Ch 3 Sommaire ARITHMÉTIQUE 0- Objectifs 1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier 2- Nombres premiers 3- Applications 0- Objectifs ● Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier ● Utiliser la division euclidienne ● Notion de nombre premier ● Recourir à une décomposition en facteurs premiers dans des cas simples ● Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible 1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier Définition : Pour tout nombre entier a, un nombre entier N est un multiple de a si ce nombre N est égal au produit de a par un nombre entier. On peut dire aussi que a est un diviseur de N. Exemples : * Les multiples positifs de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24,… * Les diviseurs positifs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1×6 = 2×3 * 256 est un multiple de 8 car 256 = 8×32 * 13 est un diviseur de 91 car 91=13×7 Remarque : En additionnant les diviseurs positifs de 6 (autre que 6), on a 1+2+3 = 6 On dit que 6 est un nombre parfait. Utilisation de la division euclidienne : * 325 ÷R 13 donne un reste égal à 0 donc 13 est un diviseur de 325 325 = 13×25 * 325 ÷R 7 donne un reste égal à 3 donc 7 n'est pas un diviseur de 325 325 = 7×46+3 Utilisation des critères de divisibilité : * 325 est un multiple de 5 car son chiffre des unités est 5 * 325 n'est pas un multiple de 3, ni de 9, car 3+2+5 = 10 qui n'est pas un multiple de 3, ni de 9. * 325 n'est pas un multiple de 2 car son chiffre des unités est impair. 2- Nombres premiers Définition : Lorsqu'un nombre entier positif n'a que deux diviseurs positifs (1 et luimême), on dit que c'est un nombre premier. Exemples : * 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers. * 9 n'est pas un nombre premier car il a plus de 2 diviseurs : 1, 3 et 9. En effet, 9 = 1×9 = 3×3. Remarque : 9 = 3² On dit que 9 est un carré parfait. Mais ce n'est pas un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 3 et 9 et on a 1+3 = 4 qui est différent de 9 (voir cidessus). Propriété : Tout nombre entier qui n'est pas premier peut se décomposer en un produit de nombres premiers. Exemples : * 18 = 2×3×3 * 40 = 2×2×2×5 Utilisation de la liste des nombres premiers : On regarde successivement la division par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… * décomposer 325 → 2 n'est pas un diviseur de 325 car 5 n'est pas un multiple de 2 → 3 n'est pas un diviseur de 325 car 3+2+5 = 10 qui n'est pas divisible par 3 → 5 est un diviseur de 325 car 5 est son chiffre des unités 325 ÷ 5 = 65 donc 325 = 5×65 → 5 est un diviseur de 65 car 5 est son chiffre des unités 65 ÷ 5 = 13 donc 65 = 5×13 → 13 est un nombre premier donc 325 = 5×5×13 Présentation : 325 = 5×65 = 5×5×13 * décomposer 759 → 2 n'est pas un diviseur de 759 car 59n'est pas un multiple de 2 → 3 est un diviseur de 759 car 7+5+9= 21 qui est divisible par 3 759 ÷ 3 = 253 donc 759 = 3×253 → 3 n'est pas un diviseur de 253 car 2+5+3 = 10 qui n'est pas divisible par 3 → 7 n'est pas un diviseur de 253 car 253 ÷ 7 ≈ 36,14… n'est pas un entier → 11 est un diviseur de 253 car 253 ÷ 11 = 23 donc 253 → 23 est un nombre premier donc 759 = 3×11×23 Présentation : 325 = 5×65 = 5×5×13 = 11×23 3- Applications Exemple 1 : simplifier une fraction pour la rendre irréductible 336 * Rendre irréductible la fraction 160 336 = 2×168 = 2×2×84 = 2×2×2×42 = 2×2×2×2×21 = 2×2×2×2×3×7 160 = 2×80 = 2×2×40 = 2×2×2×20 = 2×2×2×2×10 = 2×2×2×2×2×5 336 2 ×2 ×2 × 2 × 3 ×7 3 × 7 21 donc = = = 160 2 ×2 × 2 × 2 × 2 ×5 2 ×5 10 Exemple 2 : engrenages * Un correcteur comprend un engrenage de 2 roues de 15 dents et 35 dents. Quel nombre entier de tours doit effectuer au minimum la petite roue pour que la grande roue ait tournée aussi d'un nombre entier de tours ? On a un engrenage donc les deux roues tournent du même nombre de dents. Pour un nombre entier de tours, la petite roue tourne d'un multiple de 15 dents et la grande roue tourne d'un multiple de 35 dents : on cherche donc un multiple commun de 15 et de 35 pour que les 2 roues aient tourné chacune d'un nombre entier de tour. Or, 15 = 3×5 et 35 = 5×7 donc 3×5×7 = 105 est un multiple commun de 15 et de 35, et c'est le plus petit. On a : 105 = 15×7 = 35×3 Ainsi, la petite roue (15 dents) doit effectuer au minimum 7 tours pour que la grande roue (35 dents) effectue 3 tours.