Guides d`ondes. Fibres optiques

Guides d’onde et applications
Emmanuel Rosencher MNO 2
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
8/02/2005
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
1/67
Approche géométrique
W0 2
z0 = π
≈ λ #2
λ
W0
Guide optique:
Propagation sur de longues distances
Espace libre:
Propagation sur de petites distances
Interaction onde-matière faible
Interaction onde-matière forte
n2
θc
θ c'
n
sinθ c' = 2
n1
n1
θ max
Ouverture numérique
n2
ON = sinθ max = n1 sinθ c = n1 1 −
Angle critique de guidage
n2 2
n12
ON =
n12 − n2 2
sin θ ext = n1 sin θ c
2/67
Approche géométrique
Déphasage de Fresnel
Quantification des
directions de propagation
Effet Goos-Hanschen
Pénétration tunnel des photons
3/67
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
4/67
Équations de Maxwell
Poisson
Absence de
monopole magnétique
Lenz
Faraday Ampère
r
∇ .E = 0
(ρ = 0 )
r
∇ .B = 0
r
r
∇× E = − d B
dt
Dans le vide
r 1 d r
r
∇ × B = 2 E + µ0 j =
c dt
Vecteur déplacement
Vecteur polarisation
r
1 d D
ε 0 c2 dt
r 1 d2 r
∇ E − 2 2E = 0
c dt
2
r
E
r
r r
D = ε0 E + P
+
r
re
r
r
r
r
(
1
)
P = q re = α E = ε 0 χ E
Propriétés de la matière
5/67
Équations de Maxwell-Helmholtz
*
r 1 2 r
1 d2 r
∇2 E − 2 d 2 E =
P
2 2
c dt
ε 0 c dt
χ (1)
*
r 1+ χ
2
∇ E−
c2
(1)
d 2 Er = 0
dt 2
Susceptibilité optique linéaire
r
r
n(r )2 = 1 + χ ( 1 ) (r )
Définition de l’indice optique
r r r iω t
E = E (r ) e
Onde monochromatique
r
r2 r
2
2
∇ E + k n(r ) E = 0
Helmholtz
ω =kc
dans le vide
ω =k c
dans la matière
n
6/67
Optique linéaire:
indice optique, vitesse de la lumière et susceptibilité linéaire
P (t ) = q r (t ) = ε0 χ (1) E (t )
c' = c
λ
λ' = λ
nop
Lire Le cours de Physique de Feynman
Chapitre 31 L’origine de l’indice optique
nop
avec
nop = 1 + χ (1)
7/67
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
8/67
Modes de propagation
x
Onde transverse électrique TE
n2
d/2
0
n1
y
0


r r 
E(r ) = E y ( x) e− i β z 


0


z
n2
x
Attention: il y a aussi des composants H z
0< x < d / 2
x>d/2
(
(
y
z
d 2 =0
dy 2
d 2 E ( x) +
y
dx 2
)
)
(k 2n(rr )2 − β 2 )E y (x ) =0
d 2 E (x) + k 2n 2 − β 2 E (x) = 0
y
1
y
dx2
d 2 E (x ) + k 2 n 2 − β 2 E ( x ) = 0
y
2
y
dx2
*
9/67
Modes de propagation
E y (x)
Modes de fuites ou de radiatifs
x
E y (x)
Modes guidés
x
Modes guidés
α 2 = k 2 n12 − β 2
k n2 > β
β
κ 2 = β 2 − k 2 n2 2  k > n2 


*
Résultat utile pour la suite:
 β < n 
 k 1
k n1 < β
κ 2 +α 2 = k 2 n12 − k 2 n2 2 = k 2ON 2
10/67
n = β /k
interdit
n
n1
Modes guidés
x
n2
(
)
κ 2 = β 2 − k 2 n2 2 = k 2 (n2 − n22 )
α 2 = k 2 n12 − β 2 = k 2 n12 − n 2
0< x < d / 2
x>d/2
d 2 E ( x ) +α 2 E ( x ) = 0
y
y
dx 2
d 2 E ( x ) −κ 2 E ( x ) = 0
y
y
dx 2
Continuum: modes radiatifs
Modes pairs guidés
E y (x ) = A cos α x
Modes impairs guidés
E y ( x ) = A sinα x
E y ( x ) = C e −κ x
11/67
Onde transverse électrique TE
E et B continus
d / dx  0
d / dy × E

  y
d / dz  0
B eiω t 

x


 =− d
0
 dt  iω t 
B e 

 z

− d E y = − iβ E y = − iω Bx
dz
d E = − iω B
z
dx y
d E continu
dx y
Continuité de Ey et dEy/dz en x=d/2: modes pairs
A cosα d / 2 = C e− κ d / 2
− Aα sin α d / 2 = − C κ e− κ d / 2
α tg α d / 2 = κ
α 2 = k 2 n12 − β 2
κ 2 = β 2 − k 2 n2 2
β
inconnue
12/67
− cotα d / 2
tg α d / 2
Solution graphique
Solutions paires
*
2
2
tg α d / 2 = k ON − 1
α2
10
8
6
kON 2 − 1
α2
4
Solutions impaires
kON
2
2ON 2
k
− cot α d / 2 =
−1
2
α
Nombre de modes guidés
0.5
1
π/d
12
1.53
24
2.55
3
α
k ON 
N = E
= E 2 d ON 
 π / d 
 λ0

Condition pour être monomode
d<
λ0
2 ON
13/67
Onde transverse magnétique TM
0


rr 
B(r )= By ( x) e− i β z 


0


avec E donné par
r
∇× B=
1 d Er
ni 2 c2 dt
Continuité de By et 1/ni2 dBy/dz en x=d/2:
2
Solutions paires
n
α tg α d / 2 =  1  κ
 n2 
2
Solutions impaires α cot α d / 2 = −  n1  κ
 n2 
14/67
Interprétation géométrique
x
Pour chaque mode m
β m = kn1 cosθ m
d/2
α m = kn1 sin θ m
0
(
)
1/ 2
2
2
κ m = kn1 cos θ m − cosθ c
Déphasage de Fresnel
+
Stationnarité de la phase
n2
k n1
βm
θm
z
n1
n2
2
2
tg α m d / 2 = k ON2 − 1
αm
15/67
Analogie quantique
(
)
Helmholtz
d 2 E (x ) + k 2 n( x )2 − β 2 E ( x ) = 0
y
y
dx2
Schrödinger
2 d2
h
−
ψ ( x) + (V ( x ) − E )ψ ( x ) = 0
2 m dx2
0.5
0.4
0.3
0.2
k 2 n( x )2 ↔ − 2 m V ( x )
h2
β2 ↔ −2 m E
h2
E (x ) ↔ ψ ( x )
0.1
-40
-20
20
Notamment:
+∞
E m E n = ∫ E m ( x ) * En ( x )dx = δ mn
−∞
16/67
40
Dispersion modale
On introduit l’indice optique effectif du mode: neff
L’indice effectif dépend de λ: en effet
α = n 2 −n 2
1
eff
k
β β
= c
k ω
2
2
2 )1 / 2 d
ON
(
tg π n1 − neff
=
−1
2
2
λ
(n1 −neff )
2
2
tg α d / 2 = k ON − 1
α2
neff
neff =
L’indice neff est fonction de 1/λ soit encore de ω
1.8
1.7
Exemple: n1 = 1.8, n2 = 1.2
1.6
ON ≈ 1.34
1.5
1.4
d
= 1
λ0 sm 2 ON
d
≈ 0.37
λ0 sm
1.3
1.2
0
0.5
1
1.5
2
d /λ
Le guide est dispersif !
17/67
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
18/67
1.4
CONFINEMENT
1.2
1
Facteur de confinement
0.8
0.6
Γ=
énergie dans le guide
énergie totale
0.4
0.2
Dans un guide symétrique:
-6
2 ∫ E 2 ( x ) dx
0
∞
2 ∫E
0
2
( x ) dx
-2
∞
d/2
Γ=
-4
∫E
=
1
1+ ℜ
avec
2
4
6
2 ( x ) dx
ℜ= d / 2
d/2
2
∫ E ( x ) dx
0
(
d/2
d /2
2 d/2
2
2( )
2
2
A
∫ E ( x ) dx = ∫ A cos α x dx = 2 ∫ (1 + cos 2α x ) dx = A d + 1 sin αd
4
α
0
0
0
∞
∞
2 −κd
2
2 − 2κ x
C
dx =
e
∫ E ( x ) dx = ∫ C e
2κ
19/67
d/2
d/2
)
()
2
−κd
2
cos
(α md / 2 ) énergiehors du guide
e
ℜm = 2 C
= 2
=
κ A d + 1 sin αd κ m d + 1 sin α d énergiedans le guide
m
α
α
m
Tm = tg α m d / 2 = κ m / α m et α m =
(
avec
)
cos 2 α m d / 2 =
1
1 + Tm2
k ON
1 +Tm2
2 Tm
et sin α m d =
T
ℜm =
10
8
6
1 + Tm2
1
Tm2 + (k d ON )Tm 1 + Tm 2
ℜm → ∞ et Γ → 0 quand m → ∞
4
2
Les modes de plus bas indices sont les plus confinés
0.5
1
1.5
2
2.5
3
m
20/67
Application à une structure laser GaAs/AlGaAs
Variation de l’indice dans AlGaAs
AlGaAs2 AlGaAs1
n
Alx Ga1-xAs
3.6
3.55
3.5
3.45
GaAs
3.4
x1= 0.2
3.35
x2= 0.4
3.25
3.3
nAlGaAs1= 3. 274
.3
.4
0.9
.2
1.1
1.2
.1
1.3
l HµmL
Modes guidés dans GaAs/AlGaAs
nAlGaAs2= 3. 393
3.38
ON= 0.89
1
3.36
dmax = λ/2ON = 0.5 µm
0.8
apuits= 10 nm
0.6
0.4
-0.5
3.32
3.3
ΓGaAs = 0.02 !!!
0.2
-1
3.34
0.5
1
3.28
0
0.5
1
21/671.5
2
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
22/67
Théorie des modes couplés
Par construction:
*
d 2 E ( x) +
m
dx 2
(k 2n(rr )2 − β m2 )Em (x ) = 0
23/67
Théorie des modes couplés
Avertissements:
- calcul générique à de très nombreux domaines de la Physique:
optique non linéaire, micro-ondes, acoustique, mécanique quantique…
- archétype du calcul qui commence mal et termine bien
- demande du sang froid
Rappel: fonction lentement variable dite « enveloppe »
Em ( x ) e i( β m z −ωt ) → Am ( z )Em ( x ) ei ( β m z −ωt )
d A
<< k A
dz
dz = 1 / k
dA<< A
d2 A
dA
<< k
2
dz
dz
24/67
Théorie des modes couplés
perturbation
∆ε (r )
x
z
On introduit une perturbation par exemple Pper (r , t ) = ε 0 ∆ε (r ) E (r , t )
r 1 2 r
1 d2 r
∇2 E − 2 d 2 E =
P
2 2
c dt
ε 0 c dt
r
(
1) r r
P = ε0 χ E + Pper
r
2
2 r
2
∇ E + k n(r ) E = µ0 d 2 Pper (r, t )
2
dt
Équation fondamentale de l’optoélectronique
i(ω t − β m z )
+ c.c.
La base des modes est complète: E (x, z, t )= ∑ Am ( z ) Em ( x )e
m
Si Pper = 0, les modes sont stationnaires c.a.d Am = cst
par exemple: A1 = cst, Am >1 = 0
solution
25/67
La présence de la perturbation Pper va coupler les modes
(cf mécanique quantique)
 d 2 + d 2  Er + k 2 n(rr )2 Er = µ d 2 P (r , t )
 2

0 2 per
2
 dx dz 
dt
?
E (x, z, t ) = ∑ Am ( z ) Em ( x )ei(ω t − β m z ) + c.c.
m
modes propres

 2
2
2 r 2

∑  Am ( z ) d 2 Em (x ) − β m Em ( x) + k n(r ) Em ( x)
 dx

m
2
 d2

i(ωt − β m z )
d
d
+
Am (z )− 2 i β m
Am ( z )  Em (x ) e
+ c.c. = µ0
Pper
2
2
 dz
dz

dt
fonction lentement variable
26/67
Ce n’était pas si catastrophique que cela …
2


i
(
ω
t
−
β
z
)
d
d
m
 − ∑ 2 i β m Am ( z ) Em ( x )e
 + c.c. = µ0
P


2 per
dz
dt
 m

∞
On projette sur le mode q: Eq Em = ∫ Em (x )Eq ( x)* dx = δ m,q
−∞
en n’oubliant par la dégénérescence
d
dz
(
i ωt − β q z
Aq+ ( z ) e
)−
(
d A− ( z ) ei ωt + β q z
dz q
) =i
(± β )2 ↔ − 2 m2 E
h
µ0 d 2 ∞
r
*
P
(
r
,
t
)
E
(
x
)
dx
∫
per
q
2 β q dt 2
−∞
La perturbation nourrit les modes q
27/67
Théorie des modes couplés: résultats
r
r iω t
Perturbation synchrone: Pper (r , t ) = Pper (r ) e
*
d A+ ( z ) e −iβ q z − d A− ( z ) e +iβ q z
dz q
dz q
µ
= − i 2 β0
q
ω
2
∞
*
∫ Pper (r )Eq ( x ) dx
−∞
−
Sans couplage vers l’arrière: Aq ( z ) = 0
d A ( z ) e−iβ q z = − i µ0
dz q
2βq
ω
2
∞
r
*
∫ Pper (r )Eq ( x ) dx
−∞
Fondamental pour optique non linéaire, acoustique, électronique, guide de Bragg,
…
28/67
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
29/67
ΛM
Guide de Bragg
x
h
D
r
r
Pper (r ) = ε 0 ε M ( x) cos (K M z ) E (r )
La base des modes est complète
Même fréquence ω
avec
εM (x)
K M = 2π
ΛM
E (x, z ) = ∑ Am ( z ) Em ( x )e −iβ m z + c.c.
m
r ε ε (x)
−i ( βm ± K M ) z
Pper (r ) = 0 M
A
(
z
)
E
(
x
)
e
+ c.c.
∑
m
m
2
m
30/67
d A + ( z ) e−iβ q z − d A− ( z ) eiβ q z =
dz q
dz q
Diffraction vers l’avant
Diffraction vers l’arrière
µ ε ε
+ ( z ) e −i ( β m ± K M )z ε ( x )E ( x )E ( x )* dx
− i 0 0 M ω 2 ∑ Am
∫ M
m
q
Diffraction
vers l’arrière
4 βq
m
µ ε ε
− ( z ) ei ( β m m K M )z ε (x )E ( x )E ( x )* dx
− i 0 0 M ω 2 ∑ Am
∫ M
m
q
4 βq
m
Seuls transferts efficaces
d A+ ( z ) = − i µ0ε0 ε M ω 2 ε ( x)E ( x )E ( x )* dxA+ ( z )e −i ∆βz
∫ M
m
q
m
dz q
4β q
g mq
d A+ ( z )
dz q
vers l’avant
µ ε ε
−
= − i 04 0β M ω 2 ∫ ε M ( x )Em ( x )Eq ( x ) * dxAm
( z )e −i ∆β ' z
q
g mq
∆β = β m − β q ± K M ≈ 0
∆β ' = β m + β q m K M ≈ 0
vers l’arrière vers l’arrière
31/67
d A+ ( z ) = − i g A + (z )e−i ∆βz
mq m
dz q
vers l’avant
d A+ ( z ) = − i g A− ( z )e −i ∆β ' z
mq m
dz q
vers l’arrière
g mq ∫ e −i∆βz dz
Modes couplés
m
∆β =
βm − β q ± Km
βm + βq ± Km
q
Réflexion de Bragg: m = -q
Couplage du mode q vers l’arrière – q efficace seulement si:
∆β ' = 2 β q − K M = 2 β q − Λ2π ≈ 0
M
∆β '
est le désaccord de phase
32/67
Accord de phase:
d A− (z ) = − i g A+ ( z )e −i ∆β z
q
dz q
d A+ ( z ) = i g A− (z ) ei ∆β z
q
dz q
∆β = 0
∆β = 0
d A− ( z ) = − i g A+ ( z )
q
dz q
d A+ ( z ) = i g A− ( z )
q
dz q
g décrit la force du couplage entre les deux ondes
Conditions limites: onde +q entrante de la gauche, pas d’onde –q incidente de la droite
Aq+ (0 ) = A0
Aq− ( L ) = 0
Aq+ (0 )
+
Aq (z )=
ch[ g ( z − L )]
ch ( gL )
Onde transmise
Aq+ (0 )
−
Aq ( z ) =
sh[ g ( z − L )]
i ch ( gL )
Onde réfléchie
33/67
Accord de phase: interprétation vectorielle
" λ4 "
ΛM
Aq+ ≈ e− gz
Aq− ( z )
z
L
0
βq
− βq
2π
ΛM
KM =
34/67
Filtre de Bragg
d A− ( z ) = − i g A+ ( z )e−i ∆β z
q
dz q
d A+ ( z ) = i g A− (z ) ei ∆β z
q
dz q
∆β ≠ 0
d 2 A+ − i∆β d A+ − g 2 A+ = 0
q
q
dz q
dz 2
Aq+ ( z ) et Aq− ( z ) combinaison linéaire de e
(i∆β ±δ )
2
Aq+ (0 ) = A0
z
avec
δ = 4 g 2 − ∆β 2
stop Tband
1
Aq− ( L ) = 0
0.8
gL=1
T=
0.6
2
+
2
Aq ( L )
δ
=
+( )
δ ch (δ L / 2 ) + i∆β sh(δ L / 2 )
Aq 0
gL=2
gL=5
0.4
0.2
transmittivité d’un filtre de Bragg
-4
-2
2
35/67 4
Db •2g
Technologie de guide d’onde pour laser Bragg
36/67
Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:
les rayons piégés
B: Équations de Maxwell
Indice optique
Réfraction
Susceptibilité linéaire
C: Modes de propagations
Transverses électriques
Transverses magnétiques
Analogie quantique
Interprétation géométrique
Dispersion modale
C: Confinement optique
application aux lasers
D: Théorie des modes couplés
fonction enveloppe
E: Guides de Bragg
accord de phase
guide de Bragg
F: Technologies des guides
d’ondes
Fibres optiques
Gap photoniques
37/67
FIBRES OPTIQUES
(
r
r r
∇ 2 E + k 2 n(r )2 E = 0
z
coordonnées
cylindriques
ψ = Ez ou Bz
Solutions séparables:
1.46
1.45
n(r )
)
1 d r d (ψ ) + d 2 ψ + 1 d 2 ψ + k 2 n(r )ψ = 0
r dr dr
dz 2
r 2 dϕ 2
ψ = ψ (r ) e ±i l ϕ ei (ω t − β z )
1 d ψ + d 2 ψ +  n(r )2 k 2 − β 2 − l 2  ψ = 0


r dr
dr 2

r2 
Croyez le ou non, il y a des solutions algébriques: les fonctions de Bessel
h2 = n(r )2 k 2 − β 2 > 0
ψ (r ) = c1 Jl (h r ) + c2 Yl (h r )
q 2 = β 2 − n(r )2 k 2 > 0
ψ (r ) = c1 Il (q r ) + c2 K l (q r )
38/67
Dispersion modale d’une fibre
39/67
FIBRES OPTIQUES
tirage de fibres
Fibres monomodes
et multimodes
40/67
vers 1.55 µm: 0.2 dB/km !!
Exemple: atténuation de x dB → de e-x
pour 50 km → de e- 10 ≈ 4.5 10-5
répéteurs
41/67
CAPACITES DES SYSTEMES DE TELECOMMUNICATIONS
A FIBRES OPTIQUES
soliton
PetaBits/s . km
1
0.1
0.01
1994
6 térabits sur 2700 km
1996
1998
2000
2002
date
2004
Bande passante multipliée par
le nombre de voies
Capacité des réseaux télécom:
doublement tous les 16 mois
42/67
FIBRES OPTIQUES A RESEAU DE BRAGG
Laser
Beam
Laser
Beam
Cladding
ø 125µm
Core
ø 9µm
Fiber
Λ
Grating
Interference pattern
43/67
LASER A FIBRES OPTIQUES DE PUISSANCE
44/67
Photonic Crystal Fiber: guidage dans l’air
[ R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999) ]
Fabrication (e.g.)
silica glass tube (cm’s)
~50 µm
fiber
draw
~1 mm
fuse &
draw
45/67
Photonic Crystal Fiber: guidage dans l’air
[ R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999) ]
10µm
5µm
46/67
Photonic Crystal Fiber: guidage dans l’air
[ R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999) ]
transmitted intensity
after ~ 3cm
ω (c/a) (not 2pc/a)
47/67
Cristaux photoniques
1887
1-D
2-D
periodic in
one direction
periodic in
two directions
2 ( )2 r
E
+
k
n x E =0
2
dx
2
2
r
Guide d’onde d r d r
2 (
2
E + 2 E + k n x, z ) E = 0
2
Fabry Pérot
de Bragg
d2 r
1987
dx
dz
3-D
periodic in
three directions
2 r
r
r
∇ E + k n(r )2 E = 0
r
n(r ) structure périodique
2
BLOCH !
Steven G.
48/67
Johnson MIT
/λ
a
1
frequency ω (2pc/a) = a
Périodicité 2d, ε=12:1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Photonic Band Gap
0.3
0.2
TM bands
0.1
irreducible Brillouin zone
M
r
k
Γ
X
0
Γ
TM
X
E
M
Γ
gap for n > ~1.75:1
H
Steven G.
49/67
Johnson MIT
Périodicité 2d, ε=12:1
1
0.9
0.8
Ez
0.7
0.6
0.5
(+ 90° rotated version)
0.4
Photonic Band Gap
0.3
0.2
TM bands
0.1
Ez
0
Γ
–
+
TM
X
E
M
Γ
gap for n > ~1.75:1
H
Steven G.
50/67
Johnson MIT
3d photonic crystal: complete gap , ε=12:1
Steven G. Johnson MIT
I.
0.8
II.
0.7
0.6
21 % g ap
0.5
0.4
z
L'
0.3
U'
Γ
X
U'' U W K'
L
W' K
0.2
0.1
0
UÕ
I: rod layer
II: hole la yer
L
Γ
X
W
K
gap for n > ~4:1
51/67
[ S. G. Johnson et al., Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]
Steven G. Johnson MIT
Méthode de fabrication
(diamond-like: rods ~ “bonds”)
C
rod lay er
B
A
ho
le lay
er
hole
layer
[ S. G. Johnson et al.,
Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]
Up to ~ 27% gap
for Si/air
52/67
Steven G. Johnson MIT
Making Rods & Holes Simultaneously
side view
s ubs tra te
Si
top view
53/67
Making Rods & Holes Simultaneously
expose/etch
holes
A
A
A
A
A
A
s ubs tra te
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
54/67
Making Rods & Holes Simultaneously
backfill with
silica (SiO2)
& polish
A
A
A
A
A
A
s ubs tra te
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
55/67
Making Rods & Holes Simultaneously
deposit another
Si layer
la y e r 1
A
A
A
A
A
A
s ubs tra te
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
56/67
Making Rods & Holes Simultaneously
dig more holes
offset
& overlapping
la y e r 1
B
B
A
B
A
B
A
A
s ubs tra te
A
B
A
A
A
A
B
B
A
A
B
A
A
A
A
A
B
B
A
B
A
B
B
B
A
A
B
B
B
B
A
B
B
B
B
B
A
A
A
A
B
B
57/67
Making Rods & Holes Simultaneously
backfill
la y e r 1
B
B
A
B
A
B
A
A
s ubs tra te
A
B
A
A
A
A
B
B
A
A
B
A
A
A
A
A
B
B
A
B
A
B
B
B
A
A
B
B
B
B
A
B
B
B
B
B
A
A
A
A
B
B
58/67
Making Rods & Holes Simultaneously
etcetera
(dissolve
silica
when
done)
la y e r 3
A
C
la y e r 2
la y e r 1
A
A
C
C
B
C
B
A
one
period
A
B
A
B
A
A
s ubs tra te
C
B
A
C
C
B
A
C
C
A
C
C
A
C
C
A
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
A
C
B
A
B
A
B
A
C
C
C
C
B
A
B
C
59/67
Making Rods & Holes Simultaneously
etcetera
la y e r 3
A
C
la y e r 2
la y e r 1
hole layers
A
A
C
C
B
C
B
A
one
period
A
B
A
B
A
A
s ubs tra te
C
B
A
C
C
B
A
C
C
A
C
C
A
C
C
A
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
A
C
B
A
B
A
B
A
C
C
C
C
B
A
B
C
60/67
Making Rods & Holes Simultaneously
etcetera
la y e r 3
A
C
la y e r 2
la y e r 1
rod layers
A
A
C
C
B
C
B
A
one
period
A
B
A
B
A
A
s ubs tra te
C
B
A
C
C
B
A
C
C
A
C
C
A
C
C
A
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
C
B
A
B
A
B
A
C
A
B
C
B
A
C
B
A
C
B
A
B
A
B
A
C
C
C
C
B
A
B
C
61/67
e-beam Fabrication: Top View
5 µm
[ M. Qi, H.62/67
Smith, MIT ]
e-beam Fabrication: Side Views
(cleaving worst sample)
63/67
[ M. Qi, H. Smith, MIT ]
Le cristal de « tas de bois »
[ K. Ho et al., Solid State Comm. 89, 413 (1994) ]
[ H. S. Sözüer et al., J. Mod. Opt. 41, 231 (1994) ]
(diamond-like, “bonds”)
Up to ~ 17% gap for Si/air
[ Figures from S. Y. Lin et al., Nature 394,64/67
251 (1998) ]
Le cristal de « tas de bois »
[ S. Y. Lin et al., Nature 394, 251 (1998) ]
(4 “log” layers = 1 period)
Si
gap
http://www.sandia.gov/media/photonic.htm
“UV Stepper:”
e-beam mask at ~4x size
+ UV through mask, focused on substrate
Good: high resolution, mass production
Bad: expensive ($20
million)
65/67
Mass-production II: Colloids
(evaporate)
silica (SiO2)
microspheres (diameter < 1µm)
sediment by gravity into
close-packed fcc lattice!
66/67
Inverse Opals
[ figs courtesy
D. Norris, UMN ]
fcc solid spheres do not have a gap…
…but fcc spherical holes in Si do have a gap
sub-micron colloidal spheres
Template
(synthetic opal)
3D
Infiltration
complete band gap
Remove
Template
“Inverted Opal”
~ 10% gap between 8th & 9th bands
small gap, upper bands: sensitive to 67/67
disorder
[ fig courtesy
D. Norris, UMN ]
68/67