Tirs de fusées : étude physique, mise en équation et résultats

Fusées à eau
August 10, 2012
1 Étude physique du système
1.1 Calcul de la poussée
On étudie dans un premier temps la poussée de la fusée en décomposant la quantité de
mouvement du système fusée + jet d’eau.
p~
M
~v
Ve
Vi = Ve (0)
~u
Quantité de mouvement du système
Masse de la fusée (variable)
Vitesse de la fusée par rapport au sol
Volume d’eau contenue dans la fusée
Volume d’eau initialement contenue dans la fusée
Vitesse d’éjection de l’eau relative à la fusée. La vitesse par rapport au sol est ~v + ~u
Nous avons, pour quantité de mouvement du système :
p~ = M~v + ρe (Vi − Ve )(~v + ~u)
(1.1)
En dérivant par rapport au temps, on obtient, en faisant l’hypothèse d’une vitesse
d’éjection constante :
d~
p
d~v dM
dVe
=M
+
~v − ρe
(~v + ~u)
(1.2)
dt
dt
dt
dt
Le taux de variation de la masse de la bouteille est dM/dt. Or, dM/dt = ρe dVe /dt
car la perte de masse correspond à l’eau perdue par la fusée. D’où, en réarrangeant les
termes :
d~v
d~
p dM
dM
M
=
−
~v +
(~v + ~u)
(1.3)
dt
dt
dt
dt
Soit en simplifiant :
d~v
d~
p dM
M
=
+
~u
(1.4)
dt
dt
dt
La poussée est le terme ~udM/dt, où encore la perte de masse fois la vitesse d’éjection.
On remarque que si d~
p/dt = 0, et en admettant que le système n’ait qu’un degré de
liberté, on peut écrire :
M dv = udM
(1.5)
1
Ce qui par intégration nous permet de retrouver l’équation de Tsiolkovski :
v(t) = u ln
M0
+ v0
M (t)
(1.6)
Dans (1.4), il nous reste à déterminer la poussée. Pour cela nous allons définir la
vitesse d’éjection relative ~u. Nous allons pour cela introduire de nouvelles variables.
P
Pext
V
Vair
γ
Pression intérieure dans le réservoir
Pression extérieure (1 atm)
Volume du réservoir (constant)
Volume d’air contenu dans la fusée
Indice adiabatique de l’air (≈ 1, 4)
Le travail élémentaire de la force due à la différence de pression est égale à l’énergie
cinétique élémentaire de l’eau éjectée.
1
δW = (P − Pext )dVe = ρe dVe ~u2
2
Ce qui nous donne u (la norme de ~u), car les termes dVe se simplifient :
s
2(P − Pext )
u=
ρe
(1.7)
(1.8)
Pour déterminer complètement le vecteur ~u, il nous faut supposer qu’il est de même
direction mais de sens opposé à ~v . Si vb est le vecteur unitaire directeur de ~v , alors :
s
2(P − Pext )
vb
(1.9)
~u = −
ρe
Nous devons maintenant déterminer le taux d’éjection d’eau (masse) au cours du
temps. C’est, avec r le rayon du disque d’éjection :
dM
= −uπr2 ρe
dt
(1.10)
Il apparait dès lors que :
M
d~v
d~
p
=
− 2(P − Pext )πr2~v
dt
dt
(1.11)
Il reste à déterminer la pression P dans la bouteille à chaque instant, avec une pression
γ
initiale P0 . On rappelle que la détente est adiabatique, c’est-à-dire que P Vair
= cste.
Dès lors :
P (t) = P0 (
V − Vi γ
)
V − Ve (t)
2
(1.12)
Nous avons donc défini toutes les variables. Le système d’équation à résoudre pendant
la phase d’éjection de l’eau est alors :

dp
dv


=
+ 2(P − Pext )πr2
M


dt
dt




r


 dVe
2(P − Pext ) 2


πr
= −

dt
ρe
(1.13)




M (Ve ) = Mvide + ρe Ve









 P (Ve ) = P0 ( V − Vi )γ
V − Ve
1.2 Prise en compte de l’air
On admet que pour l’air, la force de poussée est deux fois moindre :
M
d~
p
d~v
=
+ (P − Pext )πr2
dt
dt
(1.14)
Il reste à calculer P (t).
T
N
w∗
m
kB
α
A
1.2.1
Température à l’extérieur et à l’intérieur du réservoir.
Nombre de particules contenues dans la bouteille.
Vitesse quadratique moyenne des particules d’air
Masse moyenne d’une particule, telle que m = Mair /Na , où Mair
est la masse molaire de l’air.
Constante de Boltzmann
Nombre moyen de degrés de libertés des molécules contenues dans
l’air.
Aire du disque d’éjection (A = πr2 )
Première approche : fuite à T constant
Nous dérivons P selon la loi des gaz parfaits, à température T et volume V constants :
dP
dN kB T
=
(1.15)
dt
dt V
Il reste à déterminer dN/dt, c’est-à-dire le nombre de particules qui sortent à chaque
instant. L’air est un mélange, mais on considère que la masse moyenne des particules
est m et qu’elles sont essentiellement diatomiques,
d’où α = 5. w∗ est la vitesse quadrap
tique moyenne des molécules, soit w∗ = hw2 i. Il ne faut pas négliger les particules
qui rentrent également. Pour cela on détermine le nombre de particules traversant instantanément dans le sens de la sortie et dans le sens de l’entrée. Le facteur 1/2 vient
du fait qu’en moyenne les particules se déplacent autant dans un sens que dans l’autre
3
dans la bouteille. Ici, d est la densité volumique de particules dans l’air à l’extérieur du
réservoir.
dN
πr2 ∗
N
=
w (d − )
dt
2
V
(1.16)
Mais nous avons :
kB T
m
hw2 i = α
d’où :
dN
A
=
dt
2
r
α
(1.17)
kB T
N
(d − )
m
V
(1.18)
Ce qui donne pour N (t) :
s
N (t) = (N0 − d.V )e
−A
α
kB T
t/2V
m
+ d.V
(1.19)
Nous obtenons donc P (t) :
P (t) =
N (t)
kB T
V
(1.20)
Précisons que Pext = d.kB T d’où :
s
P (t) = (P0 − Pext )e
−A
α
kB T
t/2V
m
+ Pext
Durant l’étape d’éjection de l’air, le système à résoudre est alors :

d~
p
d~v


=
+ (P − Pext )πr2
M


dt
dt

s





P (t)
= (P0 − Pext )e
−A
(1.21)
(1.22)
kB T
α
t/2V
m
+ Pext
En calculant la constante de temps de l’éjection de l’air, on voit que cette étude
prédit un phénomène rapide :
τ=
2V
r
∼ 10 ms, dans les conditions étudiées
kB T
A α
m
(1.23)
L’inconvénient de cette méthode est que l’hypothèse de départ (T = cste) est très
mauvaise.
4
1.3 Autres forces
1.3.1
Pesanteur
Parmi les forces autres que la poussée, la fusée est soumise à son poids, d’intensité M g,
dirigé selon l’axe vertical porté par e~y .
1.3.2
Trainée
Les frottements ne sont pas négligeables si l’on cherche à prédire de façon assez précise
la trajectoire de la fusée. Il faut alors prendre en compte la trainée (S est la section
faisant face au fluide, et Cx le coefficient de trainée) :
1
F~ = − SCx ρair v~v
2
1.3.3
(1.24)
Expression des forces
Finalement la prise en compte des forces extérieures nécessite de prendre à chaque instant
d~
p/dt tel que :
1
d~
p
= −M g e~y − SCx ρair v~v
(1.25)
dt
2
1.4 Conclusions
Le mouvement s’effectue en trois phases. D’abord, l’éjection de l’eau :

dp
dv


=
+ 2(P − Pext )πr2
M


dt
dt




r



dVe
2(P − Pext ) 2


= −
πr

dt
ρe




M (Ve ) = Mvide + ρe Ve









 P (Ve ) = P0 ( V − Vi )γ
V − Ve
Puis celle de l’air :

d~v


M


dt

=
d~
p
+ (P − Pext )πr2
dt
s





P (t)
(1.26)
= (P0 − Pext )e
−A
(1.27)
kB T
α
t/2V
m
+ Pext
Et enfin, en vol ”libre” :
M
d~v
d~
p
=
dt
dt
5
(1.28)
2 Simulations numériques
2.1 Paramètres
L’objectif est de prédire numériquement, en résolvant les équations trouvées ci-dessus,
l’angle de tir et le volume d’eau qui permettront d’obtenir la plus longue portée. On
appelle portée la distance entre le point de tir et le point de chute de la fusée, que l’on
notera l.
On fera varier différents paramètres et d’autres resteront constants. Voici un tableau
récapitulatif des valeurs et ordres de grandeurs qui seront utilisés :
Mvide
0, 1 kg
Masse à vide de la fusée
V
1, 0 L
Volume du réservoir
P
10 bars
Pression interne
r
1, 1 cm
Rayon du goulot d’éjection
2
1
S.Cx
0, 002 m
Coefficients de trainée
T
303, 15 K
Température
Vi
0 L < Vi < V
Volume d’eau
θ
0 < θ < 90 deg
Angle de tir
φ
0 deg
La pente du terrain (positive = montée)
2.2 Méthode de calcul
On utilise la méthode des rectangles pour réaliser les intégrations (du premier ordre).
Le pas d’intégration est fixé à ∆t = 0, 0001 s pour les simulations nécessitant un nombre
important de ”tirs”. Le pas de calcul utilisé durant les phases de propulsion (éjection
d’eau ou d’air) est ce pas divisé par 10, soit ∆t = 0, 00001 s. Pour déterminer les valeurs
de θm et Vim maximisant l, on simule 150 × 100 tirs pour 150 valeurs d’angle linéairement
réparties de 0 à 90 degrés et 100 valeurs de volume d’eau initial linéairement distribuées
de 0 à 1 L.
2.3 Prédictions
Les résultats ”bruts” montrant une représentation de l(θ, Vi ) sont donnés par les graphes
1 et 2. On peut d’abord remarquer que les calculs prédisent une faible variation de la
portée pour un écart assez important avec les valeurs optimales (le sommet de la figure 1
est très arrondi et la tâche jaune est large sur le graphe 2). Cette faible dépendance aux
paramètres proche du maximum est problématique pour vérifier les prédictions. Lorsque
l’on s’éloigne suffisamment du maximum, les variations sont plus importantes. Dans les
conditions données, le maximum semble atteint pour :
1
Cette valeur correspond à la surface d’un disque de rayon de 4 cm et d’un Cx de 0,4 (pour un cône
de 20 deg). On peut supposer qu’une connaissance imprécise de cette valeur n’entraine pas une variation
très importante des paramètres optimaux. On pourra, si cela est nécessaire, étudier la façon dont varient
ces valeurs optimales en fonction du SCx .
6
Vi = 0, 32 ± 0, 01 L et θ = 63 ± 0, 06 deg
"H:/fusees/enregistrements/1.00L_10.00b.csv"
120
100
120
80
100
80
60
60
40
40
20
20
0
0
0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
Volume d’eau (L)
0.9
1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle de tir (deg)
Figure 1: Portée en fonction de Vi et θ (vue 3D)
3 Essais et expériences
3.1 Difficultés
Selon les prédictions obtenues, il faut tout d’abord noter que les valeurs de portée relevées
n’auront pas de sens pour un seul tir, mais seulement pour un ensemble. En effet la
méconaissance du SCx empêche de prédire avec exactitude la portée d’un tir. Cependant
on peut vérifier que les valeurs optimales pour les paramètres variables sont correctes et
on peut également vérifier la façon dont faire varier ces paramètres fait varier la portée.
De plus, il faut tenir compte du fait que l’angle optimal n’est peut être pas le même
pour n’importe-quel volume et vice-versa. Bien que ce ne soit pas problématique lors des
simulations sur ordinateur, on ne peut pas réaliser effectivement 15 000 tirs de fusées.
7
90
90
120
"H:/fusees/enregistrements/1.00L_10.00b.csv"
80
100
Angle de tir (deg)
70
60
80
50
60
40
30
40
20
20
10
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Volume d’eau (L)
0.7
Figure 2: Portée en fonction de Vi et θ (vue 2D)
8
0.8
0.9
1