cours - RP 2016-2017

Rappels et compléments sur les séries
PSI-Pasteur 2016-2017
Définition 1 Soit (un )n∈N une suite de nombres complexes. On dit que la série de terme général
P
un converge lorsque la suite des sommes partielles (Sn = nk=0 uk ) converge. La limite de cette
P
suite est alors appelée somme de la série, et notée +∞
n=0 un .
Remarque 1 Une suite (un ) converge si et seulement si la série
(un+1 − un ) converge.
P
Proposition 1 Le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers zéro.
Exemple 1 La série géométrique de raison z converge si, et seulement si, |z| < 1 .
+∞
1
P n
La somme vaut alors :
z =
.
1−z
n=0
Proposition 2 Une série à termes positifs converge si, et seulement si, l’ensemble de ses sommes
partielles est majoré. D’où le principe de comparaison des séries à termes positifs.
Corollaire 1 Soit (un ) une suite à termes strictement positifs.
P
>
1
à
partir
d’un
certain
rang
alors
un diverge grossièrement.
Si uun+1
n
P
Mais s’il existe α ∈]0, 1[ tel qu’à partir d’un certain rang uun+1
6 α alors
un est convergente.
n
Corollaire 2 Si f est une fonction continue par morceaux sur [0, +∞[, positive et décroissante,
P
alors
n>1 f (n) converge si, et seulement si, f est intégrable sur [0, +∞[.
Exemple 2 Séries de Riemann.
Définition 2 On dit que
P
un est absolument convergente lorsque
P
|un | est convergente.
Proposition 3 Toute série absolument convergente converge, et vérifie : |
P+∞
n=0
un | 6
P+∞
n=0
|un | .
Remarque 2 (Règle de d’Alembert) On considère une série à termes complexes non nuls. . .
Si | uun+1
| tend vers une limite ` < 1, la série converge absolument.
n
Si | uun+1
| tend vers une limite ` > 1, la série diverge grossièrement.
n
Exemple 3 Pour tout z ∈ C ,
P zn
n!
converge absolument, et
P+∞ z n
n=0 n!
= exp(z) .
Remarque 3 Si (vn ) est une suite à termes positifs et (un ) une suite à termes complexes
P
P
telle que un ∈ O(vn ) alors la convergence de
vn implique la convergence absolue de
un .
Proposition 4 (critère spécial des séries alternées)
Pour qu’une série à termes réels alternativement positifs et négatifs converge,
il suffit que son terme général tende vers zéro en décroissant en valeur absolue.
Le reste est alors du signe de son premier terme, et majoré en valeur absolue par celui-ci.
Remarque 4 Deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature. . .
n
√
Mais la série de terme général (−1)
+ n1 est divergente !
n