Intégrales convergentes

⋇ Intégrales convergentes ⋇
Définitions
Définition – Intégrale localement intégrable
Soit f définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout segment inclus
dans I.
Définition – Cas d’un intervalle non borné
+∞
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[. On dit que l’intégrale ∫a
+∞
Si c’est le cas on pose ∫a
x
f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫a f(t)dt existe.
x
f(t)dt = lim ∫a f(t)dt
x→+∞
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Définition – Cas d’une fonction non bornée sur un intervalle borné
b
b
Soit f une fonction continue sur ]a, b] On dit que l’intégrale ∫a f(t)dt converge si la limite de la primitive ∫x f(t)dt existe. Si
b
b
c’est le cas on pose ∫a f(t)dt = lim+ ∫x f(t)dt
x→a
Dans le cas contraire on dit que l’intégrale diverge.
Théorème – Relation de Chasles des intégrales convergentes
b
c
Soient f localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ ]a, b[ alors ∫a f(t)dt et ∫a f(t)dt ont même nature et si elles convergent on a :
b
c
b
∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
a
a
c
Théorème – Linéarité des intégrales convergentes
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ dont les intégrales convergent sur I. Soient λ et 𝜇 deux réels.
λ.f + 𝜇.g a une intégrale convergente sur I et ∫I (λf + μg)(x)dx = λ ∫I f(x)dx + μ ∫I g(x)dx
* Pour qu’une intégrale impropre soit convergente il suffit qu’il existe un changement de variable qui la ramène à un
intervalle propre
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 1
Fonctions positives sur un intervalle non borné
Théorème – Limite non nulle à l’infini
Soit f localement intégrable sur [a, +∞[ on a alors
+∞
lim f(x) existe et est non nulle ⇒∫a
x→+∞
f(t)dt diverge
* on le montre par équivalence avec la fonction g(x) = la constante qui est limite de f à l’infini
+∞
* donc si ∫a
f(t)dt converge, soit f a une limite nulle en +∞, soit f n’a pas de limite
Théorème – Comparaison de fonctions sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de +∞.
∃A, ∀t > A, f(t) ≤ g(t)
+∞
Si ∫a
Si
+∞
g(t)dt converge alors ∫a
+∞
∫a f(t)dt
diverge alors
f(t)dt converge
+∞
∫a g(t)dt
diverge
* Astuce : utiliser la négligeabilité
Si f = o(g) au voisinage de l’infini, c'est-à-dire si lim
f(x)
x→+∞ g(x)
= 0 on a f ≤ g au voisinage de l’infini et on peut conclure …
Théorème – Fonctions équivalentes sur un intervalle non borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, +∞[, équivalentes au voisinages de +∞.
f(x)
lim
=1
x→+∞ g(x)
+∞
∫a
+∞
f(t)dt converge ssi ∫a
g(t)dt converge
Intégrales de Riemann
+∞ 1
∫1
tα
dt avec α réel strictement positif : diverge si α ≤ 1, converge si α > 1
Règle de l’ordre = trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann
Règles de Riemann
+∞
Si 0 ≤ x α f(x) ≤ k, α > 1 alors ∫a
α
Si x f(x) ≥ k > 0, α ≤ 1 alors
f(t)dt converge
+∞
∫a f(t)dt
diverge
α
Si lim x f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 à partir duquel −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ≥ x0 |x α f(x)| ≤ k
x→+∞
donc |f(x)| ≤
k
xα
+∞
donc si α > 1 ∫a
f(t)dt converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle
Intégrales de Bertrand
+∞
∫3
dt
t(ln(t))β
avec β réel strictement positif :
diverge si β ≤ 1, converge si β > 1
Théorème d’Abel
Soit f une fonction continument dérivable sur [a, +∞[ positive, décroissante, ayant une limite nulle en +∞. Soit g une
x
+∞
fonction continue sur [a, +∞[, telle que la primitive ∫a g(t)dt soit bornée. Alors l’intégrale ∫a
19/04/2017
f(t)g(t)dt converge.
Analyse – Intégrales convergentes| 2
Fonctions positives non bornées
Théorème – Limite finie en un point fini
f localement intégrable sur ]a, b], bornée telle que f est prolongeable par continuité en a, c'est-à-dire f de limite finie en a+,
b
alors ∫a f(t)dt converge.
1 sin t
* exemple ∫0
t
dt
Théorème – Comparaison de fonctions non bornées sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b]. Supposons que f soit majorée par g au voisinage de a
∃𝜀, ∀t ∈ ]a, a+𝜀[, f(t) ≤ g(t)
b
b
Si ∫a g(t)dt converge alors ∫a f(t)dt converge
b
b
Si ∫a f(t)dt diverge alors ∫a g(t)dt diverge
Théorème – Fonctions non bornées équivalentes sur un intervalle borné
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur ]a, b], équivalentes au voisinages de a.
f(x)
lim+
=1
x→a g(x)
b
b
Si ∫a f(t)dt ssi ∫a g(t)dt converge
Intégrales de Riemann
b
∫a
dt
diverge si α ≥ 1, converge si α < 1
(b−t)α
1 dt
∫0 tα diverge
si α ≥ 1, converge si α < 1
Règle de l’ordre
Trouver une fonction équivalente à une intégrale de Riemann en b−
k
Si f(x)~ (b−x)α lorsque x tend vers b− , (k réel non nul), alors f(x) diverge si α ≥ 1, converge si α < 1
Règles de Riemann
b
Si 0 ≤ (b − x)α f(x) ≤ k, α < 1 alors ∫a f(t)dt converge
b
Si (b − x)α f(x) ≥ k ≥ 0, α ≥ 1 alors ∫a f(t)dt diverge
Si lim x α f(x) = 0 pour tout réel k positif il existe un x0 tel que x ≤ x0 implique −k ≤ x α f(x) ≤ k et donc pour x ∈ ]0, 𝑥0 ]
x→0
|x α f(x)| ≤ k
donc |f(x)| ≤
k
xα
1
donc si α < 1 ∫0 f(t)dt converge
* La dernière règle est utilisée surtout pour les produits de logarithme, puissance, exponentielle
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 3
Convergence absolue
Définition – Intégrale absolument convergente sur un intervalle non borné
+∞
Soit f une fonction continue sur un intervalle[a, +∞[. On dit que ∫a
+∞
f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est
convergente ;
Théorème
+∞
Si l’intégrale ∫a
f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Intégrale d’une fonction non bornée absolument convergente sur un intervalle borné
b
b
Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a, b] . On dit que ∫a f(t)dt est absolument convergente si ∫a |f(t)|dt est
convergente
Théorème
b
Si l’intégrale ∫a f(t)dt est absolument convergente alors elle est convergente
Définition – Semi-convergence
On dit que l’intégrale de f est semi-convergente sur un intervalle I si f est convergente mais n’est pas absolument
convergente
Plan d’étude
1 – Identifier les points incertains
2 – Découper l’intégrale pour isoler les points incertains
3 – Se ramener à une intégrale sur [a, +∞[ ou sur ]a, b]
4 – Calculer une primitive si c’est possible
5 – Si la fonction est de signe constant se ramener à une fonction toujours positive
Calculer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser les théorèmes de comparaison
6 – Si la fonction n’est pas de signe constant, étudier |f| comme dans le cas précédent
Si la fonction n’est pas absolument convergente, mettre la fonction sous forme d’un produit pour utiliser le théorème d’Abel
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 4
19/04/2017
Analyse – Intégrales convergentes| 5