SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés Systèmes amortis I

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 E. VAN BRACKEL
TD de Physique-Chimie
TD
11
SP6 - Partie 2 : Des oscillateurs amortis et forcés
Systèmes amortis
I
4. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de u(t) et i(t) et
tracer les courbes correspondantes.
Oscillateur à ressort vertical
5. Que se passe-t-il si on augmente ou diminue la valeur de la résistance ?
Reprendre l’exercice de la partie précédente. On va le rendre plus "réel" en lui
→
−
−
ajoutant des frottements fluides, proportionnels à la vitesse : F frotts = −h→
v , où
−3
−1
h = 8, 0 × 10 kg.s .
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
III
1. Etablir la nouvelle équation différentielle vérifiée à z(t) et la mettre sous forme canonique pour en déduire le facteur de qualité et la pulsation caractéristique.
On place maintenant les composants R, L et C en série.
2. Calculer numériquement Q et conclure quant au régime transitoire attendu.
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle.
3. Déterminer la solution z(t) avec les mêmes conditions initiales que dans le TD précédent. Préciser les expressions de la pseudo-période T et du temps de relaxation
τ.
II
Circuit RLC série
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement.
4. Quel est l’ordre de grandeur du nombre d’oscillations que l’on pourra voir à l’œil nu ?
Systèmes en Régime Sinusoïdal Forcé
5. Tracer l’allure de la trajectoire de phase suivie par cet oscillateur, dans le plan de
phase (x, ẋ). Ajouter sur le même graphe la trajectoire de phase qu’on aurait obtenu
en l’absence de frottements.
IV
iL(t)
Circuit RLC parallèle
On considère le circuit ci-contre, avec
C = 1 µF, L = 0, 1 mH et R = 1 kΩ.
L’armature supérieure porte la charge
Q(t = 0) = 20 µC. On ferme l’interrupteur
à t=0.
L
R
On considère un circuit RL série alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = E cos(ωt).
K
iR(t)
C
Circuit RC en régime forcé
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par le courant traversant le circuit. Est-ce facile
de la résoudre ?
i(t)
u(t)
2. On passe en notations complexes. Quand peut-on le faire de manière générale ?
3. A partir de l’équation différentielle, injecter la forme complexe pour obtenir i.
1. Quelles sont les valeurs u(0+ ), i(0+ ) et iR (0+ ) des grandeurs juste après la fermeture
de l’interrupteur ?
4. A partir d’une méthode faisant intervenir les impédances complexes, retrouver le
résultat.
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
5. Donner la solution temporelle correspondant à cette solution complexe.
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur. La
mettre sous forme canonique pour identifier pulsation propre et facteur de qualité.
En déduire la nature du régime.
6. Y a-t-il encore un régime transitoire ? Et un régime permanent ? Est-ce utile de
connaître le régime transitoire ?
1
TD 11. SP6 - PARTIE 2 : DES OSCILLATEURS AMORTIS ET FORCÉS
V
Résonances
Impédances équivalentes
1. Pour les circuits suivants, déterminer les impédances équivalentes.
VII
Etude de la suspension d’un véhicule
Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point matériel M (de masse m), posé sur un ressort dont l’autre extrêmité S peut se déplacer le long
d’une route horizontale ou d’une route ondulée. Le ressort a une constante de raideur k et
une longueur l0 au repos. On repère les positions de M et S par leur altitude zM et zS selon
un axe vertical Oz tel que zS = 0 lorsque la route est horizontale. Enfin, on simule l’effet
de l’amortisseur par un frottement fluide entre les points M et S dont la force résultante
sur la masse m est
→
−
−
F d = −α(zM
˙ − z˙S )→
ez
1. Lorsque le véhicule se déplace sur la route horizontale, déterminer xM,eq en fonction
de m, g, k et l0 .
2. Pour le circuit de droite, quelle est la condition sur les valeurs des composants de
sorte que le courant parcouru dans R1 soit en phase avec la tension aux bornes du
générateur ?
VI
2. Le véhicule se déplace à présent sur une route ondulée. On pose
X(t) = xM − xM,eq . Montrer que X(t) vérifie une équation différentielle de la forme
mẌ + αẊ + kX = F(t) où F(t) dépend de xS et de ses dérivées temporelles.
Circuit en régime sinusoïdal
3. Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d’amplitude Fm et
de pulsation ω.
Considérons le montage ci-contre, alimenté par une source de tension sinusoïdale de fem e(t) = Em cos(ωt). On note
i(t) = Im cos(ωt + φ) le courant circulant
dans le condensateur de capacité C.
(a) Calculer l’amplitude vm de la vitesse d’oscillation du véhicule en régime sinusoïdal forcé.
r
XM
k
α
. On note ω0 =
, Q= √
(b) En notations complexes, on pose H =
xS
m
2 mk
ω
et x =
. Exprimer H en fonction de x et Q.
ω0
(c) Représenter l’allure du graphe de |H| pour Q = 0.2. Quelle est la signification
physique de |H| ?
1. Déterminer grâce à l’application des lois des mailles et des noeuds l’expression complexe du courant i.
2. En déduire Im et φ.
(d) Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système
est très raide.
2
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