Université du Littoral Côte d’Opale Math 2 L1 MSPI Année 2016-2017 Fiche n◦ 1 bis. Récurrence. 1. Principe de récurrence simple Exercice 1. On considère la suite (un ) définie par : ( u0 = 2 ∀n ∈ N, un+1 = √ un Montrer que la suite (un ) est minorée par 1. Exercice 2. Soient a et q deux nombres réels tels que q 6∈ {0, 1}. On définit la suite (un ) par : u0 = a ∀n ∈ N, un+1 = q · un Montrer par récurrence que pour tout entier n, on a : (1) un = u0 · q n ; Pn q n+1 −1 (2) k=0 uk = u0 · q−1 . Exercice 3. Démontrer par récurrence que : Pn (1) pour tout entier n ≥ 0, on a : k=0 k 2 = (2) pour tout entier n ≥ 10, on a : 2n ≥ n3 ; (3) pour tout entier n ≥ 1, on a : 1 1×2×3 + 1 6 · n(n + 1)(2n + 1) ; 1 2×3×4 + ··· + 1 n×(n+1)×(n+2) = n(n+1) 4(n+1)(n+2) . Exercice 4. On considère l’ensemble P = {n ∈ N|9 divise 10n+1 }. (1) Montrer que si n ∈ P, alors n + 1 ∈ P. (2) A-t-on P = N ? Exercice 5. Soit f : R → R la fonction définie pour tout x ∈ R par : f (x) = xex . (1) Préciser sur quel intervalle la fonction f est dérivable et calculer sa dérivée. (2) Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ R, on a f (n) (x) = (x + n)ex , où f (n) désigne la dérivée d’ordre n de f . Exercice 6. Pour tout n ≥ 1, on désigne par S1 (n), S2 (n), S3 (n) les sommes suivantes : S1 (n) = 1 + 2 + 3 + · · · + n; S2 (n) = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ; S3 (n) = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 . (1) A l’aide de l’identité remarquable (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1, trouver une relation entre S2 (n) et S1 (n). En déduire la valeur de S2 (n). (2) Montrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1, on a : S3 (n) = (S1 (n))2 . En déduire une expression de S3 (n). Exercice 7. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, le nombre réel Sn = 1 + un entier. 1 1 2 + ··· + 1 n n’est pas 2. Principe de récurrence double Exercice 8. Soit (un ) la suite définie par : u0 = 2 u1 = 3 ∀n ∈ N, u n+1 = 3un+1 − 2un . Montrer, par récurrence double, que pour tout entier n ≥ 0, on a : un = 1 + 2n . Exercice 9. On considère la suite (un ) définie par : u0 = 4 u1 = 1 u n+2 = 5un+1 + 6un (1) Montrer que pour tout entier n, on a : un = 11 × 2n − 7 × 3n . (2) En déduire u6 . Exercice 10. Soit x ∈ R un nombre tel que x + 1 x ∈ Z. (1) Montrer, par récurrence double, que pour tout entier n, on a xn + (2) Déterminer un réel x non entier tel que x + 1 x 1 xn ∈ Z. ∈ Z. Exercice 11. Soit (fn ) la suite dite de Fibonacci, définie par : f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn+1 . Montrer que pour entier n non nul et pour tout entier m, on a : fn+m = fn−1 fm + fn fm+1 . 3. Principe de récurrence forte Exercice 12. Soit (un ) la suite définie par : u =1 0 ∀n ∈ N, un+1 = n X uk . k=0 (1) Montrer, par récurrence forte, que pour tout n ∈ N, on a : un = 2n−1 . (2) Montrer que pour tout n ∈ N, on a : un ≤ 2n . Exercice 13. Montrer, par récurrence forte, que : ∀n ∈ N∗ , ∃(p, q) ∈ N2 , n = 2p (2q + 1). 2