induction au sein d`un circuit mobile dans un champ magnétique

Le cours
De plus, comme le circuit est parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique, il subit des
actions de Laplace qui tendent à modifier sa vitesse de rotation. Un phénomène de couplage électromécanique
apparait donc au sein du circuit. Enfin, l'origine de l'induction étant la mise en mouvement de la bobine par un
opérateur extérieur, nous pouvons prédire que les actions de Laplace aboutiront à un freinage.
• PƒÙƒÃãك¦›
Le paramétrage consiste à choisir un système
d'axes et à repérer le circuit mobile par rapport à
ces axes. La bobine étant en rotation autour d'un
axe fixe vertical passant par son centre O, nous
choisissons naturellement le repère cartésien (Oxyz)
d’axe (Oz) vertical ascendant. Nous choisissons (Ox)
colinéaire et de même sens que leG champ magnéG
tique uniforme, de façon à avoir : B = B0 e x . Enfin,
nous prenons (Oy) de façon à obtenir un trièdre
direct (figure 21).
G
Introduisons ensuite la normale n à la surface Σ
s’appuyant sur le contour (C) de la bobine, orienté
arbitrairement ; ce vecteur, qui interviendra dans le
calcul du flux magnétique, permet également de
repérer la bobine dans sa rotation autour de l’axe
vertical, en posant :
G G
φ = (e x , n)
La vitesse angulaire initiale est φ (t = 0) = ω0 tandis
que l’angle initial, noté φ0 , n'est pas précisé.
• ÉØçƒã®ÊÄ ½›‘ãÙ®Øç› —ç ‘®Ù‘ç®ã
Plaçons-nous à un instant t quelconque où la
bobine fait un angle φ(t) avec l'axe (Ox) et calculons
le flux magnétique traversant le cadre :
G
G
G G
Φ (t ) = N × Φ à travers (t ) = N × B0 e x ⋅ S n = NB0 S cos (e x , n )
soit :
une spire
Φ (t ) = NB0 S cos (φ (t ))
D'après la loi de Faraday, la f.é.m. induite e(t) dans le circuit à cet instant vaut :
e (t ) = −
dΦ
d
= − (NB0 S cos (φ))
dt
dt
soit :
e (t ) = NB0 S sin (φ)× φ
Comme prévu, ce flux et cette f.é.m. varient alternativement, en supposant bien entendu que la bobine
effectue plusieurs tours avant de s'arrêter.
Schématisons maintenant le circuit électrique équivalent : il comporte la f.é.m. e, la résistance r de la bobine et
celle R du résistor fermant le circuit (figure 22). Nous n'ajoutons pas d’inductance au modèle car l'autoinduction a été négligée et comme toujours, nous orientons i et e dans le même sens. L’équation électrique du
circuit est obtenue en appliquant la loi des mailles :
(R + r ) i (t ) = e (t )
1150 ∙ Magnétisme et Induction
soit :
(R + r ) i (t ) = NB0 S sin(φ (t ))× φ (t )
28
• ÉØçƒã®ÊÄ Ã‘ƒÄ®Øç› —ç ‘®Ù‘ç®ã.
Compte tenu du mouvement de rotation, l'équation mécanique s'obtient en appliquant à la bobine le théorème du moment cinétique par rapport l'axe (Oz), ce qui nécessite le calcul du moment résultant des actions
subies. En revanche, le barycentre de la bobine étant immobile (confondu avec O), le théorème du centre
d'inertie n'est d'aucune utilité.
Il faut commencer par effectuer un bilan des
actions subies par la bobine, qui comprend :
• Le poids, qui est un glisseur
et équivaut à une
G
G
unique force verticale P = mg appliquée au barycentre G, confondu avec O. Son moment par
rapport à (Oz) est nul.
• Les actions de la liaison pivot qui permet le
mouvement de rotation. En supposant cette
liaison parfaite, le moment projeté sur (Oz) de ces
actions est nul.
• Les actions de Laplace dont nous savons, d’après
le § 2.2 du chapitre 26, qu'elles constituent ici un
couple de moment résultant (par rapport à tout
point) :
GL
G G
M = M ∧ B0
G
où M représente le moment magnétique de la
bobine (figure 23) et a pour expression :
G
G
M = Ni S n
Ainsi :
⇒
Soit :
G G
G G
G
M(LOz ) = M L ⋅ u z = ( M ∧ B0 ) ⋅ u z
G G
M(LOz ) = M B0 sin(n, B0 ) = − M B0 sin φ
M(LOz ) = −N i (t ) S B0 sin φ (t )
En notant J le moment d’inertie de la bobine par rapport à (Oz), le théorème du moment cinétique par rapport
à cet axe conduit finalement à l'équation du mouvement suivante :
= M(Poids
Jφ
+ M(Liaison
+ M(LOz )
Oz )
Oz )
N
0
⇒
(t ) = −NSB0 i (t ) sin φ (t )
Jφ
0
Le courant i n'étant pas constant, ni même de signe fixe, cette équation ne peut plus être analysée
comme au § 2.2 du chapitre 26 où le sens de i était imposé par un générateur extérieur ; en particulier,
l'équilibre de la bobine ne correspond plus nécessairement à φ = 0 ou φ = π.
• RÝʽçã®ÊÄ —ç ÝùÝãœÃ› ‘ÊçÖ½.
Nous aboutissons comme prévu à un système couplé en i(t) et φ(t) :
⎧
⎪ (R + r ) i = NB0 S sin(φ)× φ
⎪
⎨
⎪
= −NSB0 i sin φ
Jφ
⎪
⎪
⎩
⎡⎢équation 1⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2⎤⎥
⎣
⎦
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1151
Le cours
Appliquons la démarche de découplage proposée au paragraphe 2.1 (méthode 58) :
⎡⎢2⎤⎥
⎣ ⎦
⇒
i =−
Jφ
NSB0 sin φ
⇒
+
φ
⎯⎯⎯⎯⎯→
− (R + r )
On injecte dans
l'équation ⎡⎢1⎥⎤
⎣⎦
1 2
sin (φ) φ = 0
τ
avec
Jφ
= NB0 S sin (φ)× φ
NSB0 sin φ
τ=
J (R + r )
2
(NB0 S )
Contrairement à la situation rencontrée avec le rail de Laplace, l'équation différentielle découplée sur φ est ici
non linéaire et ne peut pas être intégrée analytiquement. Le graphe de φ en fonction de la variable adimensionnée t/τ peut néanmoins s'obtenir par résolution numérique (figures 24.a et 24.b) ; il est également possible
d'obtenir numériquement le graphe de i/i0 en fonction de t/τ en introduisant un courant i0 typique du problème, d'expression i0 = (NB0 S ) ((R + r ) τ ) (figures 24.c et 24.d).
Pour résoudre numériquement l’équation différentielle sur φ(t) sans donner une valeur numérique
particulière au temps τ qui apparaît, nous l’avons « adimensionnée » en posant u = t/τ et en remplaçant
les dérivées de φ par rapport à t par des dérivées par rapport à u :
d 2φ 1 2
dφ
+ sin (φ)
=0
τ
dt
dt 2
t = u×τ
⎯⎯⎯⎯⎯
→
d 2φ 1 1 2
dφ 1
× + sin (φ)
× =0
du τ
du2 τ 2 τ
⇒
d 2φ
dφ
+ sin2 (φ)
=0
2
du
du
La fonction φ étant sans dimension, l'équation obtenue ne fait intervenir que des grandeurs sans dimension. Sa résolution numérique fournit le graphe de φ en fonction de t/τ qui est utilisable pour caractériser
le système quelles que soient les valeurs des différents paramètres du problème (N,S,B0 etc...).
1152 ∙ Magnétisme et Induction
28
Pour obtenir le courant, il suffit alors de partir de l'équation [1] exprimée à l'aide de φ(u) :
dφ
(R + r ) i = NB0S sin(φ)× dt
Nous obtenons :
= NB0S sin(φ)×
i
dφ
= sin(φ)
i0
du
dφ 1
×
du τ
avec
i0 =
soit :
i=
NB0S
(R + r ) τ
sin(φ)
dφ
du
NB0 S
(R + r ) τ
Il apparait alors naturellement un courant i0 typique du problème et un « courant adimensionné » i/i0
dont le graphe s'obtient numériquement à partir de la solution φ(u) calculée précédemment. Une fois
encore, l'allure du courant est ainsi déterminée quelles que soient les valeurs des différents paramètres du
problème.
Enfin, en l'absence de résolution numérique, il est tout de même possible de déterminer l'angle φf dont
tourne la bobine avant de s'arrêter, en fonction de φ0 et ω0 ; réécrivons pour cela l'équation différentielle
en fonction de φ et ω = φ , en veillant à ne garder que des dérivées premières par rapport à t, puis
simplifions par dt et séparons les variables φ et ω :
dω 1 2
dφ
+ sin (φ)
=0
dt
τ
dt
⇒
1
dω = − sin2 (φ) dφ
τ
Nous pouvons alors intégrer à variables séparées entre l'instant initial (φ = φ0 ; ω = ω0) et l'instant final
marquant l'arrêt de la bobine (φ = φf ; ω = 0) :
0
∫
ω0
φ
φ
f
f
1
1 1 − cos (2φ)
dω = ∫ − sin2 (φ) dφ = − ∫
dφ
τ
τφ
2
φ
0
⇒ − ω0 = −
0
Ainsi, en supposant pour alléger que φ0 = 0, il vient :
1
2τ
φ
⎡
⎤ f
⎢φ − 1 sin(2φ)⎥
⎢
⎥
2
⎣
⎦ φ0
1
φf − sin(2φf ) = −2τω0
2
Il ne reste qu'à résoudre cette équation trigonométrique pour déterminer φf !
•
Aă½ùݛ —›Ý ٝÝç½ãƒãÝ Êã›ÄçÝ.
Ces résultats graphiques sont conformes à notre analyse préliminaire :
• Un courant apparait dès la mise en mouvement de la bobine, dont le sens peut alterner si la bobine tourne
suffisamment ; il est en moyenne d'autant plus important que la vitesse de rotation est élevée, et s'annule
lorsque la bobine s'arrête de tourner.
• Les actions de Laplace associées à ce courant freinent la bobine ( φ ne fait que décroitre) ; celle-ci finit par
s'arrêter à une position angulaire φf dépendant des conditions initiales, de manière clairement non-linéaire.
L'effet de freinage est directement visible sur l'équation différentielle, dont on peut déduire que l'accélé est toujours de signe opposé à la vitesse angulaire φ :
ration angulaire φ
1
= − sin2 (φ) φ
φ
τ ≥ 0 ∀φ
Ces résultats montrent également que le temps caractéristique d'évolution de la bobine est τ =
J (R + r )
2
(NB0 S)
.
En effet, la durée nécessaire à son immobilisation varie selon les conditions initiales mais reste toujours de
l'ordre de quelques τ. Ainsi, d'après l'expression de τ, nous constatons de nouveau que pour obtenir un
freinage rapide, c'est-à-dire des effets induits importants, il faut un champ magnétique intense et un circuit de
grande taille, de faible résistance et de faible inertie (compte tenu de la rotation, c'est ici le paramètre J qui
caractérise l'inertie du circuit mobile).
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1153
Le cours
De même, il n’est pas nécessaire de résoudre numériquement pour affirmer que le temps caractéristique
d’évolution est τ : en effet, à partir du moment où τ est l'unique durée figurant dans l'équation différentielle, l'évolution temporelle décrite par cette équation ne peut se faire qu'avec une durée caractéristique
égale à τ. La signification exacte de cette durée dépend en revanche du problème étudié : pour un
système dissipatif comme celui que nous étudions ici, τ est le temps caractéristique de retour à l’équilibre,
tandis que pour un système non dissipatif oscillant, τ est la période typique des oscillations. La situation
est bien entendu plus complexe si deux durées apparaissent dans l'équation différentielle, l'une pouvant
représenter une période et l'autre un temps d’amortissement.
Comme nous l’avons fait pour le dispositif du rail de Laplace, nous pourrions tout à fait envisager de reprendre
cette bobine dans une configuration « avec générateur » et sans mouvement initial, comme celle envisagée au
§ 1.1 du chapitre 26. Nous obtiendrions alors naturellement des actions de Laplace motrice, et non résistantes,
ainsi qu’une f.é.m. induite en opposition sur celle du générateur.
2.4. Méthode de mise en équation du phénomène
En conclusion de ces exemples d'étude, résumons la méthode à utiliser pour traiter et rédiger un problème
d'induction au sein d'un circuit mobile :
Méthode 59 Identifier et traiter un problème d’induction au sein d’un circuit mobile
Analyser qualitativement la situation et justifier l'existence d'un phénomène d'induction ; en utilisant la
loi de Lenz, déterminer qualitativement le sens de la f.é.m. induite et/ou les caractéristiques du mouvement.
Paramétrer le circuit en distinguant selon son mouvement :
• Si le mouvement est une translation rectiligne, choisir un système d'axes ainsi que des coordonnées
cartésiennes pour repérer le barycentre G du circuit.
• Conjointement, choisir une orientation pour le contour (C) du circuit, de préférence directe par
rapport au système d'axes ; définir la surface Σ s'appuyant sur (C) et orienter sa normale.
• Même travail si le mouvement est une rotation, mais dans ce cas choisir une coordonnée angulaire
pour repérer un vecteur lié au circuit (le vecteur normal par exemple).
Établir l’équation électrique du circuit :
• Calculer le flux magnétique Φ(t) à travers Σ puis appliquer la loi de Faraday pour obtenir la f.é.m.
induite e.
• Représenter un circuit électrique équivalent faisant apparaitre la f.é.m. e et le courant i induits,
orientés dans le même sens que (C), ainsi que tous les dipôles du circuit réel ; ajouter une inductance
si l'auto-induction n'est pas négligeable.
• Appliquer la loi des mailles.
Établir l'équation mécanique du circuit :
• Effectuer le bilan des actions subies par le circuit, sans oublier les actions de Laplace.
• Appliquer le théorème de la mécanique adapté au mouvement : le théorème du centre d'inertie
pour une translation, ou le théorème du moment cinétique pour une rotation.
Résoudre le système d'équations couplées ainsi obtenu, afin de déterminer le mouvement et/ou l'évolution
du courant dans le circuit.
Analyser ces résultats : discuter l’influence des divers paramètres du problème, mettre en évidence les
spécificités de l'induction, confronter à des observations expérimentales, citer des applications...
1154 ∙ Magnétisme et Induction
28
3. Éã痛 Ä›Ù¦ã®Øç› —ç Ö«ÄÊÜě —’®Ä—ç‘ã®ÊÄ : ‘ÊÄò›ÙÝ®ÊÄ —› Öç®Ý݃đ›
3.1. Principe de l'étude
Comme nous l'avons expliqué au chapitre 27, § 4.4, la vision d'un phénomène physique en termes de transferts
d’énergie est fructueuse et permet certains calculs rapides, surtout si ce phénomène met en jeu simultanément
des aspects électriques, magnétiques et mécaniques. Nous allons donc naturellement approfondir l’étude de
l’induction au sein d'un circuit mobile plongé dans un champ stationnaire par une approche énergétique. Dans
ce contexte, les principales énergies mises en jeu sont les suivantes :
• L’énergie électrique circulant au sein du circuit et assurant un transfert énergétique entre les différents
dipôles présents,
• L’énergie interne du circuit qui augmente si sa température s'élève, en particulier du fait de l’effet Joule,
• L’énergie magnétique associée au champ stationnaire dans lequel le circuit est plongé,
• et, nouveauté par rapport au chapitre précédent où le circuit était fixe, l’énergie mécanique du circuit,
constituée de l'énergie cinétique des parties mobiles ainsi que des énergies potentielles associées aux diverses
forces conservatives subies par le circuit (énergie potentielle de pesanteur, énergie potentielle élastique si le
circuit est lié à un ressort, etc...).
L’énergie magnétique est une forme d’énergie dont nous avons découvert l’existence au chapitre 27 et qui
est associée à l’existence même d'un champ magnétique dans l’espace autour du circuit étudié. Comme
nous n’envisagerons quasiment que des situations où l’auto-induction pourra être négligée, c'est-à-dire
où le champ propre du circuit pourra être négligé devant le champ « extérieur » dans lequel le circuit est
plongé, l’énergie magnétique sera exclusivement associée à ce champ stationnaire extérieur.
Par ailleurs, les exemples du § 2 ont montré que les aspects électriques et mécaniques du phénomène d'induction sont fondamentalement couplés ; il en est donc nécessairement de même des formes d'énergie électrique
et mécanique. Tout cela nous conduit à aborder l'étude énergétique en nous posant les questions suivantes :
• Comment s’écrit le bilan d'énergie électrique au sein du circuit ? D’où vient l'énergie électrique circulant
dans ce circuit ? Quel rôle énergétique chaque dipôle joue-t-il ?
• Comment s'écrit le bilan d'énergie mécanique du circuit ? L’énergie mécanique est-elle conservée ?
• Comment ces deux bilans sont-ils reliés ? Quel est le rôle énergétique du champ magnétique extérieur ?
Pour répondre à ces questions, reprenons tout d'abord le dispositif du rail de Laplace étudié au § 2. Nous
effectuerons ensuite une généralisation des résultats obtenus.
3.1. Reprise de l’exemple du rail de Laplace sans générateur
Le circuit d'étude est celui présenté au § 2.1 et schématisé sur les figures 7 et 8. Le circuit électrique équivalent
est celui de la figure 13.a et le bilan des forces a été illustré sur la figure 14. Rappelons qu'avec les notations et
conventions utilisées au § 2.1, les équations couplées régissant ce circuit sont :
⎧
⎪
(R + r ) i (t ) = e (t ) avec e (t ) = −B0 l v (t )
⎪
⎪
⎪
⎨
dv
⎪
m (t ) = FxL (t ) avec FxL (t ) = i (t ) l B0
⎪
⎪
dt
⎪
⎩
pour l'équation électrique
pour l'équation mécanique
FxL désignant la composante sur (Ox) de la résultante des actions de Laplace sur la tige.
Rappelons également que les solutions de ce système s'écrivent :
v (t ) = v 0 e−t τ
et
i (t ) = −
B0l v 0 −t τ
e
R+r
avec : τ =
m (R + r )
2
(B0l )
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1155
Le cours
• B®½ƒÄ —’Ä›Ù¦®› ½›‘ãÙ®Øç›
Pour effectuer un bilan d’énergie électrique, procédons comme nous l’avons fait maintes fois au chapitre 27 :
partons de l’équation électrique obtenue grâce à la loi des mailles dans le circuit équivalent, et multiplions-la
par le courant i de façon à faire apparaitre les puissances instantanées mises en jeu :
(R + r ) i (t ) = e (t )
×i
⎯⎯⎯
→
(R + r ) i 2 (t ) = e (t )×i (t )
Raisonnons pour le moment de manière purement électrocinétique et interprétons chaque terme :
• (R+r)i2, terme positif, est la puissance électrique reçue par les résistances du circuit équivalent ; il rend compte
de la dissipation d’énergie par effet Joule dans l'ensemble du circuit, c’est-à-dire de la conversion irréversible
d’énergie électrique en énergie interne lors du processus de conduction du courant électrique.
• e × i est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite (fléchée en convention
générateur) ; e et i étant tous deux négatifs à tout instant (voyez leurs expressions à la page précédente), elle
est constamment positive, ce qui n'est pas étonnant car, en l'absence de générateur réel dans le circuit, c'est
cette f.é.m. induite qui est responsable de l'apparition du courant : elle transmet donc logiquement de
l'énergie électrique au circuit.
• Enfin, l’égalité des deux termes signifie simplement que, en l’absence de dipôles plus complexes dans le
circuit (condensateur, bobine, générateur réel...), l’énergie électrique fournie par la f.é.m. induite est intégralement convertie en énergie interne par effet Joule.
Il reste toutefois une question importante en suspens : d’où vient l'énergie électrique fournie au circuit par la
f.é.m. induite ? En d'autres termes, quelle forme d'énergie a été convertie en énergie électrique par la f.é.m. ?
Cette f.é.m. n'étant qu'un dipôle modèle introduit pour rendre compte du phénomène d’induction, il ne s’agit
pas d’énergie chimique comme pour un pile électrochimique, ni d’énergie électrique prélevée au réseau EDF
comme pour un GBF utilisé en laboratoire. Pourrait-il s’agir d’énergie magnétique puisée dans le champ
magnétique extérieur qui baigne le circuit ?
Cette interprétation est naturelle car, au chapitre 27, nous nous étions posé la même question et avions
abouti à la conclusion que le phénomène d’induction au sein d'un circuit fixe plongé dans un champ
magnétique variable assure une conversion d’énergie magnétique en énergie électrique : dans une telle
configuration, l’énergie électrique prélevée (ou fournie) au circuit par la f.é.m. induite correspondait à un
stockage (ou à un « déstockage ») d’énergie magnétique lié à une augmentation (ou à une diminution)
du champ magnétique dans l'espace autour du circuit.
À l’évidence, cette interprétation ne peut pas convenir ici car le champ magnétique à l'origine de l'induction est
stationnaire : il reste constant au cours du temps en tout point de l'espace, et l'énergie qui lui est associée est
donc également indépendante du temps. Une conversion d'énergie magnétique en énergie électrique est donc
exclue ! Or, en explicitant la f.é.m., nous constatons que cette puissance dépend de la vitesse de la tige :
e (t )× i (t ) = −B0 l v (t )× i (t )
Y aurait-il un lien entre cette puissance et l'énergie mécanique de la tige ? C’est ce que nous allons approfondir
maintenant en effectuant un bilan d'énergie mécanique.
• B®½ƒÄ —'Ä›Ù¦®› ݑƒÄ®Øç›
Pour effectuer un bilan d’énergie mécanique, deux méthodes équivalentes sont envisageables.
• La première, et la plus efficace dans ce contexte, consiste à multiplier l'équation mécanique par v(t) :
m
dv
(t ) = FxL (t )
dt
×v
⎯⎯⎯
→
1156 ∙ Magnétisme et Induction
⎞
d ⎛⎜ 1
2
L
⎜⎜ mv (t )⎟⎟⎟⎟ = Fx (t )×v (t )
dt ⎝ 2
⎠
soit :
d
(E ) = FxL ×v = P L
dt c
28
P L désigne ici la puissance instantanée des actions de Laplace sur la tige.
• La seconde méthode, qui conduit naturellement au même résultat, consiste à appliquer le théorème de
l’énergie cinétique à la tige. Elle a été détaillée au § 2.1 du chapitre 26 (exercice 1, question 5) où ce dispositif
avait servi de référence pour l'étude des actions de Laplace sur un circuit en translation :
dEc
= P ext = P L + P poids + P contact = P L
dt
G G
1 G
1
avec Ec = mv G2 = mv 2 et P L = F L ⋅ v G = FxL ×v
2
2
Or, nous savons que la vitesse de la tige diminue avec t selon la loi v(t) = v0 exp(-t/τ) ; ce bilan énergétique
s'interprète donc très simplement : l’énergie mécanique de la tige, qui se réduit ici à son énergie cinétique, n’est
pas conservée mais décroit au cours du temps du fait de la puissance résistante des actions de Laplace ; en
d’autres termes, l’opérateur qui lance la tige lui fournit de l’énergie mécanique à l’instant initial, puis les actions
de Laplace la freinent et « dissipent » en quelque sorte cette énergie.
Mais une fois de plus, une question importante reste en suspens : que devient cette énergie mécanique
« dissipée » ? En quelle autre forme d’énergie est-elle convertie ? Comme nous l’avons fait remarquer plus haut,
il ne peut pas s'agir d’une conversion en énergie magnétique car le champ magnétique est stationnaire. S’agit-il
d'une conversion directe en énergie interne, comme le ferait une force de frottement ? L’expression détaillée de
la puissance P L va nous montrer qu’il n'en est rien...
• L®›Ä ›Äãٛ ½›Ý —›çø ®½ƒÄÝ ›ã ÄÊã®ÊÄ —› ‘ÊÄò›ÙÝ®ÊÄ —› Öç®Ý݃𛠝½›‘ãÙÊݑƒÄ®Øç›
En explicitant FxL , nous constatons que la puissance résistante P L des actions de Laplace est à chaque instant
l'exact opposé de la puissance électrique fournie au circuit par la f.é.m. d’induction :
P L (t ) = FxL (t )× v (t ) = i (t ) B0 l ×v (t )
⇒ P L (t ) = −e (t )× i (t )
Cette égalité signifie que l'énergie mécanique
prélevée à la tige est intégralement convertie en
énergie électrique. Ainsi, l’énergie électrique
injectée dans le circuit par la f.é.m. induite, dont
l’origine nous semblait mystérieuse, est tout
simplement l’énergie mécanique mystérieusement
prélevée au circuit par les actions de Laplace. Le
phénomène d’induction que nous étudions ici
réalise donc une conversion de puissance électromécanique et nos deux questions précédentes
trouvent ainsi simultanément leurs réponses !
Bien qu’il n'échange pas d'énergie avec le
circuit, le champ magnétique stationnaire joue
manifestement un rôle central dans ce
processus énergétique : puisqu’il est à l'origine
de la f.é.m. induite comme des actions de
Laplace, nous pouvons dire que c’est lui qui
réalise la conversion de puissance, figure 25.
En outre, ce bilan énergétique montre que
f.é.m. induite et actions de Laplace sont deux
facettes indissociables du magnétisme.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1157
Le cours
• Eø›ÃÖ½› —’ç㮽®Ýƒã®ÊÄ —ç ®½ƒÄ —› Öç®Ý݃𛠗ƒÄÝ çÄ ›ø›Ù‘®‘›
En plus d’affiner la compréhension du phénomène d’induction, l’approche énergétique permet une résolution
performante de certains problèmes. Reprenons l’exemple du rail de Laplace sans générateur, la tige étant
lancée à la vitesse initiale v0 par un opérateur, et imaginons que l’on vous demande d’exprimer l’énergie EJ
dissipée par effet Joule pendant le freinage de la tige.
• Vous pouvez calculer le courant i(t) circulant dans le circuit, en déduire la puissance P = (R+r)i2(t) dissipée par
la résistance à tout instant, puis obtenir EJ par un calcul intégral ; voici ce calcul en détail :
=
2
∫ (R + r ) i (t ) dt
∞
=
0
2
⇒
EJ
=
(B0l v 0 )
2
2
⎛ B l v −t τ ⎞⎟
∫ (R + r ) ⎜⎜⎝⎜⎜− R0+ r0 e ⎠⎟⎟⎟ dt
0
∞
EJ
2
∞
⎡ e−2t τ ⎤
⎥
× ⎢⎢
⎥
R+r
⎣ −2 τ ⎦ 0
=
=
τ (B0 l v 0 )
2 (R + r )
avec
τ=
(B0l v 0 )
R+r
∞
∫e
−2t τ
dt
0
m (R + r )
2
(B0l )
EJ =
d'où :
1
mv 02
2
• Mais vous pouvez aussi affirmer la conversion intégrale de l’énergie mécanique initiale en énergie électrique
via les actions de Laplace et la f.é.m. d’induction. Le circuit étant purement résistif, l’énergie électrique est ellemême intégralement dissipée par effet Joule (c'est-à-dire convertie en énergie interne) et il vient donc in fine :
E J = Ec , initiale =
1
mv 02
2
Vous obtenez ainsi la réponse à la question posée sans aucun calcul !
3.3. Reprise de l’exemple du rail de Laplace avec générateur
Afin de mettre à l'épreuve cette interprétation énergétique du phénomène d'induction, nous allons maintenant
reprendre l'étude du circuit présenté dans l'exercice 2 du § 2.2 et schématisé sur la figure 16. Rappelons que
tous les paramètres du dispositif sont identiques à ceux de la configuration « sans générateur » étudiée au
paragraphe précédent, si ce n'est que le rail est ici alimenté par un générateur de f.é.m. U et que la tige est
initialement immobile. Le circuit électrique équivalent est celui de la figure 18.b et le bilan des forces est
identique à celui de la configuration précédente (figure 14). Avec les notations et conventions utilisées au § 2.2,
les équations couplées régissant ce circuit sont :
⎧
⎪
(R + r ) i (t ) = U + e (t ) avec e (t ) = −B0 l v (t )
⎪
⎪
⎪
⎨
dv
⎪
m (t ) = FxL (t )
avec FxL (t ) = i (t ) l B0
⎪
⎪
dt
⎪
⎩
Leurs solutions s'écrivent : v (t ) =
U
(1− e−t τ ) et
B0l
i (t ) =
U
e −t τ
R+r
pour l’équation électrique
pour l’équation mécanique
avec : τ =
m (R + r )
2
(B0l )
Compte tenu des nombreux points communs entre ce dispositif et le précédent, nous allons aborder son étude
énergétique sous forme d'un exercice.
Exercice 3 Bilan énergétique du rail de Laplace alimenté par un générateur continu
1. En effectuant un bilan d'énergie électrique, décrire les transferts énergétiques mis en jeu au sein du
circuit électrique équivalent. La f.é.m. induite est-elle génératrice dans le circuit ?
2. En effectuant un bilan d'énergie mécanique, décrire les actions motrices et résistantes lors de la mise en
mouvement de la tige. On étudiera en particulier les actions de Laplace.
3. Analyser le lien entre ces deux bilans et vérifier que l’induction réalise une conversion de puissance
électromécanique au sein du circuit. Comparer à la configuration du rail de Laplace « sans générateur ».
1158 ∙ Magnétisme et Induction
28
1. En multipliant par i l'équation électrique rappelée ci-dessus, nous obtenons l’équation traduisant le bilan
instantané de puissance :
(R + r ) i = U + e
×i
⎯⎯⎯
→
(R + r ) i 2 = Ui + ei
ou encore Ui = (R + r ) i 2 − ei
• (R+r) i2 est la puissance, toujours positive, reçue par les résistances du circuit électrique équivalent. Elle
représente la puissance dissipée par effet Joule dans l'ensemble du circuit.
• U i est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par le générateur. Le courant i étant positif à
tout instant, cette puissance est constamment positive, ce qui est logique : c'est ce générateur qui est
responsable du passage du courant dans le circuit et qui transmet donc de l'énergie aux autres dipôles.
• e i est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite (fléchée en convention
générateur) ; contrairement au cas du dispositif « sans générateur », e et i sont ici de signes opposés à tout
instant et cette puissance est constamment négative ; cela signifie que la f.é.m. induite est en opposition sur
le générateur réel et prélève de l’énergie électrique au circuit.
• En conclusion, l’égalité U i = (R+r) i2 − e i assure la conservation de l'énergie électrique en affirmant que la
puissance U i fournie par le générateur réel se retrouve intégralement dans la puissance dissipée par effet
Joule (terme (R+r) i2) et dans la puissance prélevée par la f.é.m. induite (terme − e i ).
2. En multipliant par v l'équation mécanique rappelée ci-dessus, nous obtenons l'équivalent du théorème de
l’énergie cinétique :
m
dv
= FxL
dt
×v
⎯⎯⎯
→
⎞
d ⎛⎜ 1
2
L
⎜ mv ⎟⎟⎟⎟ = Fx ×v soit :
dt ⎜⎝ 2
⎠
d
(E ) = FxLv = P L
dt c
où P L est la puissance instantanée des actions de Laplace sur la tige.
Or, dans cette configuration, v (t ) = (U B0l ) (1− exp (− t τ )) et la vitesse de la tige augmente donc avec t, ce qui
implique que dEc/dt > 0 ; la puissance P L figurant au second membre de l'équation est d'ailleurs bien positive
puisque v et FxL , qui est du signe de i, sont tous deux positifs à tout instant. L'équation énergétique nous
montre donc que l'énergie mécanique de la tige, réduite à son énergie cinétique, augmente au cours du temps
du fait d'une puissance motrice des actions de Laplace.
En outre, l'absence dans ce bilan de termes associés au poids de la tige et aux actions de contact sur le rail,
suggère que ces actions exercent une puissance nulle ; ceci n'est pas étonnant car la résultante de chacune de
ces actions est constamment orthogonale au vecteur vitesse du barycentre G de la tige (cf. figure 12).
Bien entendu, il est possible de traiter cette question en appliquant directement le théorème de l'énergie
cinétique.
3. Le lien entre ces deux bilans réside dans l'égalité du terme électrique − e i et du terme mécanique PL. En
effet :
⎧⎪ e = −B l v ⇒ −ei = +B l v i
0
0
⎪⎨
⎪⎪ FxL = i l B0 ⇒ P L = FxLv = i l B0v
⎩
d'où :
P L = − ei
>0
Ainsi, la puissance motrice fournie à la tige par les actions de Laplace est exactement la puissance électrique
prélevée au circuit par la f.é.m. induite. Comme dans l'exemple précédent, l'induction réalise une parfaite
conversion de puissance électromécanique ; toutefois, alors que la configuration « sans générateur » donne
lieu à une conversion de puissance mécanique en puissance électrique, il s'agit ici d'une conversion de puissance électrique en puissance mécanique. La conversion est donc possible dans les deux sens !
Dans les deux exemples que nous venons d'étudier, la conversion de puissance se fait à tout instant dans
un sens ou dans l'autre. Toutefois, il existe des circuits oscillants où P L change alternativement de signe et
où la conversion de puissance se fait alternativement dans les deux sens.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1159
Le cours
3.4. Généralisation du bilan énergétique : conversion de puissance électromécanique
Principe de la conversion de puissance électromagnétique
Dans toutes les situations où un circuit mobile est plongé dans un champ magnétique stationnaire, le
circuit est le siège d'une conversion de puissance électromécanique. En effet, le bilan énergétique conduit
à tout instant à la loi :
P L (t ) = −e (t )× i (t )
Cette loi indique que la puissance mécanique algébriquement fournie au circuit par les actions de Laplace
est l'exact opposé de la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite.
• Si P L = − e i < 0, les actions de Laplace sont motrices tandis que la f.é.m. induite prélève de l'énergie
électrique au circuit : il y a conversion de puissance électrique en puissance mécanique.
• Si P L = − e i > 0, les actions de Laplace sont résistantes tandis que la f.é.m. induite fournit de l'énergie
électrique au circuit : il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique.
L'existence d'un phénomène physique offrant la possibilité d'une conversion de puissance électromécanique
parfaite, est d'un intérêt colossal en termes d'applications technologiques ! Concernant la conversion d'énergie
électrique en énergie mécanique, on pense immédiatement au moteur électrique, mais aussi au haut-parleur
qui permet d'émettre un son à partir d'un signal électrique ; quant à la conversion d'énergie mécanique en
énergie électrique, on peut penser à des systèmes de freinage, des générateurs de courant ou, dans le domaine
du son, au microphone et à la guitare électrique. Nous allons donc tout naturellement conclure ce chapitre en
abordant quelques unes de ces applications qui sont devenues essentielles à notre vie quotidienne.
4. AÖÖ½®‘ƒã®ÊÄÝ —› ½'®Ä—ç‘ã®ÊÄ —ƒÄÝ ½ƒ ò®› ‘ÊçكÄã›
Nous présentons ici le principe de fonctionnement de quelques applications du phénomène d'induction au
sein d'un circuit mobile dans un champ stationnaire. Conformément au programme, la présentation de ces
applications, ainsi que tous les développements quantitatifs que nous ferons dans ce cours ou en exercices,
seront effectués dans des géométries simplifiées, proches de celle du rail de Laplace. La géométrie réelle des
dispositifs mis en jeu sera néanmoins abordée sous forme de compléments.
4.1. Le système de freinage par courants de Foucault
• Pٮđ®Ö› —ç ¥Ù›®Äƒ¦› փ٠½›Ý ‘ÊçكÄãÝ —› FÊ瑃ç½ã
Les courants de Foucault ont été mentionnés au chapitre 27 lors de l'étude du transformateur (§ 6.3) et du
chauffage d'une casserole par induction (§ 6.4) ; il s'agit des courants induits qui apparaissent, non dans un
circuit filiforme, mais dans tout le volume d'un objet métallique massif, comme le socle d'une casserole ou la
carcasse d'un transformateur.
Ces courants de Foucault sont dissipés par effet Joule au sein du métal et provoquent une élévation de
la température du dispositif. Dans de nombreuses situations, cette dissipation est nuisible et il faut
minimiser les courants en gênant leur circulation, ce que fait la structure « en feuillets » des carcasses de
transformateurs (chapitre 27 figure 53) ; dans d'autres cas, comme celui du chauffage par induction,
l'effet Joule est au contraire souhaité et maximisé (figure 54 du chapitre 27).
Compte tenu de la relativité du phénomène d'induction, des courants de Foucault peuvent être induits dans
deux configurations distinctes, qui sont en réalité équivalents par changement de référentiel :
• Lorsqu’un objet métallique immobile, comme la carcasse d'un transformateur ou le socle d'une casserole, est
plongé dans un champ magnétique variable. C’est la configuration rencontrée au chapitre 27.
1160 ∙ Magnétisme et Induction
28
• Lorsqu’un objet métallique est mis en mouvement
dans un champ stationnaire. Cette configuration
est illustrée sur la figure 26 où un disque de cuivre
en rotation est partiellement plongé dans le champ
magnétique d'un électroaimant.
Or, dans cette seconde configuration, l’apparition de
courants induits s’accompagne non seulement de
l’échauffement du matériau par effet Joule, mais
aussi du freinage de l'objet par les actions de
Laplace. En effet, la situation est analogue à celle
d’une tige conductrice lancée sur un rail de Laplace
fermé par une résistance (§ 2.1), ou encore d'une
bobine plate lancée en rotation dans un champ
stationnaire (§ 2.3). Comme nous l’avons vu plus haut,
ces dispositifs « sans générateur » réalisent une
conversion d'énergie mécanique en énergie
électrique : cette dernière est entièrement dissipée
par effet joule, tandis que le mouvement ayant initié
l'induction est freiné par les actions de Laplace.
Nous retrouvons ici une manifestation de loi de Lenz telle que nous l'avons énoncée à la fin du § 2.1 :
« lorsque la cause première du phénomène d'induction est la mise en mouvement dans un champ
magnétique stationnaire d'un circuit [ici : un métal massif ] ne contenant pas de générateur, les actions de
Laplace liées au passage du courant induit ont toujours pour conséquence un freinage du circuit ». Les
conséquences de l'induction s'opposent ainsi à leurs causes.
• A½½çٛ —›Ý ‘ÊçكÄãÝ —› FÊ瑃ç½ã (ÄÊÄ ›ø®¦®½›)
L’étude de la répartition des courants de Foucault au sein du disque de cuivre de la figure 26 est complexe et
ne pourra être abordée qu’en seconde année. Nous pouvons toutefois en donner une description qualitative en
découpant le disque de cuivre en « secteurs », comme indiqué sur la figure 27.
À chaque instant, un secteur du disque de cuivre
entre dans la zone de champ magnétique créé par
l’électro-aimant et le flux magnétique à travers ce
secteur augmente (à gauche sur la figure 27).
D’après la loi de Lenz, les courants induits qui
apparaissent dans cette zone du disque doivent
modérer l’augmentation de flux en créant un champ
magnétique induit opposé au champ extérieur.
Inversement, un autre secteur quitte la zone de
champ magnétique (à droite de la figure) et voit le
flux magnétique qui le traverse diminuer. Dans ce
secteur apparaissent des courants de Foucault qui
limitent la diminution du flux en créant un champ
induit de même direction que le champ extérieur.
Vous pourrez vérifier que dans la zone de champ
magnétique, les lignes de courant sont dirigées de
la périphérie vers le centre du disque et subissent
des actions de Laplace qui s’opposent à la rotation.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1161
Le cours
• AÖÖ½®‘ƒã®ÊÄ —ç —®ÝÖÊݮ㮥
Le dispositif de la figure 26 peut ainsi être mis à
profit pour freiner efficacement un véhicule ou une
machine tournante ; il suffit de fixer le disque de
cuivre sur l'axe de rotation des roues du véhicule ou
du rotor de la machine, et l'électroaimant sur le
châssis du véhicule ou le stator de la machine : le
freinage est alors obtenu en mettant l'électroaimant
sous tension (figure 28). L'intérêt de ce dispositif
par rapport à des disques de frein usuels réside
dans l'absence quasi totale d'usure, le freinage se
faisant sans contact et donc sans abrasion ! En
revanche, il n'est efficace que si la vitesse de
rotation est élevée, comme lors d'un freinage
d'urgence, et ne peut pas être utilisé comme « frein
à main » pour bloquer un véhicule à l'arrêt.
4.2. Le haut-parleur électrodynamique
L'une de nos activités quasi quotidiennes, lorsque nous utilisons un téléphone par exemple, consiste à effectuer
des conversions électromécaniques en utilisant un microphone et un haut-parleur : le microphone permet de
transformer un son, c'est-à-dire une vibration mécanique, en un signal électrique oscillant qui lui est analogue
(et peut ensuite être numérisé sous forme d'un « fichier son » puis transmis à notre interlocuteur) ; inversement,
le haut-parleur reçoit un signal électrique provenant d'un fichier son et le convertit en une vibration mécanique
qui, appliquée à une membrane souple, produit un son. Dans ce paragraphe, nous allons voir comment réaliser
cette conversion grâce au phénomène d'induction magnétique, en étudiant en détail le cas du haut-parleur. Le
microphone sera abordé plus brièvement à la fin du paragraphe.
• Pٮđ®Ö› —› ¥Êđã®ÊÄěÛÄã
Considérons une tige mobile posée sur un rail de Laplace avec générateur, formant un dispositif semblable à
celui étudié au § 2.2, mais avec les trois spécificités suivantes (figure 29) :
• La f.é.m. u (t) du générateur est oscillante (et non continue) ;
• La tige, mobile le long du rail, est liée à l'extrémité d'un ressort horizontal initialement au repos ;
• Enfin, la tige est solidaire d'une membrane ayant une surface suffisante pour créer une onde sonore dans l'air
lorsqu'elle vibre. On dit que la membrane « rayonne » l’onde sonore.
Avec nos connaissances sur le dispositif du rail de
Laplace, la situation est assez simple à analyser :
• Comme la f.é.m. u(t) est oscillante, elle tend à faire
circuler un courant i(t) oscillant et, via les actions
de Laplace, à faire osciller la tige posée sur le
rail.
• Le ressort, qui rappelle constamment la tige vers
sa position de repos initiale, limite l'amplitude
de ses oscillations et permet d'éviter qu'elle ne
sorte du rail.
1162 ∙ Magnétisme et Induction
28
• Enfin, cette oscillation de la tige se transmet à la membrane, dont le mouvement provoque une oscillation des
couches d'air alentour et génère une onde sonore. Réciproquement, les couches d'air en mouvement freinent
l'oscillation de la membrane et de la tige.
Le rôle du ressort est particulièrement important aux basses fréquences, c'est-à-dire lorsque la f.é.m.
oscille lentement. En effet, sans ressort, le mouvement se rapprocherait à chaque instant d'un régime
continu identique à celui étudié au § 2.2 : à l'échelle d'une période, la tige se déplacerait donc de façon
significative vers une des extrémités du rail et risquerait d'en sortir.
Ce dispositif réalise donc la conversion d’un signal électrique (la f.é.m. du générateur) en signal mécanique
analogue (l’oscillation de la tige et de la membrane), qui est lui-même converti en un signal sonore. Il s'agit
donc bien d'un modèle sommaire de haut-parleur ! Toutefois, cette approche reste très qualitative et ne nous
permet pas de déterminer dans quelle mesure le signal sonore émis est une reproduction fidèle du signal
électrique ; la conversion pourrait en effet introduire des déformations nuisibles à la perception du son. C'est ce
que nous allons maintenant discuter en réalisant une étude plus complète.
• Éã痛 ØçƒÄã®ãƒã®ò› ›Ä ٝ¦®Ã› ֛ÙÃěÄã Ý®ÄçÝʳ—ƒ½
Comme souvent en physique, il est judicieux d'étudier les signaux oscillants en commençant par le cas particulier d'un régime permanent sinusoïdal. En effet, comme nous l'avons vu au § 1 du chapitre 10, tout signal
périodique peut se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples, dont on dit qu'ils
constituent son spectre. En alimentant le haut-parleur avec un signal électrique oscillant u(t) issu d'un fichier
son, nous excitons donc ce dispositif électromécanique par une superpositions de signaux sinusoïdaux de
différentes fréquences ; ainsi, si nous étudions la réponse du dispositif à un signal sinusoïdal de fréquence
quelconque, et si les équations régissant le haut-parleur sont linéaires, nous pourrons en déduire par
superposition le signal sonore émis en réponse au signal électrique u(t). Nous pourrons alors discuter la
fidélité de la réponse du haut-parleur. Cette approche s'appelle le filtrage linéaire ou encore l'analyse de
Fourier (revoyez la figure 5 du chapitre 10).
Un signal sonore audible possède un spectre qui s'étale entre 20 Hz et 20 kHz et se réduit à l'intervalle
100 Hz - 2 kHz pour un signal vocal.
Un son dont le spectre possède des fréquences inférieures à 350 Hz est dit « grave », tandis qu'un son
associé à des fréquences toutes supérieures à 1500 Hz est dit « aigu » ; les fréquences intermédiaires
correspondent à des sons « medium ». La note de musique appelée La3 (ou La 440), qui sert de référence
pour l'accord des différents instruments de l'orchestre, se situe dans le médium et a pour fréquence
fondamentale 440 Hz.
Dans l'exercice 4, nous allons effectuer la mise en équation du dispositif de Laplace modélisant le haut-parleur,
vérifier que ces équations sont linéaires, puis les résoudre en régime permanent sinusoïdal. Une étude plus
complète de la dépendance en fréquence de la réponse du haut-parleur sera menée dans l’exercice 7.
Exercice 4 Étude du haut-parleur en régime permanent sinusoïdal
Le dispositif étudié est celui schématisé sur la figure 29. Ses caractéristiques sont les suivantes :
• Le générateur alimentant le rail possède une f.é.m. sinusoïdale u(t) = Umcos(ωt) et une résistance interne R.
• Le rail est formé de deux barres métalliques parallèles, distantes d'une longueur l, chacune de résistance
négligeable devant R.
• La tige est de longueur légèrement supérieure à l, de résistance r et de masse m très supérieure à celle de
la membrane. Elle est mobile sans frottements de contact sur le rail mais subit, du fait de la friction de l'air
G
sur la membrane dont elle est solidaire, l'équivalent d'une force de frottement fluide s'écrivant − h v ; h est
un coefficient positif qui dépend de la forme et de la taille de la membrane.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1163
Le cours
• La tige est également attachée, en son barycentre, à un ressort est de raideur k. Ce barycentre est repéré
par son abscisse x le long du rail, supposée nulle lorsque le ressort est au repos.
• Le champ magnétique, créé par un aimant permanent, est stationnaire et approximativement uniforme, de
norme B0 et dirigé verticalement vers le bas.
1. Déterminer le système d'équations électromécaniques régissant ce dispositif. On prendra en compte l’auto
-induction au sein de l’ensemble du circuit, dont l’inductance propre sera notée L.
2. En utilisant la notation complexe, montrer qu'en régime permanent sinusoïdal, la vitesse de la tige et la
f.é.m. du générateur sont liées par une relation de la forme :
v
α
=− 2
u
α + (R + r + jLω)(h + j (mω − k ω))
où le coefficient α sera exprimé en fonction des données.
3. Simplifier cette expression lorsque Lω≪ (R + r) et déterminer l'amplitude de la vitesse d'oscillation de la
tige en fonction des données. Commenter brièvement la dépendance en fréquence.
1. L’équation électrique s’obtient à partir du circuit électrique équivalent au dispositif qui, outre le générateur,
contient trois dipôles modélisant les phénomènes électromagnétiques mis en jeu : une résistance r associée à
la résistivité de la tige (la contribution du rail est négligée), une f.é.m. e associée à l’induction qui nait du
mouvement de la tige dans le champ de l'aimant permanent, et une inductance L rendant compte de l’autoinduction au sein du circuit (figure 30.a). La f.é.m. induite se calcule en utilisant la loi de Faraday, puis la loi des
mailles dans le circuit équivalent fournit l’équation électrique ; nous obtenons :
di
(R + r ) i (t ) + L dt (t ) = u (t ) + e (t )
avec : e (t ) = −
G
dΦ Σ (B0 )
dt
= −B0 l x (t )
Le paramétrage de la tige et l’expression du
flux magnétique sont identiques à ceux mis
en œuvre aux paragraphes 2.1 et 2.2, de sorte
que la f.é.m. induite s’écrit encore e = −B0 l x .
L’équation électrique ne diffère d’ailleurs de
celle que celle que nous avions obtenue au
§ 2.2 que par le terme supplémentaire Ldi/dt.
L’équation mécanique se déduit, quant à elle, de
la projection sur l’axe (Ox) du théorème du centre
d'inertie appliqué au système formé de la tige et de
la membrane, solidaires l'une de l'autre. Ce système
reste simple car la masse de la membrane est
négligeable devant celle de la tige : le barycentre
du système est donc confondu avec celui de la tige
et la masse de l'ensemble est celle de la tige.
En plus des actions déjà recensées lors de l'étude du rail au § 2, il faut prendre en compte la force de rappel du
ressort et la force de frottement fluide liée au mouvement de la membrane (figue 30.b). Avec les notations
usuelles, nous obtenons :
G
G
G G
G
G
d 2 rG
G G
m 2 = F ext = F1 + F2 + mg + F L + F fluide + F ressort
dt
G
⊥ ux
1164 ∙ Magnétisme et Induction
28
G
• La résultante des actions de Laplace s’écrit : F L =
∫
JJJJG G
G G
G
G
i dlP ∧ B0 = i MN ∧ B0 = i (l e y ) ∧ (B0ez ) ⇒
P ∈ Tige
G
G
• La force de frottement fluide s’écrit : F fluide = − hv ux
⇒
G
G
G
F L = i l B0 e x
G
G
F fluide = − h x ux.
G
= − k ΔA ux où ΔA est l’allongement algébrique du
• Enfin, la force élastique de rappel du ressort s’écrit : F ressort
ressort par rapport à sa position de repos
; comme celle-ci correspond à l'origine de l'axe (Ox), nous avons
G
G
simplement ΔA = x et, par conséquent : F ressort = − k x ux .
• Ainsi, l’équation mécanique régissant ce dispositif modèle s’écrit :
m x (t ) = i (t ) l B0 − h x (t ) − k x (t )
Nous aboutissons finalement au système couplé suivant entre i(t) et x(t) :
⎧
⎪
⎪ (R + r ) i + L di = u − B l x
⎪
0
⎪
dt
⎨
⎪
⎪
=
−
−
m
x
i
l
B
hx
kx
⎪
0
⎪
⎩
⎡⎢équation 1⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2⎤⎥
⎣
⎦
La notation x est pratique pour noter dx/dt mais nous nous gardons bien de l’appliquer au courant i car il
existerait un gros risque de confusion entre le point de la lettre i et le point de dérivation temporelle.
Ce système d’équations est linéaire, ce qui justifie en particulier l’existence d'un régime permanent sinusoïdal
de pulsation ω dans le cas où la f.é.m. du générateur est elle-même sinusoïdale de pulsation ω.
2. Dans le cadre d'un régime permanent sinusoïdal de pulsation ω et en introduisant les amplitudes complexes
u, i et v de la f.é.m., du courant et de la vitesse, ce système d’équation devient :
⎧
⎪
(R + r + jLω) i = u − B0 l v
⎪
⎪
⎪
⎨
v
⎪
⎪ m jωv = i l B0 − hv − k
⎪
jω
⎪
⎩
⎡⎢équation 1⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2⎤⎥
⎣
⎦
Isolons l’intensité dans l’équation [2] puis substituons la dans l'équation 1 :
⎡ ⎤
⎣⎢2⎦⎥
⇒
i =
1
(h + j (mω − k ω)) v
l B0
⇒
⎡
⎤
1
⎢
⎥
⎢B0 l + (R + r + jLω) × l B (h + j (mω − k ω))⎥ ×v = u
⎢⎣
⎥⎦
0
replacée dans ⎡1⎤
⎣⎢ ⎦⎥
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
l B0
v
=
u B02 l 2 + (R + r + jLω) (h + j (mω − k ω))
Nous obtenons bien l'expression attendue avec α = B0l . Puis, dans l'hypothèse où Lω ≪ (R + r), il vient :
l B0
v
≈ 2 2
u B0 l + (R + r ) h + j (R + r )(mω − k ω)
L’amplitude de la vitesse d'oscillation de la tige s'obtient alors comme le module de v :
Vm = v ≈
l B0
×u
B02 l 2 + (R + r ) h + j (R + r )(mω − k ω)
⇒ Vm ≈
l B0 Um
(B
2
l + (R + r ) h) + (R + r ) (mω − k ω)
2 2
0
2
2
Vm dépend donc de la fréquence. Une rapide analyse asymptotique de la formule nous montre que la vitesse
oscille avec une amplitude très faible à basse et haute fréquence (Vm → 0 lorsque ω → 0 et ω → ∞) et présente
une résonance à la pulsation ω0 = k m .
Ce point sera largement approfondi dans l'exercice 7.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1165
Le cours
• B®½ƒÄ —’Ä›Ù¦®›
Poursuivons notre étude en effectuant un bilan énergétique du fonctionnement du haut-parleur à partir du
système d'équations couplées obtenu à la question 1 de l'exercice 4 ; ces deux équations, qui régissent
respectivement le fonctionnement électrique et le fonctionnement mécanique du dispositif, sont les suivantes :
⎧
⎪
⎪ (R + r ) i + L di = u + e = u − B l x
⎪
0
⎪
dt
⎨
⎪
L
⎪
m x = Fx − hx − kx = i l B0 − hx − kx
⎪
⎪
⎩
⎡⎢équation 1 / équation électrique⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2 / équation mécanique⎤⎥
⎣
⎦
• Pour obtenir un bilan de puissance mécanique, multiplions par la vitesse v l’équation mécanique, de façon à
retrouver le théorème de la puissance cinétique :
m
dv
= FxL − hv − kx
dt
× (v = x )
⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎞
d ⎛⎜ 1
d ⎛1 2 ⎞
2
L
2
⎜ mv ⎟⎟⎟⎟ = Fx v − hv − ⎜⎜⎜ kx ⎟⎟⎟⎟
⎜
dt ⎝ 2
dt ⎝ 2
⎠
⎠
En notant P L la puissance des actions de Laplace, nous obtenons :
P L = FxLv =
d
(E + Epélastique ) + hv 2
dt c
avec
P L = i l B0 x
Ce bilan nous montre que, d’un point de vue purement mécanique, l’énergie fournie à la tige par les actions
de Laplace (qui sont à l’origine de sa mise en mouvement) se retrouve intégralement dans son énergie
mécanique (constituée de son énergie cinétique et de son énergie potentielle élastique, associée à l'action du
ressort) et dans l’énergie dissipée par la force de frottement fluide.
• Pour obtenir un bilan instantané de puissance électrique et mettre en évidence le couplage électromécanique, multiplions maintenant par i l'équation électrique rappelée ci-dessus :
di
(R + r ) i + L dt
⇒
= u+e
ui = (R + r ) i 2 +
×i
⎯⎯⎯
→
d ⎛1
⎝
⎞
(R + r ) i 2 + dt ⎜⎜⎜ 2 Li 2 ⎟⎟⎟⎟ = ui + ei
d ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟
⎜ Li ⎟ − ei
dt ⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟
⎠
avec − ei = B0 l x i = P L
→ ui est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par le générateur.
→ (R + r)i2 est la puissance dissipée par effet Joule dans l'ensemble du circuit.
d ⎛⎜ 1 2 ⎟⎞
⎜ Li ⎟ est la puissance algébriquement reçue par l'inductance du circuit et correspond en réalité à une
dt ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠
→ conversion d'énergie électrique en énergie magnétique « propre » au sein du dispositif : en effet, comme
nous l'avons vu au chapitre 27, § 4.4, le passage d'un courant i dans le circuit s'accompagne de l'apparition
d'un champ magnétique propre auquel est associé une énergie magnétique Li2/2 ; cette énergie est
prélevée à l'énergie électrique du circuit et est en quelque sorte « stockée » dans tout l'espace autour du
circuit, tant que le courant i circule et que le champ magnétique propre existe.
→ ei est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite associée au champ
stationnaire de l'aimant ; son opposé est la puissance algébriquement prélevée au circuit par cette f.é.m. ,
dont nous constatons qu'elle s'identifie à P L et est donc convertie en puissance mécanique (cf. § 3.4).
→
Ce bilan traduit donc la conservation de l'énergie électrique en affirmant que l'énergie fournie par le générateur se retrouve intégralement dans l'énergie dissipée par effet Joule, l'énergie stockée sous forme magnétique du fait du champ propre du circuit et enfin l'énergie prélevée par la f.é.m. induite associée au champ
externe créé par l'aimant, qui est convertie en énergie mécanique.
1166 ∙ Magnétisme et Induction
28
Attention à bien distinguer l’induction par le champ stationnaire de l'aimant, que l’on peut qualifier de
champ externe au circuit, et l’auto-induction par le champ propre du circuit. L’auto-induction est ici
modélisée par l’ajout d'une inductance propre dans le modèle électrique équivalent du circuit, tandis que
l’induction par le champ de l’aimant est prise en compte via la f.é.m. e. Énergétiquement, l’auto-induction
réalise une conversion d'énergie électrique en énergie magnétique « propre au circuit », tandis que
l’induction externe réalise une conversion d'énergie électrique en énergie mécanique.
Pour mettre davantage en évidence la conversion de puissance électromécanique parfaite réalisée par le hautparleur, nous pouvons écrire un bilan énergétique global en éliminant P L entre les deux bilans précédents :
ui =
⎞
d ⎛⎜ 1 2
élastique ⎟
⎟ + (R + r ) i 2 + hv 2
⎜⎜ Li + Ec + E p
⎟
dt ⎝ 2
⎠⎟
Il apparait ainsi clairement que l'énergie fournie au dispositif par le générateur sert d'une part à augmenter les
diverses formes d'énergie du système (cinétique, potentielle élastique et magnétique « propre ») et, d'autre
part, à « nourrir » les phénomènes dissipatifs (effet Joule et frottements fluides).
• R›Ä—›Ã›Äã —ç «ƒçã-փٽ›çÙ ›Ä ٝ¦®Ã› ֛ÙÃěÄã Ý®ÄçÝʳ—ƒ½
Le rendement énergétique η d’un dispositif est toujours le rapport de la puissance « utile » Putile que l’on
cherche à récupérer en sortie du dispositif, par la puissance « coûteuse » Pcoûteuse qui doit lui être fournie pour
qu’il fonctionne. Dans le cas de régimes oscillants, et en particulier en régime permanent sinusoïdal, ces
puissances oscillent rapidement au cours du temps et le rendement est défini à partir de leurs valeurs
moyennes sur une période :
Putile
η=
Pcouteuse
Qu'en est-il pour le haut-parleur ? C'est évidemment la puissance fournie par le générateur qui permet le
fonctionnement, et nous avons donc : Pcoûteuse = u i . Par ailleurs, l'intérêt du haut-parleur est d'émettre un son,
et c'est donc la puissance sonore émise par la membrane qui constitue la puissance utile.
Bien que cette puissance sonore ne semble pas intervenir pas dans les équations énergétiques, il existe bel et
bien dans notre modèle de haut-parleur un élément qui rend compte du rayonnement de l'onde sonore : il
s'agit de la force de frottement fluide associée au couplage entre la membrane et l'air extérieur ; rappelons que
la membrane génère le son en mettant les couches d'air en mouvement et que, réciproquement, ces couches
d'air freinent son oscillation. Ainsi, nous pouvons raisonnablement supposer que la puissance sonore émise par
le haut-parleur est égale à la puissance dissipée par la force de frottement fluide qui s'exerce sur l'ensemble de
la tige et de la membrane : Putile ≈ hv2.
Nous aboutissons donc à l’expression suivante : η =
hv 2
ui
Pour évaluer ce rapport, il nous faut prendre la moyenne de l'équation énergétique obtenue ci-dessus :
⎞
d ⎛⎜ 1 2
élastique ⎟
⎟⎟ + (R + r ) i 2 + hv 2
⎜ Li + Ec + E p
⎟⎠
⎜
dt ⎝ 2
ui =
Or, la valeur moyenne de la dérivée d’une fonction périodique quelconque E est toujours nulle, comme le
montre le calcul suivant :
T
T
dE
dt
Ainsi, pour le haut-parleur :
=
T
E (T ) − E (0)
1 dE
1
dt = ∫ dE =
=0
∫
T 0 dt
T 0
T
⎞
d ⎛⎜ 1 2
élastique ⎟
⎟ =0 .
⎜⎜ Li + Ec + E p
⎟
⎟⎠
dt ⎝ 2
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1167
Le cours
Cela signifie que les diverses formes d'énergie du système oscillent, mais ne varient pas en moyenne ; par
conséquent, la puissance moyenne fournie par le générateur est entièrement dissipée par l'effet Joule et par le
frottement fluide qui modélise le rayonnement de l'onde sonore :
ui =
(R + r ) i 2
+ hv 2
Nous aboutissons finalement à une expression plus parlante du rendement :
η=
hv 2
(R + r ) i 2
+ hv 2
Afin de maximiser le rendement, il faut donc s'assurer qu'il y ait peu d'effet Joule et un fort de couplage entre
la membrane et l'air extérieur (ce qui correspond à un fort coefficient h).
Les rendements typiques des haut-parleurs ne dépassent pas 2,5% (0,15% en Hi-Fi).
• D®ÝÖÊݮ㮥 ٝ›½ (ÄÊÄ ›ø®¦®½›)
Après cette étude détaillée du modèle simplifié,
abordons plus brièvement le dispositif réel du hautparleur, dont les caractéristiques sont les suivantes :
• Le champ magnétique n'est pas celui d’un aimant
en U mais d'un aimant torique (ou annulaire),
constitué d'un pôle nord cylindrique et d'un pôle
sud en forme d'anneau (figure 31.a). Son entrefer
se présente comme une fine cavité cylindrique
d'axe (Oz) dans laquelle le champ magnétique est
radial et invariant parG rotation. En coordonnées
G
cylindriques, il s’écrit : B = B0er .
• La partie oscillante du dispositif n’est pas une tige
posée sur un rail mais une bobine cylindrique
d'axe (Oz) susceptible de coulisser dans la cavité
cylindrique constituant l'entrefer de l'aimant.
• Comme la tige dans le modèle simplifié, la bobine
est liée à une membrane et maintenue en place
par deux anneaux élastiques, appelés spider et
suspension, faisant office de ressort (figure 31.b).
L’ensemble est mis en mouvement par les actions
de Laplace et l’oscillation de la membrane génère
une onde sonore. Bien que ce dispositif possède
une géométrie très différente de celle du rail, son
principe de fonctionnement est le même !
Ces caractéristiques du haut-parleur réel, schématisé sur la figure 32, expliquent rétrospectivement deux
des choix opérés lors de sa modélisation par une tige en mouvement sur un rail de Laplace :
• En premier lieu, la présence d’un bobinage ne permet pas de négliger l’auto-induction au sein d’un
haut-parleur réel : c’est pourquoi nous avons pris en compte l’inductance propre L du circuit dans son
schéma électrique équivalent (figure 30.a dans l’exercice 4), alors que cette inductance est en général
négligée dans un dispositif peu bobiné comme celui du rail de Laplace.
• En second lieu, lors du mouvement de translation de l’attelage mobile formé de la bobine cylindrique et
la membrane, les actions exercées par la suspension et le spider sont équivalentes à celles d’un ressort
placé entre l’aimant et l’attelage : cela explique la présence du ressort dans le modèle simplifié.
1168 ∙ Magnétisme et Induction
28
En approfondissant, nous pouvons vérifier que les équations obtenues lors de l’étude du dispositif idéalisé (rail
de Laplace) se transposent au haut parleur réel :
• Intéressons-nous d’abord à l’équation mécanique. En tout point de la bobine le champ magnétique, de
norme B0 constante, est radial et orthogonal au fil électrique (figure 33). L’élément de circuit est orthoradial,
de sorte que les actions de Laplace élémentaires sur la bobine sont donc toutes dirigées selon l'axe (Oz) :
G
FL
=
∫
G G
i dlP ∧ B (P) =
P ∈ fil
∫
G
G
i dlP eθ ∧ B0 er
P ∈ fil
⇒
G
FL =
∫
G
i dlP B0 ez
P ∈ fil
En factorisant, il apparait la longueur totale ltot du
fil du bobinage :
⎛
G
⎜
F L = i ×⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎟⎟⎞ G
dl
P
∫ ⎟⎟⎟⎟ B0 ez
⎠
P ∈ fil
⇒
G
G
F L = i ltot B0 e z
Nous retrouvons ainsi la même expression que
celle que nous avions écrite pour la tige de
longueur l posée sur le rail, en replaçant l par la
longueur totale de fil du bobinage ltot ; l’équation
mécanique est donc, à cette substitution près, la
même que celle du modèle simplifié :
m z = FzL − hz − kz = i ltot B0 − hz − kz
• Venons-en maintenant à l’équation électrique. Hormis sa géométrie et la présence d’un bobinage à la place
de la tige, le circuit contient les mêmes dipôles réels et modèles que ceux du circuit simplifié : résistance R et r
du générateur et de la bobine, inductance L de la bobine et f.é.m. induite e associée au mouvement de la
bobine dans le champ stationnaire de l'aimant torique. L’équation électrique est donc toujours de la forme :
di
(R + r ) i + L dt = u + e
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1169
Le cours
Il nous reste à exprimer la f.é.m. induite e. Vous constaterez sans peine que le calcul direct par la loi de
Faraday n'est pas réalisable dans cette géométrie car nous sommes incapables de calculer le flux magnétique
à travers le circuit. En revanche, la puissance P L des actions de Laplace est facilement calculable et nous
pouvons en déduire astucieusement e en utilisant la propriété fondamentale énoncée au §3.4 : « la puissance
électrique reçue par le circuit, via la f.é.m. induite, est opposée à la puissance des actions de Laplace » :
G
G
Le calcul de P L donne : P L = F L ⋅ v G
G
⎧⎪F L = i l B eG
tot 0 z
avec ⎪⎨ G
G
⎪⎪v G = z ez
⎩
et nous en déduisons la f.é.m. induite par :
e i = −P L
⇒
⇒ P L = i ltot B0 z
e i = − i ltot B0 z
d'où :
e = − ltot B0 z
Nous n'avons cessé de vérifier sur divers exemples la loi : e i = − P L . Vous avez ici un bel exemple de
situation où cette loi peut être judicieusement utilisée pour déterminer une grandeur inconnue, en
l'occurrence la f.é.m. induite e.
Replacée dans l’équation électrique, cette f.é.m. induite conduit à une relation semblable à celle à du modèle
simplifié, à condition de substituer la longueur l de la tige par la longueur totale de fil du bobinage ltot :
di
(R + r ) i + L dt = u − B0 ltot z
Le dispositif réel est ainsi parfaitement équivalent, tant du point de vue mécanique que du point électrique, au
modèle idéalisé utilisant la géométrie du rail de Laplace.
Les haut-parleurs fonctionnant grâce au phénomène d'induction sont dits électrodynamiques ; ce sont
les plus nombreux sur le marché et ces sont eux qui constituent les enceintes audio usuelles. Toutefois, il
existe d'autres principes physiques permettant de réaliser la conversion électromécanique : on trouve
ainsi des haut-parleurs piézoélectriques (utilisés dans les alarmes et les sirènes) ou encore des hautparleurs électrostatiques (utilisés dans les interphones d'immeubles), dont les caractéristiques diffèrent
des précédents.
• CƒÝ —'çÄ Ã®‘ÙÊÖ«Êě ½›‘ãÙʗùăîØç›
Le principe de fonctionnement du microphone électrodynamique est exactement inverse de celui du hautparleur électrodynamique et les deux dispositifs sont quasiment identiques (figure 34). Lorsqu'une onde sonore
arrive sur le microphone, elle provoque l'oscillation d'une membrane solidaire d'une bobine ; celle-ci étant
plongée dans le champ stationnaire d'un aimant torique, une f.é.m. induite apparait à ses bornes et c'est cette
f.é.m. qui constitue le signal électrique de sortie.
1170 ∙ Magnétisme et Induction
28
Ce type de microphone, dit électrodynamique, est très robuste et d'utilisation très répandue, en particuliers par les chanteurs lors des concerts live. Comme pour les haut-parleurs, il existe des microphones
piézoélectriques, qui sont par exemple utilisés sous l’eau dans les hydrophones, ou comme microphones
de contact sur certains instruments de musique. Il existe également des microphones électrostatiques
qui sont plus fragiles que leurs homologues électrodynamiques mais ont une plus grande sensibilité et
une meilleure réponse spectrale ; ils permettent une restitution fidèle du timbre des instruments à cordes
et de la voix chantée et sont très utilisés pour les enregistrements musicaux en studio. On peut enfin citer
les microphones à électret : leur principe est proche de celui des microphones électrostatiques mais ils
peuvent être miniaturisés et servent dans les micros-cravates ; ils sont en revanche moins performants.
4.3. Le moteur à courant continu à entrefer plan (PCSI-PTSI)
Au chapitre 26, nous avons vu qu'il est possible de réaliser un moteur électrique en mettant en rotation un
aimant permanent grâce à un champ magnétique tournant créé par des courants alternatifs. Ce dispositif,
appelé moteur synchrone, présente l'avantage d'être adapté aux fortes puissances et est utilisé dans des
véhicules de transport, comme par exemple le TGV. Ce type de moteur présente toutefois quelques inconvénients : sa vitesse de rotation est nécessairement égale à celle du champ magnétique tournant, elle-même
égale à la pulsation de l'alimentation variable qui crée le champ tournant, typiquement 3000 tours par minute à
50 Hz ; elle n'est donc pas facilement modifiable. Par ailleurs, le rotor du moteur est volumineux et possède
généralement une forte inertie, ce qui interdit tout démarrage ou arrêt brutal de l'appareil.
Pour obtenir des moteurs de petite taille, permettant un démarrage et un arrêt rapides, ainsi qu'une vitesse de
rotation facilement et rapidement modifiable, variant sur une gamme étendue (typiquement de 1 à 4000 tours
par minute), il faut faire appel à un tout autre type de dispositif, appelé moteur à courant continu. Alimenté
par un générateur continu dont la f.é.m. contrôle la vitesse de rotation, il est moins puissant que le moteur
synchrone mais parfaitement adapté dans des domaines comme la robotique, qui nécessitent des mouvements
de rotation de grande précision. Conformément au programme, nous présentons ici le principe de fonctionnement d'une catégorie particulière de moteurs à courant continu, dits « à entrefer plan ».
• Pٮđ®Ö› —› ¥Êđã®ÊÄěÛÄã
Bien que la constitution réelle du moteur soit
complexe, son fonctionnement peut être décrit
grâce à un modèle simplifié, illustré sur la figure 35,
dont les caractéristiques sont les suivantes :
• La partie fixe du moteur (le stator), se compose
d'une carcasse cylindrique fermée par deux
disques munis d'aimants permanents ; ceux-ci
créent à l'intérieur du stator un champ magnétique stationnaire et approximativement uniforme,
dirigé selon l'axe de révolution du dispositif.
• Dans la zone de faible épaisseur située entre les
aimants, appelée l’entrefer, se trouve un disque
isolant, dont l’un des rayons est muni d’une tige
conductrice OA ; la périphérie est également
métallique, à l'exception d'une petite encoche
diamétralement opposée au point A. Ce disque est
lié à un arbre de transmission et constitue la partie
tournante du moteur (le rotor).
Ce sont la faible épaisseur de l'entrefer et la
forme aplatie du rotor qui expliquent la
terminologie « entrefer plan ».
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1171
Le cours
• Le fonctionnement est obtenu en faisant passer un courant électrique depuis le centre du rotor vers sa
périphérie, le long de la tige OA, grâce à un générateur continu situé dans un boitier de commande extérieur
au stator. La connexion électrique entre les éléments conducteurs du rotor et le circuit extérieur est assurée
par deux « balais » en carbone situés, l’un en O, l’autre en un point S en contact avec la périphérie (figure 35).
Ces balais sont conçus pour permettent le passage du courant tout en minimisant la friction.
Expliquons maintenant la rotation du moteur en
étudiant les forces de Laplace élémentaires subies
par les parties conductrice du rotor.
• La périphérie subit des actions radiales dont le
moment résultant en O est nul, et qui sont donc
sans effet sur la rotation du disque (figure 36.a).
• La tige OA, en revanche, subit des actions
orthoradiales qui provoquent sa mise en rotation
et, avec elle, celle du rotor (figure 36.b).
La résultante des actions de Laplace sur le
rotor est non nulle ; elle est compensée par la
réaction de l’arbre de transmission.
• Une étude quantitative qui sera effectuée dans
l'exercice 8, montre que la vitesse de rotation
tend alors rapidement vers une vitesse limite qui
augmente linéairement avec la f.é.m. du générateur. Nous obtenons donc bien un moteur
rotatif de vitesse réglable.
Précisons enfin le rôle de l’induction dans ce
fonctionnement. La figure 37, qui détaille l’évolution temporelle du dispositif, met en évidence
l’apparition d’une f.é.m. induite liée à la rotation. Or,
d'après la loi de Lenz, cette f.é.m. induite s'oppose à
celle du générateur qui est à l’origine du mouvement : elle prélève donc de l'énergie électrique
au circuit. C'est bien évidemment cette énergie qui
est convertie en énergie mécanique, via les actions
de Laplace, et se retrouve dans le mouvement de
rotation. Nous assistons donc, comme dans toutes
les situations d'induction étudiées dans ce chapitre,
à un couplage électromécanique au sein du
dispositif et, d'un point de vue énergétique, à une
conversion de puissance électromécanique.
• D®ÝÖÊݮ㮥 ٝ›½ (ÄÊÄ ›ø®¦®½›)
La réalisation pratique du moteur à entrefer plan
impose un aménagement important par rapport au
modèle présenté ci-dessus ; en effet, si un unique
« rayon conducteur » entraine l’ensemble du rotor,
le moment résultant des actions de Laplace est trop
faible pour obtenir des vitesses de rotation élevées.
1172 ∙ Magnétisme et Induction
28
De ce fait, le rotor d’un moteur aurait intérêt à être
constitué de multiples conducteurs, tous disposés
radialement depuis le point O et régulièrement
répartis sur le disque du rotor (figure 38). Le
moment résultant des actions de Laplace serait ainsi
démultiplié.
Cette configuration présente un second
avantage tout aussi important : la résultante
des actions de Laplace sur le rotor est nulle et
l’arbre de transmission n’est plus sollicité
pour compenser ces actions, ce qui évite le
risque de rupture au niveau de la liaison.
Toutefois, la solution adoptée n’est pas exactement celle de la figure 38. En effet, il est également primordial de
minimiser la vitesse relative entre les balais de connexion et le rotor, afin de limiter les frottements de contact ;
des frottements trop intenses provoqueraient un freinage du moteur et une usure excessive des balais. De ce
point de vue, placer un connecteur à la périphérie du rotor, comme dans notre modèle simplifié, est la pire des
solutions. Une idée efficace consiste au contraire à ramener radialement le courant vers le centre du rotor, de
façon à placer les connecteurs d’entrée et de sortie au voisinage de l’axe, là où la vitesse relative entre les
pièces et le frottement de contact sont les plus faibles.
Cette idée semble pourtant soulever une nouvelle
difficulté : si le courant passe du centre vers la
périphérie le long d’un rayon, puis effectue le trajet
inverse le long d’un autre rayon, les moments des
actions de Laplace sur ces deux rayons vont à coup
sûr se compenser.
Une solution astucieuse consiste à décaler les deux
rayons comme le montre la figure 39.a, et à faire en
sorte que ceux-ci soient à chaque instant plongés
dans des champs magnétiques de sens opposés.
Ainsi, les moments de Laplace se cumulent de
nouveau au lieu de se compenser. Cette nouvelle
configuration, qui est celle des moteurs réels,
impose deux modifications du dispositif :
• Tout d’abord, pour que les rayons parcourus par
un courant « centrifuge » et ceux parcourus par
un courant « centripète » soient plongés dans des
champs de sens opposés, il faut renoncer aux
deux grands aimants de la figure 35 et utiliser
plusieurs petits aimants de polarités alternées,
disposés en couronne (figure 39.b).
• Enfin, il faut adapter le système de connexion. En effet, maintenant que les polarités des aimants sont
alternées, un rayon en rotation se retrouve plongé dans un champ dont le sens alterne régulièrement au
cours du temps. Comment faire en sorte que, malgré tout, le moment résultant des actions de Laplace sur ce
rayon reste toujours dans le même sens ? La solution, que nous ne détaillerons pas ici, consiste à renverser le
sens du courant qui traverse le rayon à chaque fois que celui-ci « change d’aimant », c’est-à-dire à réaliser un
système de commutation périodique du courant synchronisé avec la rotation !
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1173