02 - Statique et dyn..

Cours n°2 : Statique et dynamique
1) Notion de référentiel galiléen
En mécanique classique, il est impératif de se placer dans un référentiel galiléen de manière à
appliquer les lois de Newton.
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un système isolé (sur lequel ne s’exerce aucune
force) ou un système pseudo isolé (système sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit
immobile soit en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à ce référentiel.
Autrement dit, un référentiel est galiléen lorsque le principe d’inertie est vérifié.
Conséquence : En mécanique newtonienne, tous les référentiels galiléens sont équivalents et vont
donc à vitesse constante, en translation rectiligne les uns par rapport aux autres.
Ainsi, si je lâche un objet sans vitesse initiale par rapport au sol, il tombe verticalement à mes pieds.
De même, si je lâche ce même objet sans vitesse initiale sur un tapis roulant à vitesse constante, il
tombe encore verticalement à mes pieds, et non pas derrière moi.
Référentiels usuels pour les observations courantes
Les référentiels suivants peuvent être considérés comme galiléens avec une précision de plus en plus
forte.
Référentiel terrestre
Le référentiel terrestre est le référentiel le plus utilisé : il est centré en un point de la terre et ses axes
sont liés à la rotation terrestre : un homme « immobile » est donc fixe dans le référentiel terrestre.
Par exemple, le référentiel terrestre peut se définir sur un terrain de football, comme un référentiel
centré au point de corner, dont les axes sont la ligne de but, la ligne de touche et le poteau de
corner.
Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen dans les expériences usuelles. Il faut une
chute libre commençant à une hauteur considérable pour mettre en évidence la déviation vers l’est
dans l’hémisphère nord due à la rotation de la terre.
On peut utiliser le référentiel terrestre dans une première approximation lorsque la durée de
l’expérience est négligeable devant la période de rotation de la terre, ou lorsqu’il est évident que
l’effet de cette rotation est négligeable devant d’autres erreurs.
Référentiel géocentrique
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de gravité terrestre, et ses axes sont définis par
rapport à trois étoiles fixes. Deux de ces étoiles sont l’Etoile Polaire et Béta du Centaure.
Ainsi il n’est pas solidaire de la terre dans son mouvement de rotation autour des pôles, et ce
référentiel peut être considéré comme galiléen pour des expériences terrestres « peu longues »
(dont la durée est brève devant une journée), car la rotation de la terre n’est alors pas prise en
compte. Ces expériences ne doivent pas non plus faire intervenir des vitesses trop importantes.
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 1
Référentiel de Kepler
Le référentiel de Kepler (ou référentiel héliocentrique) a pour point fixe le centre du Soleil. Les
expériences prouvent que l’on peut le considérer comme galiléen avec une très bonne précision.
Référentiel de Copernic
Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de gravité du système solaire, qui n’est pas
exactement le centre du soleil, et ses axes sont définis par rapport à des étoiles.
Il est utilisé en tant que référentiel galiléen lorsque l’on considère des expériences terrestres
« longues » où la rotation de la terre autour du soleil ne peut être négligée.
2) Forces
Une force est une grandeur vectorielle définie par sa direction, son sens, son point d’application et sa
norme (valeur ou intensité).
Il existe différentes actions (ou forces) auxquelles peut être soumis un système mécanique.
Nous allons rappeler les expressions de quelques forces courantes.
2.1) Poids
𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑′ 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑′ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 𝐺
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒
𝑃⃗ = 𝑚𝑔 {
𝑠𝑒𝑛𝑠 = 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑒 = 𝑚𝑔
G
𝑔
𝑃⃗
Avec 𝑚 = 𝜌𝑉, 𝜌 masse volumique de l’objet et 𝑉 son volume
2.2) Actions d’un fluide sur un solide
2.2.1) Poussée d’Archimède
Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une poussée verticale de bas en haut
égale au poids du volume du fluide déplacé.
⃗Π
⃗ = 𝑚𝑓𝑑 𝑔 𝑢
⃗𝑧
𝑢
⃗𝑧
⃗Π
⃗
⃗⃗ : poussée d’Archimède
Π
G
𝑚𝑓𝑑 : masse de fluide déplacé
fluide
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 2
2.2.2) La force de frottement fluide
Cas des faibles vitesses
f
𝑓 = −𝑘 𝑣𝐺
G
𝑓 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
{𝑣𝐺 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒
𝑣𝐺
fluide
Dans le cas d’un solide sphérique de rayon 𝑟, la force de frottement fluide est donnée par :
𝑓 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣𝐺
(loi de Stokes)
{
𝜂 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑡é 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒
𝑣𝐺 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑′ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒
2.3) Action exercée par un ressort
𝑢
⃗𝑥
𝑙0
𝑂
𝑥
𝑥
𝐹
𝑙
𝑥 = 𝑙 − 𝑙0
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙0 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 à 𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡
𝐹 = −𝑘 𝑥 𝑢
⃗𝑥
𝐹 = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡
𝑥 = 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑒𝑛 𝑚
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑒𝑛 𝑁/𝑚
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 3
2.4) Réaction sur un support plan
2.4.1) Plan horizontal
𝑅⃗
𝑢
⃗𝑧
𝑃⃗
𝑅⃗ = 𝑅𝑁 𝑢
⃗𝑧
𝑅é𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 {𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒
𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑒 ℎ𝑎𝑢𝑡 → 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑢 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡
On a :
𝑅⃗ = −𝑃⃗
2.4.2) Plan incliné
𝑅⃗
𝑅⃗𝑁
𝑗
𝑖
𝛼
𝑃⃗
𝑓 = 𝑅⃗𝑇
𝑅⃗ = 𝑅⃗𝑇 + 𝑅⃗𝑁 = 𝑓 + 𝑅⃗𝑁
2 composantes : réaction normale 𝑅⃗𝑁 = réaction du support
réaction tangentielle 𝑅⃗𝑇 = force de frottement 𝑓
Norme 𝑅 calculée le plus souvent avec la 2nde loi de Newton
2.5) Forces de frottement
Il existe deux types de forces de frottement : les frottements résistants qui s’opposent au
mouvement, et donc à la vitesse et les frottements moteurs sans lesquels il serait impossible de
démarrer une voiture par exemple
quand une voiture démarre en côte, chaque roue avant
exerce sur la route une force de frottement motrice. Sur route verglacée, le moteur entraîne les
roues avant sans pour autant faire avancer la voiture, car les forces de frottement motrices sont
nulles.
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 4
3) Lois de Newton
Les lois de Newton constituent les principes de base de la mécanique classique qui est aussi la
mécanique de tous les jours.
Ces lois ne sont plus valables pour les grandes vitesses comme la vitesse de la lumière (mécanique
relativiste), et pour les tailles très petites comme à l’intérieur de l’atome (mécanique quantique).
Les trois lois de Newton ne s’appliquent que dans un référentiel galiléen.
3.1) Première loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d’inertie est constant si et seulement si la
somme vectorielle des forces qui s’exercent sur le système est égal au vecteur nul.
⃗
∑ 𝑓𝑒𝑥𝑡 (𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = 0
⇒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐺 = 𝑐𝑡𝑒
𝑜𝑢
⃗
𝑣𝐺 = 0
Donc le centre d’inertie d’un solide isolé ou pseudo isolé est tel que :
-s’il est au repos, il reste au repos
-s’il est en mouvement, il reste en mouvement suivant un MRU.
Donc
⃗
∑ 𝑓𝑒𝑥𝑡 = 0
⇒
𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑙é
𝑜𝑢
{
}
𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑖𝑠𝑜𝑙é
⇒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐺 = 𝑐𝑡𝑒
𝑜𝑢
⃗
𝑣𝐺 = 0
3.2) Deuxième loi de Newton ou Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD)
Dans un référentiel galiléen, l’accélération du centre d’inertie, subie par un corps de masse 𝑚
constante, est proportionnelle à la résultante des forces qu’il subit, et inversement proportionnelle à
sa masse 𝑚.
∑ 𝑓𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 𝑎
Méthode pour une bonne application de la RFD :
-
Définir le système étudié (masse,…)
Choisir un référentiel galiléen et associer un repère à ce référentiel
Faire le bilan des forces extérieures qui agissent sur le système : le bilan des forces consiste à
donner les caractéristiques de chaque force (sens, direction, norme, point d’application)
Ecrire la RFD
Projeter les deux membres de la RFD sur les axes du repère de projection choisi
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 5
3.3) Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques (loi d’action et de réaction)
Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d’intensité égale, de même direction
mais de sens opposé, exercée par le corps B.
Autrement dit :
𝐹𝐴/𝐵 = −𝐹𝐵/𝐴
Exemples :
⃗
𝐹𝐴/𝐵 + 𝐹𝐵/𝐴 = 0
𝑜𝑢
- interaction gravitationnelle Terre/Lune
- lorsqu’on pose un objet de masse 𝑚 sur la table, l’objet agit sur la table par son
poids 𝑃⃗ = 𝑚 𝑔. La troisième loi de Newton nous apprend que la table opposera une force de
réaction 𝑅⃗ = −𝑃⃗ de sorte que la somme des forces d’interaction entre l’objet et la table soit nulle.
3.4) Exemple d’application
Exercice
Soit un TGV de masse 485 t lancé à 300 km/h sur une voie rectiligne et horizontale. Pour effectuer un
freinage d’urgence sans à coups et obtenir l’arrêt en 500 m, il faut exercer une force résistante
pendant environ 84 s.
1.a. En supposant l’ensemble des forces constantes au cours du freinage, quelle est la nature
du mouvement du TGV dans ces conditions ?
1.b. Calculer l’accélération du mouvement.
2. Sachant qu’au cours du freinage, la valeur de la force résistante aérodynamique est 𝐹𝑟 =
7000 𝑑𝑎𝑁 , calculer la force de résistance 𝐹0 nécessaire à l’arrêt du TGV
Résolution
1
1a & b – MRUV car freinage sans à coups ⇒ 𝑥(𝑡) = 2 𝑎𝑥 𝑡 2 + 𝑣0𝑥 𝑡 + 𝑥0
300
= 83,3 𝑚 ∙ 𝑠 −1
3,6
𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑥(84) = 500
2[𝑥(𝑡) − 𝑣0𝑥 𝑡 − 𝑥0 ]
⇒ 𝑎𝑥 (𝑡) =
𝑡2
2[𝑥(84) − 83,3 × 84]
⇒ 𝑎𝑥 (84) =
842
⇒ 𝑎𝑥 (84) = 𝑎𝑥 = −1,84 𝑚 ∙ 𝑠 −2
𝑣0𝑥 =
2 – système étudié : train lors de la phase de freinage de masse 485 t. Référentiel : référentiel
terrestre supposé galiléen.
𝑦
𝑅⃗
𝑓
𝑗
𝑖
𝑥
𝑃⃗
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 6
Bilan des forces
Réaction des rails : 𝑅⃗ = 𝑅̅ 𝑗
Poids du train : 𝑃⃗ = −𝑚𝑔 𝑗 = 𝑃̅ 𝑗
Force de freinage totale du train : 𝑓 = ⃗⃗⃗
𝐹𝑟 + ⃗⃗⃗⃗
𝐹0
⃗⃗⃗
avec
𝐹𝑟 = 𝐹̅𝑟 𝑖 = −𝐹𝑟 𝑖
et
⃗⃗⃗⃗
𝐹0 = ̅̅̅
𝐹0 𝑖
Ecrivons la 2nde loi de Newton :
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 𝑎
⇒
𝑃⃗ + 𝑅⃗ + 𝑓 = 𝑚 𝑎
⇒ 𝑃⃗ + 𝑅⃗ + ⃗⃗⃗
𝐹𝑟 + ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 = 𝑚 𝑎
Par projection sur les axes de coordonnées, on a :
𝑠𝑢𝑟 𝑂𝑥 ⟶ 𝑃𝑥 + 𝑅𝑥 + 𝐹𝑟𝑥 + 𝐹0𝑥 = 𝑚 𝑎𝑥
{𝑠𝑢𝑟 𝑂 ⟶ 𝑃 + 𝑅 + 𝐹 + 𝐹 = 𝑚 𝑎 = 0
𝑦
𝑦
𝑦
𝑟𝑦
0𝑦
𝑦
Car le mouvement se fait le long de l’axe 𝑂𝑥
̅̅̅0 = 𝑚 𝑎𝑥
−𝐹 + 𝐹
{ 𝑟
𝑃̅ + 𝑅̅ = 0
̅̅̅
𝐹0 = 𝐹𝑟 + 𝑚 𝑎𝑥 = 485 ∙ 103 × (−1,84) + 70000
{
𝑅̅ = −𝑃̅
̅̅̅
𝐹 = −822,4 𝑘𝑁 ≈ −822 𝑘𝑁
{ ̅0
𝑅 = −𝑃̅ = 𝑚𝑔
4) Forces d’inertie
En appliquant la RFD, on a l’habitude, en faisant le bilan des forces, de compter des forces réelles,
c’est-à-dire les forces causées par les interactions entre objets qui matériellement existent en tant
que telles. Par exemple entre deux charges électriques, entre deux masses, etc…
Ce décompte des forces est correct tant que l’on mesure les forces, et donc les accélérations, dans
un repère ou référentiel 𝑅0 dit galiléen.
C’est-à-dire dans un référentiel fixe ou se déduisant d’un référentiel fixe par une translation
uniforme (accélération nulle).
Lorsque le référentiel dans lequel on repère le mouvement subit une accélération, il n’est plus
galiléen.
L’accélération, et donc la force, mesurée dans un tel référentiel n’est plus la même que celle
mesurée dans un référentiel galiléen.
Dans un référentiel non galiléen 𝑅 , subissant une accélération 𝑎0 , l’accélération 𝑎𝑟 que l’on dit
relative, mesurée dans 𝑅 n’est pas 𝑎, celle mesurée dans 𝑅0 mais sera telle que :
𝑎𝑟 = 𝑎 − 𝑎0
Dr A. Sicard
⇒
𝑚 𝑎𝑟 = 𝑚 𝑎 − 𝑚 𝑎0
⇒
CapeSup Grenoble
𝐹𝑟 = 𝐹 + 𝐹𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒
Page 7
La force 𝐹𝑟 mesurée dans le référentiel non galiléen 𝑅 s’obtient en ajoutant à la résultante des forces
réelles dans 𝑅0 une force supplémentaire fictive :
𝐹𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 = −𝑚 𝑎0
4.1) Référentiel en translation rectiligne varié
Exemple :
Soit un corps de masse m dans une voiture. Tant que la voiture est à l’arrêt ou en mouvement
rectiligne, le mouvement reste galiléen.
Si elle démarre avec une accélération 𝑎1 , le référentiel n’est alors plus galiléen : il apparaît alors une
force d’inertie −𝑚 𝑎1, opposée au vecteur accélération.
Cette force va projeter le corps de masse m vers l’arrière pendant la phase démarrage.
De même, si la voiture ralentit brusquement avec une accélération 𝑎2 , le corps de masse m sera
projeté vers l’avant avec la force d’inertie −𝑚 𝑎2
Ainsi, une personne de masse m dans un ascenseur en mouvement n’est pas un observateur galiléen.
4.2) Référentiel en rotation uniforme
Exemple :
Lorsque votre voiture tourne à vitesse constante 𝑣, vous sentez votre corps comprimé vers
l’extérieur du virage sur la vitre latérale de votre voiture.
Cette force qui tend à pousser votre corps radialement vers l’extérieur s’appelle la force centrifuge.
On a : 𝐹𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑒 = −𝑚 𝑎𝑛 = −𝑚
𝑣2
𝑛⃗
𝑅
𝑡
𝐹𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑒
𝑛⃗
𝑅
En réalité, la seule force qui agit est la force centripète qui pousse la voiture vers l’intérieur de la
trajectoire.
La force centrifuge provient de l’inertie de votre corps face à la force centripète.
Pas de réelle force centrifuge mais une réaction d’inertie à la force centripète.
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 8
4.3) Force de Coriolis
Supposons que vous êtes sur un manège à mi-rayon et on vous lance une balle droit devant vous.
Vous avez l’impression qu’une force la fait brutalement dévier de sa trajectoire dans le sens opposé à
la rotation du manège.
Pour un observateur extérieur, la balle va tout droit et c’est vous qui continuez à tourner.
Cette force de Coriolis est une force d’inertie qui n’existe que parce que l’observateur se trouve dans
un référentiel en rotation (non galiléen) alors qu’aucune force n’existe pour un observateur dans un
référentiel galiléen.
La force de Coriolis nous dit que tout système en mouvement dans l’hémisphère nord est dévié vers
l’est du fait de la rotation de la terre.
Dr A. Sicard
CapeSup Grenoble
Page 9