Arithmétique 2 - Activité 1- Introduction des nombres premiers Définition : Un entier naturel est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui même. Vocabulaire : • Un nombre qui n'est pas premier est appelé nombre composé. • Etudier la primalité d'un nombre c'est déterminer s'il est premier ou composé. Activité 1 : • 1 est-il un nombre premier ? Justifier. • 2 est-il un nombre premier ? Justifier. • 3 est-il un nombre premier ? Justifier. • 4 est-il un nombre premier ? Justifier. • 0 est-il un nombre premier ? Justifier. Activité 2 : Sur les 20 premiers entiers, déterminer s'ils sont premiers ou non en détaillant pour chacun votre explication. Activité 3 : Soit n un entier naturel tel que n>1 1) Quel est le plus petit multiple de n ? Ce multiple est-il premier ? 2) Parmi tous les multiples de n, combien peuvent-être premiers ? Expliquer. Activité 4 1) Identifier sur la grille tous les nombres premiers inférieurs à 100. Activité 5 Ecrire un algorithme à qui on entre un nombre N et qui affiche en sortie « Premier » ou « Composé ». Proposer toute amélioration possible pour accélérer cet algorithme. Partie Prof Activité 1 • 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur positif (lui même). • 2 est premier car d(2)={1;2} et 2≠1 • 3 est premier car d(3)={1;3} et 3≠1 • 4 n'est pas premier car d(4)={1;2;4} • 0 n'est pas premier car d(0)= ℕ (tous les nombres divisent 0). Activité 2 : question ouverte Confronter les méthodes. Doit amorcer : • L'étude du nombre de diviseurs positifs (2=>premier) • Le principe du crible : rayer les mutliples. Activité 3 : amorcer le principe du crible. 1) C'est 0 car 0=0×n . 0 n'est pas premier. 2) Les multiples de n sont les k ×n avec k ∈ ℕ . Pour k >1 , kn n'est pas premier car n divise kn et 1<n <kn , donc la définition de la primalité n'est pas remplie (kn a trois diviseurs distincts). Conclusion : le seul multiple de n qui peut être premier est n lui même. Activité 4 Initialisation : on barre 0 puis 1. 2 est premier, donc on barre ses mutliple. Répétition : Après l'étude d'un nombre, la première case non barrée suivante contient nécessairement un nombre premier. Supposons en effet que cette case contienne un nombre composé : il aurait un diviseur différent de 1 inférieur à lui même, et donc étudié auparavant. Cette case aurait donc été barrée comme multiple de ce diviseur. Jusque quand ? sentir qu'au delà de 10, tout est fait. Conclusion : après avoir criblé tous les nombres jusque 100, il ne reste que des nombres premiers, et tous les nombres premiers. Activité 5 Algorithmes : voir aussi scratch. Entrée : N Initialisation : 2→ d Traitement Tant que N N −E >0 ou d<N faire : d d ( ) d+1→ d Fin tant que Sortie Si d=N , alors afficher « Premier » sinon afficher « Composé » Amélioration 1 : Ne faire que tant que d⩽√ N Amélioration 2 : Après 2, on peut sauter tous les nombres pairs. Preuve de la condition avec √N Elle est vraie. Si p divise n, alors il existe q ∈ ℕ tel que n= pq . Quitte à renommer p en q, on peut considérer que : p ⩽q , et donc p 2 ⩽pq c'est à dire p 2 ⩽n . On a donc aussi et enfin car p >0 √ p 2 ⩽√ n (car la fonction racine carré est croissante sur ℝ+ ) p ⩽ √n car p >0 .