dynamique en référentiel non galiléen - mpsi1-fenelon-sainte
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dynamique en référentiel non galiléen Table des matières 1 Principe de relativité galiléenne 1.1 Référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Relativité galiléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen 2.1 PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Forces d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe 2.2 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème de la puissance cinétique . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 5 5 3 Caractère galiléen approché de quelques rante 3.1 Référentiel de Copernic . . . . . . . . . . 3.2 Référentiel héliocentrique ou de Kepler . . 3.3 Référentiel géocentrique . . . . . . . . . . 3.4 Référentiel terrestre - Poids . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . référentiels d’utilisation cou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 6 Un aspect du problème du changement de référentiel est de pouvoir étudier un mouvement dans un référentiel non galiléen : l’étude du mouvement d’un point dans un référentiel galiléen repose sur la relation fondamentale de la dynamique, mais qu’en est-il dans un référentiel non galiléen ? Nous allons répondre à cette question en utilisant les lois de composition des mouvements que nous avons étudiées dans le chapitre précédent. « Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l’intérieur d’un grand bateau et prenez avec vous des mouches, des papillons, et d’autres petits animaux volants. Prenez une grande cuve d’eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un grand récipient en dessous d’elle. Avec le bateau à l’arrêt, observez soigneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n’avez pas besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu’il n’y ait aucun doute que lorsque le bateau est à l’arrêt, les choses doivent se passer ainsi), faites avancer le bateau à l’allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme [c’est-à-dire constante] et ne fluctue pas de part et d’autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d’eux ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l’arrêt. . . » Galilée – Dialogue concernant les deux plus grands systèmes du monde (1632) 1 1.1 Principe de relativité galiléenne Référentiels galiléens Rappel : un référentiel est galiléen si, dans ce référentiel, un point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme → − − Soit M un point matériel isolé (ou pseudo-isolé) dans R galiléen : → a (M )R = 0 Soit R0 un autre référentiel ; la composition des accélérations donne → − − − − a M/R = → a M/R0 + → ae+→ ac → − − R0 est galiléen si → a M/R0 = 0 c’est-à-dire si → − → − − ae =→ ac = 0 → − − − (→ ae+→ a c = 0 ne pouvant être qu’exceptionnel) → − → − − → − → − − a c = 0 ⇒ ω = 0 et → ae =→ a O0 /R = 0 R0 est donc en translation rectiligne uniforme par rapport à R. L’ensemble des référentiels galiléens est constitué par tous les référentiels en translation rectiligne uniforme par rapport à l’un d’entre eux Remarque : Si un référentiel galiléen est connu, tous les autres s’en déduisent par translations rectilignes uniformes. 1.2 Relativité galiléenne Soit R0 , de repère (O’x’y’z’), en translation rectiligne uniforme par rapport à R galiléen 2 De même que pour le temps, la mécanique newtonienne postule également (implicitement) l’invariance de la masse et de la force → −0 → − t0 = t m0 = m F =F Soit un point matériel M, de masse m est soumis dans le référentiel R a une résultante → − − → − − des forces extérieures F En notant → u =→ v O0 /R = cte la vitesse de R0 par rapport R, la composition des vitesses donne → − − − v M/R0 = → v M/R − → v O0 /R − Soit → p 0 la quantité de mouvement dans R0 → − − − − p 0 = m0 → v M/R0 = m(→ v M/R − → v O0 /R ) R étant galiléen et R0 en translation uniforme par rapport à R, → → → → d− v O0 /R → − → − d− p0 d− p d− p0 → − = + 0 = −m = F = F0 0 dt /R0 dt /R dt /R dt /R Le PFD a donc meme formulation dans tous les référentiels galiléens ; plus généralement : Dans des référentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, appelés référentiels galiléens, les lois de la mécanique sont invariantes. Les forces issues des interactions fondamentales sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens. Remarques : 1. La conséquence de ce principe est qu’il n’est pas possible de mettre en évidence le mouvement d’un référentiel galiléen par rapport à un autre à partir d’une expérience de mécanique. Par conséquent il est illusoire de chercher un référentiel galiléen "absolu" qui se distinguerait des autres. 2. Einstein a étendu ce principe à l’ensemble des lois de la physique dans sa théorie de la relativité restreinte. Les conséquences en sont que, la vitesse de la lumière (qui découle des équations de Maxwell, programme de deuxième année) étant alors la même par rapport à tous les référentiels galiléens, la loi de composition des vitesses et le principe d’universalité des temps sont remis en cause. 2 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen → − Soient R0 en mouvement quelconque par rapport R galiléen et F la résultante des forces s’exerçant sur un point matériel M de masse m. 2.1 2.1.1 PFD Forces d’inertie Dans R galiléen → − − m→ a M/R = F En utilisant la composition des accélérations → − − − − m(→ a M/R0 + → ae+→ a c) = F ou encore → − − − − m→ a M/R0 = F − m→ a e − m→ ac 3 Dans R0 non galiléen, on peut appliquer le PFD en introduisant des pseudo-forces ou forces d’inertie, homogènes à des forces vraies : → − − F ie = −m→ ae → − − F ic = −m→ ac Ces forces n’étant pas liées la présence d’un autre corps interagissant avec le système, mais seulement au caractère non galiléen du référentiel, elles sont appelées pseudo-forces. On peut donc énoncer le P.F.D dans un référentiel non galiléen : Dans un référentiel non galiléen R0 , pour un point matériel M de masse m, on a → − → − → − − m→ a M/R0 = F + F ie + F ic avec 2.1.2 → − F = résultante des forces vraies → − − F ie = −m→ a e (M ) − → − → − F ic = −2m Ω R0 /R ∧ → v M/R0 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe - Si R0 est en translation par rapport à R, → − − ae =→ a O0 /R donc → − ac =0 → − − − F ie = −m→ a e = −m→ a O0 /R → − − F ic = −m→ ac =0 → − F ie est par exemple la force qui semble nous plaquer contre le siège d’une voiture qui accélère, dans le référentiel lié à la voiture. - Si R0 est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R, en coordonnées cylindro-polaires, → − → − − a c = 2 Ω ∧ ṙ→ er → − − a e = −rΩ2 → er donc → − − − F ic = −m→ a c = −2mΩṙ→ eθ → − − − F ie = −m→ a e = +mrΩ2 → er → − F ie est par exemple la force centrifuge qui tend à nous expulser d’un manège. La force → − F ic doit être compensée si le point M doit aller en ligne droite vers l’axe de rotation dans R0 . 4 2.2 Théorème du moment cinétique → − Soit O0 un point fixe de R0 en mouvement quelconque par rapport à R galiléen et F la résultante des forces s’exerçant sur un point matériel M de masse m. Dérivons le moment cinétique en O0 du point M dans R0 −−−→ → − − L O0 (M/R0 ) = O0 M ∧ m→ v M/R0 ! → − d L O0 (M/R0 ) dt −−−→ − − − =→ v M/R0 ∧ m→ v M/R0 + O0 M ∧ m→ a M/R0 R0 Le PFD dans R0 donne ! → − d L O0 (M/R0 ) dt −−−→ → − → − → − = O0 M ∧ ( F + F ie + F ic ) R0 Dans R0 non galiléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique en tenant compte des moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis. 2.3 Théorème de la puissance cinétique → − Soit R0 en mouvement quelconque par rapport R galiléen et F la résultante des forces s’exerçant sur un point matériel M − Multiplions scalairement par → v M/R0 le PFD dans R0 → d− v M/R0 → − → − → − − − m .→ v M/R0 = ( F + F ie + F ic ).→ v M R0 dt 0 R on obtient dEc (M )R0 dt → − − → − − → − − = F .→ v M/R0 + F ie .→ v M/R0 + F ic .→ v M/R0 R0 → − → − − − comme F ic = −m→ a c = −2m Ω ∧ → v M/R0 → − → → − F ic .− v M/R0 = 0 Dans R0 non galiléen, on peut appliquer le théorème de la puissance cinétique en rajoutant seulement la puissance de la force d’inertie d’entraînement, la puissance de la force d’inertie de Coriolis étant toujours nulle. 3 3.1 Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’utilisation courante Référentiel de Copernic Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du système solaire (presque confondu avec le centre du Soleil) et ses axes sont dirigés vers trois étoiles suffisamment éloignées pour pouvoir être considérées comme fixes Il est galiléen avec une excellente approximation. 5 3.2 Référentiel héliocentrique ou de Kepler Idem avec comme origine le centre du Soleil Il est galiléen avec une excellente approximation 3.3 Référentiel géocentrique Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et ses axes gardent une direction fixe par rapport à ceux du référentiel de Copernic ; le référentiel géocentrique est donc en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic Rgeo a un mouvement de translation par rapport à RK , la force de Coriolis est donc nulle. → − Soient O le centre d’inertie de la Terre, MT sa masse et G Astres (O) le champ gravitationnel créé par les autres astres en O (le fait que la résultante des forces gravitationnelles s’exerçant sur la Terre se résume à la force exercée sur un point matériel de masse MT coïncidant avec O suppose que l’on considère la Terre à symétrie sphérique) ; En appliquant le PFD à la Terre dans le référentiel de Kepler (ou de Copernic) considéré comme galiléen, on obtient : → − − MT → a O/RK = MT G Astres (O) par conséquent, on en déduit l’accélération d’entraînement dans le référentiel géocentrique : → − → − − ae =→ a O/RK = G Astres (O) La relation fondamentale de la dynamique s’exprime alors de la façon suivante, pour un → − point M de masse m soumis à des forces telles que f soit la résultante de toutes les forces extérieures appliquées à M autres que les forces d’interactions gravitationnelles : → − → − → − → − − m→ a M/Rgeo = f + m G T (M ) + m G A (M ) − m G A (O) → − → − Le terme m G A (M ) − m G A (O) est appelé terme de marée et, pour des points M proche de la surface terrestre, il peut, la plupart du temps être négligé. L’expression "usuelle" de la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel géocentrique est donc, moyennant cette dernière approximation : → − → − − m→ a M/Rgeo = f + m G T (M ) Le terme de marée le plus important est celui dû à la Lune et il est de l’ordre de 10−6 Newton. Il est donc en général négligeable. 3.4 Référentiel terrestre - Poids Le référentiel terrestre a pour origine un point A à la surface de la Terre et ses axes Ax suivant un méridien dans la direction Nord-Sud Ay suivant un parallèle dans la direction Ouest-Est 6 Az suivant la verticale ascendante du lieu tournent autour de l’axe pôle Sud-pôle Nord. On supposera → − − → Ω Rterrestre /Rgeo = cte ce qui revient considérer que le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour d’un axe fixe du référentiel géocentrique ; le référentiel terrestre n’est donc pas galiléen. Appliquons le PFD dans le référentiel terrestre à un point matériel M de masse m soumis → − en plus de l’attraction terrestre et des autes astres à une résultante des forces f −−−−−→ −−−−−→ → − → − → − − m→ a RT (M ) = mGT (M ) + mGA (M ) + f + F ie + F ic −−−−−→ −−−−−→ → − → − −−→ → − − − m→ a RT (M ) = mGT (M ) + mGA (M ) + f − m G A (O) + mΩ2 HM − 2m Ω ∧ → v M/RT −−−−−→ −−−−−→ → − −−→ → − → − − − v M/RT m→ a RT (M ) = f + mGT (M ) + mΩ2 HM + mGA (M ) − m G A (O) − 2m Ω ∧ → (où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation, donc sur l’axe des pôles.) Définition : On définit expérimentalement le poids d’un point matériel (ou force de pesanteur terrestre) par la force opposée à celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel terrestre RT . Soit un fil plomb, le poids est défini comme la force opposée à la tension du fil à l’équilibre (relatif dans le référentiel terrestre). Si l’on néglige le terme de marée, la force d’inertie de Coriolis étant nulle puisque le système est à l’équilibre, −−−−−→ → − −−→ → − → − → − 0 = T + mGT (M ) + mΩ2 HM = T + P Le poids prend donc en compte une partie du caractère non galiléen du référentiel terrestre −−−−−→ → − −−→ P = mGT (M ) + mΩ2 HM Remarque : parler du « poids » d’un corps dans le référentiel géocentrique ou bien le rérérentiel de Copernic n’a donc aucun sens puisque le « poids » est défini dans le référentiel terrestre seulement. −−−−−→ −−→ − g (M ) = GT (M ) + Ω2 HM et la verticale d’un Le champ de pesanteur terrestre est alors → lieu est la direction de g en ce lieu. En tenant compte du poids, le PFD dans le référentiel terrestre s’écrit → − → − → − − − m→ a (M ) = f + P − 2m Ω ∧ → v M/RT 7 Lorsque l’on considére que le référentiel terrestre rst galiléen, on néglige la force d’inertie de Coriolis mais on prend quand même en compte la force d’inertie d’entraînement par l’intermédiaire du poids. Les effets de la force de Coriolis sont mis en évidence dans des cas particuliers : - M a une masse importante ; - M a une vitesse importante dans RT ; - on étudie le phénomène sur une longue durée / sur une trajectoire importante. - ou bien on effectue une mesure qui demande une grande précision. 8
