
de valence, le minimum de la bande de conduction et le niveau excitonique.
β- Repérer sur ce diagramme l’énergie de bande interdite du semi-conducteur EG et l’énergie de liaison de
l’exciton EL .
γ- Que vaut l’énergie de l’exciton E0 dans le cas où la référence des énergies est prise en haut de la bande de
valence ?
III-2 Permittivité diélectrique complexe d’un semi-conducteur possédant des états excitoniques
On considère dans ce qui suit un semi-conducteur dans lequel des excitons sont susceptibles d’exister. Le
~
vecteur polarisation4 complexe P(M,
t) au point M à l’instant t dans un tel milieu se décompose alors en la
somme :
~
• d’un terme dû au caractère diélectrique du semi-conducteur, ε0 χd E(M,
t) avec χd la susceptibilité
~
diélectrique du semi-conducteur supposée indépendante de la pulsation ω et E(M,
t) le champ électrique
complexe au point M à l’instant t,
~ , dû à la présence d’excitons au sein du semi-conducteur.
• et d’un terme, noté P
ex
4
Voir définition question I-1-b.
5
~
~
~ . L’objectif des quelques questions qui suivent est de déterminer
On écrit alors P(M,
t) = ε0 χd E(M,
t) + P
ex
~
Pex à l’aide d’un modèle classique pour en déduire la permittivité diélectrique complexe d’un semi-conducteur
possédant des états excitoniques.
~
~
a- Une onde électromagnétique (E(M,
t), B(M,
t)) se propage dans le matériau. Donner l’expression et le
nom de la force qu’exerce cette onde sur l’électron constituant l’exciton. On suppose l’électron non relativiste.
Comment se simplifie l’expression de cette force ?
Dans la suite, on note ~r le vecteur position de l’électron dans un repère R lié à l’exciton. Dans le modèle de
l’électron élastiquement lié, le mouvement de l’électron dans R est décrit en considérant que ce dernier est
soumis à deux forces supplémentaires :
r
• une force de frottement visqueux −m∗ Γ d~
dt modélisant l’interaction entre l’électron et le réseau cristallin,
∗ 2
• et une force de rappel élastique −m ω0~r modélisant l’interaction entre l’électron et le trou.
m∗ est la masse effective5 de l’électron, ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur formé par l’association de
l’électron et du trou, et Γ est un coefficient de frottement par unité de masse.
b- L’onde est maintenant supposée monochromatique de pulsation ω pour que la notation complexe puisse
être utilisée. La longueur d’onde de cette onde est supposée grande devant les dimensions caractéristiques des
déplacements de l’électron autour de M la position du centre de masse de l’exciton. En régime établi, le vecteur
position de l’électron est de la forme :
~r(t) = Re{~r(t)} = Re{~r0 exp(−iωt)}.
~
Déterminer l’expression de ~r(t) en fonction de e, m∗ , ω, ω0 , Γ et E(M,
t).
c- Expliciter le moment dipolaire ~p de l’exciton en fonction de e, ~r et ~rt le vecteur position du trou dans
le repère R.
d- On suppose dans la suite que ~rt = −~r. Montrer que l’expression de la susceptibilité complexe χex (ω)
associée à la présence d’excitons dans le semi-conducteur peut se mettre sous la forme :
χex (ω) = χ0
ω02
ω02
.
− ω 2 − iωΓ
Donner l’expression et la signification de χ0 . On notera n la densité volumique d’excitons.
e- Examiner et commenter les trois cas suivants :
• ω << ω0 ,
• ω = ω0 ,
• ω >> ω0 .
f- Montrer alors que la permittivité diélectrique complexe du matériau peut se mettre sous la forme :
ε(ω) = εd + ε0 χ0
ω02
ω02
,
− ω 2 − iωΓ
où εd est la permittivité diélectrique du matériau en l’absence d’états excitoniques.
g- On pose ε(ω) = ε0 (ω) + i ε00 (ω).
α- Donner les expressions de ε0 (ω) et de ε00 (ω).
β- Dans le cas d’un amortissement faible, c’est-à-dire lorsque Γ << ω0 , tracer l’allure de la fonction ω → ε0 (ω).
On devra pour cela établir un tableau de variation de cette fonction.
γ- Pour ω au voisinage de ω0 montrer que :
ε00 (ω) ' ε00 (ω0 )
1
1+
4
Γ2 (ω
− ω0 )2
.
Tracer l’allure de cette approximation de ε00 (ω). Que représente Γ vis-à-vis de ce tracé ?
5
La masse effective est un paramètre issu du traitement quantique de la conduction dans les semiconducteurs. Il permet de prendre en compte le fait que l’électron se déplace dans le potentiel électrique
périodique du réseau cristallin. C’est cette masse effective qu’il faut utiliser lors de l’application de la relation
fondamentale de la dynamique à l’électron.
6
PARTIE IV : Régime de couplage
fort en cavité
IV-1 Notion d’énergie complexe
Nous avons montré dans la partie III (cf question III-2-f) que la permittivité relative complexe εr (ω) à la
pulsation ω d’un semi-conducteur possédant des états excitoniques6 peut se mettre sous la forme :
εr (ω) = εrd + χ0
ω02
ω02
,
− ω 2 − iωΓ
avec εrd la permittivité diélectrique relative du matériau en l’absence d’états excitoniques, ω0 la pulsation
propre de l’oscillateur formé par l’électron et le trou de l’exciton, χ0 un paramètre sans dimension et Γ un
coefficient de frottement fluide par unité de masse.
Quelle que soit la particule considérée la mécanique quantique indique qu’il est possible de lui associer une
pulsation ω qui est liée à l’énergie E de cette particule par la relation E = ~ω où ~ est la constante de Planck
réduite.
a- Justifier alors que la permittivité relative complexe du matériau en fonction de l’énergie E des photons
constituant le champ électromagnétique est de la forme :
εr (E) = εrd +
A
,
E20 − E2 − 2iEγ0
E0 étant l’énergie du niveau excitonique. Exprimer A et γ0 .
b- Soit [E0 − γ0 /2, E0 + γ0 /2] la plage d’énergie sur laquelle l’absorption liée aux états excitoniques du
matériau (cf question III-2-g) est significative, le paramètre γ0 est alors appelé "largeur du niveau excitonique".
On associe formellement au niveau excitonique un nombre complexe E0 appelé "énergie complexe" défini par
E0 = E0 − i γ0 . À tout état quantique discret, on peut associer une énergie complexe qui permet de mener les
calculs comme si la largeur du niveau était nulle. Donner, pour E au voisinage de E0 , l’expression de εr (E) en
fonction de E, E0 , E0 , A, γ0 et εrd .
IV-2 Semi-conducteur possédant des états excitoniques placé dans une cavité Fabry-Pérot métallique
On reprend la configuration présentée par la figure n˚2 mais cette fois le matériau diélectrique est remplacé
par un matériau semi-conducteur dans lequel sont susceptibles d’exister des excitons. Comme dans la question II-4, on s’intéresse à la propagation dans la cavité Fabry-Pérot d’une onde électromagnétique polarisée
rectilignement dans le plan perpendiculaire à l’axe (Oz).
a- Les équations de Maxwell imposent (cf partie I) que l’énergie complexe E des photons capables de se
propager dans la cavité vérifie :
~2 c2 (k2// + k2z )
= εr (E),
E2
avec kz (respectivement k// ) la composante du vecteur d’onde selon l’axe (Oz) (respectivement dans le plan
de la cavité).
α- Donner l’expression de l’énergie Ec (k// ) des photons pouvant se propager dans la cavité en l’absence d’états
excitoniques dans le matériau semi-conducteur. Commenter.
β- Tracer l’allure de la fonction k// → Ec (k// ) dans le cas où kz = π/L (cf question II-4-b) où L est la longueur
de la cavité Fabry-Pérot considérée.
γ- Donner la valeur de Ec (k// = 0), exprimée en joules (J) puis en électrons-Volts (eV), dans le cas où
L = 150 nm et εrd = 2, 9.
b- On se place dans ce qui suit dans le cas où :
|Ec − E|
<< 1
Ec
et
|E0 − E|
<< 1.
E0
Montrer alors que l’énergie complexe E vérifie :
(Ec − E)(E0 − E) = ∆2 .
6
Cf définition question III-1-c.
7
Donner l’expression de ∆ en fonction de A et εrd .
c- Montrer que les deux solutions de l’équation précédente sont :
r
r
Ec + E0
(Ec − E0 )2
Ec + E0
(Ec − E0 )2
2
+ ∆ +
et
E− =
− ∆2 +
.
E+ =
2
4
2
4
IV-3 Régime de couplage fort
La cavité est maintenant supposée être en régime de couplage fort c’est-à-dire qu’on a γ0 << ∆.
a- Mettre le terme
r
(Ec − E0 )2
∆2 +
4
sous une forme approchée du type A + i B. Expliciter A et B en fonction de ∆, Ec , E0 et γ0 .
b- Déterminer alors les expressions des énergies E+ et E− associées respectivement aux énergies complexes
E+ et E− . En régime de couplage fort, les deux énergies E+ et E− sont associées à deux nouvelles particules
appélées polaritons.
c- On appelle "courbe de dispsersion d’une particule" la courbe qui représente l’évolution de l’énergie de
cette particule en fonction de son vecteur d’onde dans le plan de la cavité k// .
α- Tracer sur un même diagramme (E, k// ) les allures des courbes de dispersion des états excitoniques, des
photons pouvant se propager dans la cavité en l’absence d’états excitoniques. Vous ferez l’hypothèse que la
cavité considérée est concue de telle manière à ce que ces deux courbes de dispersion se croisent sur votre
diagramme.
β- Tracer ensuite sur le même diagramme, les allures des courbes de dispersion des deux polaritons. Reporter
sur votre diagramme l’énergie ∆. Commenter.
d- On s’intéresse maintenant aux largeurs des deux polaritons.
α- Justifier que :
(Ec − E+ )(E0 − E+ ) = ∆2
et
(Ec − E− )(E0 − E− ) = ∆2 .
β- Montrer alors que :
δE+ = −Im{E+ } = γ0
∆2
∆2 + (E0 − E+ )2
et
δE− = −Im{E− } = γ0
γ- Examiner les cas |E0 − E± | << ∆ et |E0 − E± | >> ∆. Commenter.
*** Fin de l’épreuve ***
8
∆2
.
∆2 + (E0 − E− )2