corrigé

Exercice 81 page 74 attention : la question 2)d) est en fait la fin de la question 4b) !
1) 107 , 137 , 167 , 197 , 227 , 257
2) a) Chaque terme est de la forme : 𝑢1 = 𝑝 𝑒𝑡 𝑢𝑛 = 𝑝 + 𝑟(𝑛 − 1)𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢4 = 3 + 3𝑟
composé puisque 3 est un diviseur .
b) A chaque fois , p est diviseur du (p + 1)ème terme de la suite donc on ne peut pas trouver
une suite entièrement composée de nombres premiers .
c) Le nombre maximal de nombres premiers sera donc p .
e) Il faut que le premier terme soit supérieur ou égal à N sinon par question c) , il n’y aura pas
N termes . Et puisque la raison est positive , tous les termes sont supérieurs à N .
1) a) On peut choisir , 2 , 5 .
b) Supposons r impaire :
𝑢1 = 2𝑘 𝑒𝑡 𝑢𝑛 = 2𝑘 + (2𝑘′ + 1)(𝑛 − 1) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑢2 = 2𝑘 + 2𝑘 ′ + 1 , 𝑢3 = 2𝑘 + 4𝑘 ′ + 2 non
premier donc seulement 2 termes .
c) tableau de congruence
0
1
2
U1
U2
U1
U2
U1
U2
0
0
0
1
1
2
2
1
1
2
2
0
0
1
2
2
1
0
1
1
0
La plus petite valeur de 𝑢0 est 2 si on veut des nombres premiers .
Les nombres étant premiers , ils ne sont pas divisibles par 3 donc a est un multiple de 3
2) On doit avoir : 2 × 3 × 5 × 7 = 210 : r multiple de 210
b) Prenons p = 22 m + 1 . Testons les valeurs de m et regardons la table page 198 .
199 , 409 , 619, 829 , 1039 , 1249 , 1459 , 1669 , 1879 , 2089
Exercice 87 page 76
𝑛4 − 12𝑛2 + 16 = (𝑛2 + 𝑎𝑛 + 𝑏)(𝑛2 + 𝑐𝑛 + 𝑑)
= 𝑛4 + (𝑐 + 𝑎)𝑛3 + (𝑑 + 𝑏 + 𝑎𝑐 )𝑛2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 )𝑛 + 𝑏𝑑
𝑐 = −𝑎
𝑐 = −𝑎
𝑐+𝑎 = 0
𝑏 = −4
2
𝑑 + 𝑏 − 𝑎 = −12
𝑑=𝑏
𝑑 + 𝑏 + 𝑎𝑐 = −12
𝑑 = −4
{
𝑑𝑜𝑛𝑐 {
𝑑𝑜𝑛𝑐 {
𝑑𝑜𝑛𝑐 {
𝑎𝑑 − 𝑎𝑏 = 0
2𝑏 − 𝑎2 = −12
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 0
𝑎=2
𝑏𝑑 = 16
𝑏2 = 16
𝑏𝑑 = 16
𝑐 = −2
𝑛4 − 12𝑛2 + 16 = (𝑛2 + 2𝑛 − 4)(𝑛2 − 2𝑛 − 4)
Les diviseurs doivent donc être égaux à 1 ou – 1
Les solutions sont donc n = 1 , -1 , 3 ou – 3 .
Exercice 89 page 76
Il semble que N soit un multiple de 3n va donc travailler modulo 3
Les entiers a , b et c sont premiers supérieurs à 3 donc 𝑎 ≡ 1[3] 𝑜𝑢 𝑎 ≡ 2[3] ; de même pour
b et c .
𝑎2 ≡ 𝑏2 ≡ 𝑐 2 ≡ 1[3]𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐² ≡ 3[3] ≡ 0[3]
N est donc un multiple de 3 !