Le cours - Playmaths

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Loi binomiale
I. Répétition d’expériences identiques et
indépendantes.
1) Répétition d’expériences indépendantes
Définition :
Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles
ont les mêmes issues, les mêmes probabilités pour chaque issue et si la réalisation d’une
issue ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.
Exemple :
Lancer plusieurs fois de suite un dé et noter les résultats.
Tirer plusieurs fois de suite une boule dans un sac avec remise.
On représente généralement les issues de l’expérience considérée à l’aide d’un arbre
pondéré.
Propriété :
La probabilité d’une issue s’obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le
chemin représentant cette issue.
Exemple :
Ex 1-2-3 p.254
2) Epreuve de Bernoulli :
Définition :
Lorsque dans une expérience aléatoire, on ne s’intéresse qu’à la réalisation d’un certain
événement S, on dit que cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
Si la probabilité du succès est p, on parle d’épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Exemples :
 Le jet d'une pièce de monnaie bien équilibrée constitue l'exemple le plus simple
d'épreuve de Bernoulli : la probabilité du succès («pile» par exemple) est 0,5 et celle de
l'échec («face» par conséquent) est également 0,5.
 Mais le jet d'un dé classique peut également constituer un exemple d'épreuve de
Bernoulli, si l'on décide par exemple qu'un succès consiste à obtenir le 6 et que par
1
conséquent un échec consiste à ne pas obtenir le 6. La probabilité du succès est
et
6
5
celle de l'échec est .
6
Remarque :
Si dans une épreuve de Bernoulli la probabilité du succès est p, la probabilité de l'échec est
1 - p.
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3) Schéma de Bernoulli
Définition :
On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p la répétition de n épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p.
Exemples :
 Si l'on jette trois fois la même pièce de monnaie, on est en présence d'un schéma de
Bernoulli à 3 épreuves.
 Une urne contient 3 boules noires et 5 blanches. Une expérience consiste à extraire
trois boules de cette urne et à noter leur couleur.
- Si le tirage des trois boules se fait avec remise, on est bien en présence d'un
schéma de Bernoulli à 3 épreuves, la probabilité d'un succès (obtenir une boule
5
3
blanche par exemple) étant
et celle de l'échec (obtenir une boule noire) étant .
8
8
- Si par contre le tirage se fait sans remise, nous ne sommes plus en présence d'un
schéma de Bernoulli puisque les épreuves ne sont plus indépendantes les unes des
autres.
II. Loi binomiale
1) Définition :
On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli
identiques. Pour chacune d’elles, on note p la probabilité d’obtenir un succès S.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès est appelée loi
binomiale de paramètres n et p.
On note cette loi : B(n ; p)
Exemple
On lance trois fois de suite un dé à six faces bien équilibré. On s’intéresse à l’événement
« sortie du 6 »
Soit X la variable aléatoire, qui à chaque issue, associe le nombre de succès au terme des 3
lancers.
L’événement « X = 2 » est l’événement « obtenir deux six »
3
5
P(X = 0) =  
6
52
La probabilité d’obtenir exactement un 6 est :
P(X = 1) = 3 3
6
5
La probabilité d’obtenir exactement deux 6 est : P(X = 2) = 3  3
6
1
La probabilité d’obtenir trois 6 est :
P(X = 3) = 3
6
On peut présenter la loi de probabilité de X sous forme de tableau :
Nombre de
0
1
2
3
succès xi
La probabilité de n’obtenir aucun 6 est :
P(X = xi)
On peut ainsi vérifier que la somme des probabilités de la 2e ligne vaut 1.
3
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2) Coefficients binomiaux
On considère l’arbre associé à un schéma de Bernoulli constitué pas la répétition de n
expériences.
k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n
On note nk .(on lit « k parmi n ») le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès

Les nombres
  sont appelés coefficients binomiaux.
n
k
Propriétés :
1) n0  1 ( il n’y a qu’un seul chemin réalisant 0 succès)
2)
3)

   1 ( il n’y a qu’un seul chemin réalisant n succès)
   n ( il y a n chemins réalisant 1 succès)
n
n
n
1
On peut retrouver ces coefficients à l’aide du triangle de pascal
n\k
0
1
2
3
0
1
1
1
1
2
1
3
4
5
2
1
 
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
6
7
4
2
1
Ex 4-5-6 p.254
4) Loi binomiale
Théorème :
Si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ; p), alors, pour tout entier k tel
n 
que 0 ≤ k ≤ n, P(X = k) =   pk (1  p)n k .
k 
On admet que :
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, son espérance est
E(X) = n p
Ex 7-8 …. P.254-255
4
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V.
Echantillonnage Intervalle de fluctuation
1) Exemple
Une urne contient des boules blanches dont la proportion est p.
On suppose p connu, par exemple, p = 0,6.
Les fréquences de boules blanches obtenues, par simulation, à partir de 20 échantillons,
chacun de taille 100 sont :
0,51 – 0,62 – 0,68 – 0,55 – 0,47 – 0,6 – 0,69 – 0,58 – 0,61 – 0,67 – 0,55 – 0,63 – 0,53 – 0,54 –
0,52 – 0,68 – 0,69 – 0,54 – 0,55 – 0,59.
On constate que sur cet exemple les fréquences observées fluctuent.
Ce phénomène est appelé fluctuation d’échantillonnage.
Plus précisément, on peut constater que, pour la plupart des échantillons, la fréquence de
sortie d’une boule blanche se trouve dans l’intervalle [0,5 ; 0,7]. On dispose ainsi d’un ordre
de grandeur du nombre d’échantillons dont la fréquence appartient à l’intervalle [0,5 ; 0,7].
Dans l’exemple, on peut vérifier qu’il y en a 19 sur 20, c’est-à-dire 95%.
Ex.25-26 p.334
2)Intervalle proposé en seconde
1
1 

;p 
On a vu en seconde que pour un échantillon de taille n l’intervalle p 
 est un
n
n

intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95%.
Il faut pour cela que n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8.
3)Intervalle de fluctuation
Un échantillon de taille n correspond au tirage de n éléments dans les mêmes conditions de
manière indépendantes lorsque la population est très grande. Nous sommes donc en présence
d’une loi binomiale.
On construit le tableau P(X≤ k).
a b
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est l’intervalle  ; 
n n 
si a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 2,5%
et b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 97,5%
Il faut pour cela que n ≥ 30 ; np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5.
Ex. 28-29-30 .. p.335
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4) Prise de décision
Dans ce paragraphe, la proportion du caractère étudié dans la population est supposée être
égale à p.
La prise de décision consiste, à partir d’un échantillon de taille n, à valider ou non l’hypothèse
faite sur la proportion p.
Il faut :
 Calculer la fréquence observée du caractère dans l’échantillon.
 Vérifier si les conditions sur les paramètres n et p sont vérifiées :
n ≥ 30 ; np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5
Alors on peut déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95, sinon,
on prend les intervalles proposés en seconde ou première.
 On applique le règle de décision :
Règles de décision :
 Si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil
de 0,95, on accepte l’hypothèse faite sur la proportion p.
 Si la fréquence observée f n’ appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 0,95, on rejette l’hypothèse faite sur la proportion p avec un risque d’erreur de
5%.
Ex.33-34 … p.335-336
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