Partie 2 - Académie en ligne

Séquence 6
1ère partie :
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
e
2
partie :
Probabilités (2) : loi de
Bernoulli, loi binomiale
Séquence 6 – MA12
1
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1ère partie
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
Sommaire
1. Pré-requis
2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle
3. Synthèse de la partie 1 de la séquence
4. Exercices d’approfondissement
2
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Séquence 6 – MA12
1 Pré-requis
A
Sens de variation
1. Définitions
Ces définitions ont déjà été revues dans la partie 2 de la séquence 2.
Elles sont essentielles dans ce chapitre, elles sont donc rappelées ici.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≤ f (b).
f est strictement croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I
tel que a < b , on a f (a ) < f (b ).
f est décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≥ f (b).
f est strictement décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments
de I tel que a < b , on a f (a ) > f (b ).
On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est (resp. strictement)
croissante sur I ou lorsque f est (resp. strictement) décroissante sur I.
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 ∈ I.
zSi, pour tout x ∈ I, f (x) ≤ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le maximum
de f sur I.
zSi, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum
de f sur I.
Dans les deux cas, on dira que f ( x 0 ) est un extrémum de la fonction f.
Remarque
Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction.
Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 .
Séquence 6 – MA12
3
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Exemple
Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 1)2 − 2 . Pour tout réel x, on a f ( x ) ≥ f (1) car
f (1) = −2 et ( x − 1)2 − 2 ≥ −2. Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce
minimum est atteint pour x 0 = 1.
2. Variations des fonctions affines
Propriétés
Soit f une fonction affine définie sur par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0.
zSi a est strictement positif, la fonction affine f est strictement croissante
sur .
zSi a est strictement négatif, la fonction affine f est strictement décroissante
sur .
a<0
a>0
y = –x+2
y = 2x–1
j
j
O
Remarque
i
O
i
Il est important de mémoriser visuellement ce résultat, de bien faire le lien entre
le signe du coefficient directeur a de la droite et son inclinaison, entre le signe de
a et le sens de variation de la fonction affine.
3. Fonctions u et u
Propriétés
Si u est une fonction à valeurs positives, alors les fonctions u et u ont les
mêmes variations.
4
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B
Dérivation (1)
L’essentiel de la Partie 1 de la Séquence 4 sera utilisé ici : définitions, calculs de
fonctions dérivées, équations de tangente.
C
Étude de signes
Il est indispensable de savoir étudier le signe d’une quantité qui dépend d’une
variable.
Les signes connus sont utilisés directement et dans les tableaux de signes.
1. Signes à connaître
Un
carré est toujours positif.
Une
racine carrée est toujours positive.
tableau de signes d’une expression affine ax + b :
tTJMFDPFGmDJFOUa est positif, on a
Le
x
−∞
−
Signe de ax + b
+∞
−b / a
0
+
o
tTJMFDPFGmDJFOUa est négatif, on a
x
−∞
Signe de ax + b
+∞
−b / a
+
0
−
Le signe de ax + b est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de
coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes.
Un trinôme du second degré
ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre
les racines si elles existent.
Rappel
Il faut s’habituer à bien employer le mot « positif » : dire qu’un nombre est positif
signifie qu’il appartient à l’intervalle 0 ; + ∞  , le nombre 0 étant compris.
Dans les classes précédentes, et même au début de ce cours, on a aussi employé
l’expression « positif ou nul » pour éviter d’éventuelles ambiguïtés.
Nous n’emploierons plus qu’exceptionnellement l’expression « positif ou nul »,
nous emploierons l’expression « positif ». Par exemple, « un carré est toujours
positif » signifie que, pour tout réel x, x 2 ≥ 0.
Séquence 6 – MA12
5
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Et, si on veut exclure le nombre 0, on dira « strictement positif ».
Il en est bien sûr de même pour « négatif ».
2. Tableaux de signes
Pour étudier le signe d’une quantité un peu compliquée, dans la plupart des cas,
il suffit de la factoriser suffisamment pour faire apparaître des quantités plus
simples dont on connaît le signe.
La factorisation permet de faire ensuite un tableau de signes.
Il en est de même quand la variable apparaît au dénominateur : on réduit au même
dénominateur, puis on factorise, si besoin, le numérateur et le dénominateur ce
qui permet de faire un tableau.
Exemple
Pour tout nombre réel x, on pose A( x ) = 3x 3 + 4 x 2 + x .
Déterminer le signe de A( x ) suivant les valeurs de x.
Solution
On peut factoriser A( x ) en utilisant le facteur commun x : A( x ) = x ( 3x 2 + 4 x + 1).
La parenthèse contient le polynôme du second degré 3x 2 + 4 x + 1 pour lequel
∆ = 4 et dont les racines sont donc x 1 =
−4 − 2
−4 + 2 −1
= −1 et x 3 =
= .
2× 3
2× 3
3
Comme 3 est positif, la parenthèse est positive en dehors des racines.
x
Signe de x
Signe de
3x 2 + 4 x + 1
Signe du
produit A( x )
Remarque
Exemple
−∞
−1
3
−1
−
−
+∞
0
−
+
0
−
0
+
−
0
+
0
−
0
+
+
0
+
Dans la suite, on n’écrira plus « signe de… ».
Pour tout nombre réel différent −1, on pose B ( x ) = x − 3 +
4
.
x +1
Déterminer le signe de B ( x ) suivant les valeurs de x.
Solution
On transforme d’abord B ( x ) en réduisant au même dénominateur.
( x − 3)( x + 1) + 4 x 2 − 2x + 1
=
. On s’aperçoit qu’une identité
x +1
x +1
( x − 1)2
remarquable est utilisable au numérateur : B ( x ) =
. D’où le tableau :
x +1
On obtient : B ( x ) =
6
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x
Remarque
−∞
−1
( x − 1)2
+
x +1
−
B(x )
−
+
0
1
+∞
0
+
+
+
+
0
+
Dans l’exemple 2, on a utilisé le signe de x qui est très simple.
Dans l’exemple 3, on a indiqué le signe du carré ( x − 1)2 sans oublier qu’il peut
s’annuler.
On a factorisé par un facteur commun dans l’exemple 1 et en utilisant une
identité remarquable dans l’exemple 2, ce sont les deux techniques principales
de factorisation.
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2
A
Activité 1
Variations d’une fonction
dérivable sur un intervalle
Activités
Soit f une fonction définie et dérivable sur dont la représentation graphique
est donnée ci-dessous.
2,7
1,6
j
O
i
–1,1
D’après la courbe, quel est le tableau de variation de f ?
x
−∞
+∞
f (x )
Compléter le tableau suivant :
x
−∞
+∞
Signe du coefficient
directeur de la tangente
au point d’abscisse x
Comparer les deux tableaux. Qu’observe-t-on ?
Quel est le lien avec la dérivation ?
Activité 2
8
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Taux d’accroissement d’une fonction monotone
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I, soit a un élément de I et h un
nombre réel non nul tel que a + h appartienne à I.
Séquence 6 – MA12
Conjecturer graphiquement le signe du taux d’accroissement
Démontrer cette conjecture.
f (a + h ) − f (a )
.
h
Soit f une fonction décroissante sur un intervalle I, soit a un élément de I et h
un nombre réel non nul tel que a + h appartienne à I.
Conjecturer graphiquement le signe du taux d’accroissement
Démontrer cette conjecture.
Activité 3
f (a + h ) − f (a )
.
h
On dispose d’une feuille carrée de 6 cm de côté.
On découpe à chaque coin un carré de côté x pour obtenir le patron d’une boîte
ouverte.
On considère la fonction V qui associe à x le volume V ( x ) de la boîte.
Sur quel intervalle I est définie la fonction V ?
Démontrer que, pour tout x de I, V ( x ) = 4 x 3 − 24 x 2 + 36 x .
Afficher la représentation graphique de la fonction V sur l’écran de la
calculatrice. On peut conjecturer que la fonction V admet un maximum en
x = 1. Démontrer que, pour tout x de I, on a V ( x ) − V (1) = 4( x − 1)2 ( x − 4 ).
Conclure.
Que se passe-t-il si on utilise une feuille carrée d’une autre dimension, par
exemple de 5 cm de côté ?
B
Cours
1. Variations et signe de la dérivée
Dans les pré-requis, on a rappelé une propriété entre le sens de variation
d’une fonction affine définie sur par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0, et le signe
du coefficient a. Or la fonction dérivée de la fonction affine f est la fonction
constante qui prend la valeur a.
Dans l’activité 1, on a observé, sur les intervalles où la fonction f est monotone,
le même lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa fonction
dérivée.
Séquence 6 – MA12
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Les propriétés que nous allons voir ici généralisent ces résultats aux fonctions
dérivables sur un intervalle. Les propriétés 2 sont les réciproques des propriétés 2.
Propriété 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si la fonction f est croissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0.
b) Si la fonction f est décroissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0.
c) Si la fonction f est constante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) = 0.
Démonstrations
a) On rappelle que f '(a ) = lim
h →0
f (a + h ) − f (a )
.
h
f (a + h)
M
A
f (a)
tangente
en A
sécante
(AM)
j
O
i
a a+h
Le nombre dérivé f '(a ) est obtenu en prenant la limite du taux d’accroissement.
La fonction f est croissante sur I et on a prouvé, dans l’activité 2, que le taux
d’accroissement est alors toujours positif. On obtient intuitivement que la limite
ne peut pas être strictement négative : f '(a ) est donc positif.
(Remarque : on a seulement donné une idée intuitive de la notion de limite dans
Dérivation (1), la partie 1 de la séquence 4 ; on garde donc ce point de vue intuitif
pour cette démonstration).
Graphiquement, on rappelle que taux d’accroissement est le coefficient directeur
d’une sécante, que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au
point d’abscisse a et que la tangente est « la droite limite » des sécantes.
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Séquence 6 – MA12
b) La démonstration, dans le cas où la fonction f est décroissante sur l’intervalle
I est analogue.
Le nombre dérivé f '(a ) est obtenu en prenant la limite d’un quotient qui est
toujours négatif (activité 1), on obtient intuitivement que la limite ne peut pas
être strictement positive : f '(a ) est donc négatif.
c) Soit f une fonction constante sur un intervalle I.
On a prouvé dans la Séquence 4 qu’alors la fonction dérivée de f sur I est la
fonction nulle.
f (a + h)
M
A
f (a)
sécante
(AM)
tangente
en A
j
O
i
a+h a
Les propriétés 1 sont utiles, mais, plus utiles encore, les propriétés réciproques
qui sont vraies aussi.
En Première S, nous les admettrons car les notions intuitives sur les limites que
nous avons utilisées jusqu’ici sont insuffisantes pour construire les raisonnements
qui prouvent les réciproques.
Propriété 2 (admises)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si, pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0, alors la fonction f est croissante sur l’intervalle I.
b) Si, pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0, alors la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.
c) Si, pour tout x de I, f '( x ) = 0, alors la fonction f est constante sur l’intervalle I.
On peut regrouper les propriétés 1 et 2 en énonçant des équivalences.
Séquence 6 – MA12
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Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) « Pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0 » ⇔ « la fonction f est croissante sur l’intervalle I ».
b) « Pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0 » ⇔ « la fonction f est décroissante sur l’intervalle I ».
c) « Pour tout x de I, f '( x ) = 0 » ⇔ « la fonction f est constante sur l’intervalle I ».
Exemple 1
Soit f la fonction inverse définie sur *. On montre sur cette première fonction
déjà connue comment on peut utiliser les propriétés 2.
On sait que la fonction f est dérivable sur *. et que, pour tout réel x non nul,
−1
on a f '( x ) = 2 . La fonction dérivée ne prend donc que des valeurs négatives.
x
On indique le signe de f '( x ) sur une ligne supplémentaire dans le tableau de
variation :
x
f '( x )
−∞
+∞
0
−
−
f (x )
Il faut bien retenir que les propriétés de ces théorèmes s’appliquent uniquement
sur des intervalles.
En effet, on utilise le signe de la dérivée pour obtenir le sens de variation d’une
fonction sur un intervalle. Or, on a rappelé dans les pré-requis, la définition d’une
fonction croissante sur un intervalle. La notion de « croissance » sur un intervalle
exprime que les images sont rangées dans le même ordre que les nombres de
départ. De même, pour une fonction décroissante sur un intervalle, les images
sont rangées dans l’ordre contraire des nombres de départ.
Si on ne reste pas à l’intérieur d’un intervalle, ces propriétés ne sont plus vraies.
L’exemple de la fonction inverse est très utile : on a l’inégalité −3 < 5, mais aussi
1 1
< puisque il s’agit d’un nombre négatif et d’un nombre positif.
−3 5
La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle  −∞; 0  et aussi sur
l’intervalle 0 ; + ∞  , mais il est impossible d’énoncer une propriété sur les
variations avec la réunion de ces deux intervalles  −∞; 0  ∪ 0 ; +∞  .
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Exemple 2
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 3x + 2.
Etudier les variations de la fonction f.
Séquence 6 – MA12
Solution
La fonction f est une fonction polynôme, définie et dérivable sur .
Pour tout réel x, on a : f '( x ) = 3x 2 − 6 x + 3 = 3( x 2 − 2x + 1) = 3( x − 1)2 .
La fonction dérivée f ' est donc à valeurs positives sur , donc la fonction f est
croissante sur .
2. Fonction strictement monotone
sur un intervalle
Si on souhaite utiliser des fonctions strictement monotones sur un
intervalle, on utilise des propriétés un peu plus compliquées que les
précédentes. En effet, comme le montrent la fonction cube ou la
fonction représentée ci-contre, la fonction peut être strictement
monotone sur un intervalle I sans que l’on puisse dire que sa
fonction dérivée est strictement positive sur I puisque, dans certains
cas, elle s’annule pour certaines valeurs de x.
j
O
i
Par exemple, la fonction représentée ici est définie et strictement
croissante sur  −1; 3  . Sa fonction dérivée est à valeurs
strictement positives sauf pour x = 0 et x = 2 où f '( x ) = 0.
On admettra le théorème et les propriétés qui suivent.
Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Ces conditions nécessaires et
suffisantes ne sont pas très commodes.
a) « La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle
I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à valeurs
strictement positives sauf éventuellement pour des
valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».
Dans la pratique, pour justifier qu’une
fonction f est strictement monotone
sur un intervalle I, on utilisera les
propriétés 3.
b) « La fonction f est strictement décroissante sur
l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à
valeurs strictement négatives sauf éventuellement pour
des valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».
Ces propriétés 3 donnent donc des
conditions suffisantes sur le signe de
la dérivée f ' pour obtenir le sens de
variation et la stricte monotonie de la
fonction f. Comme on le voit avec la
fonction cube ou la fonction
représentée avant le théorème 2, ces
propriétés ne sont pas nécessaires
(obligatoires) quand une fonction est
strictement monotone.
Propriété 3 (admises)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si, pour tout x de I, f '( x ) > 0, alors la fonction f est
strictement croissante sur l’intervalle I.
b) Si, pour tout x de I, f '( x ) < 0, alors la fonction f est
strictement décroissante sur l’intervalle I.
Remarque En Première S, il est
rarement nécessaire de préciser que
la monotonie est stricte, cela sera plus
fréquent en Terminale S.
Séquence 6 – MA12
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3. Extremum d’une fonction dérivable
sur un intervalle
Quand une fonction est dérivable sur un intervalle I, sa fonction dérivée permet
d’obtenir simplement des informations sur les éventuels extrema.
Nous allons préciser cela dans ce paragraphe.
Propriété 4
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et x 0 un élément de I. Si la
fonction f admet un extremum en x 0 , alors f '( x 0 ) = 0.
Démonstration
f (x0 + h ) −f (x0 )
est le coefficient
h
directeur de la droite passant par les points de la courbe d’abscisse x 0 et x 0 + h
f (x + h ) −f (x0 )
et que f '( x 0 ) = lim 0
.
h →0
h
Supposons que la fonction f admette un maximum en x 0 .
On rappelle que le taux d’accroissement
La différence f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) . est toujours négative.
f (x0)
f (x0+ h)
j
O
i
x0+ h x0
h négatif
x0+ h
h positif
Le nombre x 0 est un élément de l’intervalle ouvert I sur lequel la fonction f est
définie et dérivable. Comme l’intervalle I est ouvert, le nombre h peut tendre vers
0 en étant positif ou en étant négatif.
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Séquence 6 – MA12
f (x0 + h ) −f (x0 )
> 0.
h
Ce quotient étant strictement positif, sa limite, quand h tend vers 0, ne peut pas être
f (x + h ) −f (x0 )
un nombre strictement négatif, donc lim 0
≥ 0, d’où f '( x 0 ) ≥ 0.
h →0
h
Si h est négatif, c’est-à-dire si x 0 + h < x 0 , on a
f (x0 + h ) −f (x0 )
< 0. Ce quotient
h
étant strictement négatif, sa limite, quand h tend vers 0, ne peut pas être un
f (x + h ) −f (x0 )
≤ 0, d’où f '( x 0 ) ≤ 0.
nombre strictement positif, donc lim 0
h →0
h
Si h est positif, c’est-à-dire si x 0 < x 0 + h , on a
On a donc trouvé que f '( x 0 ) ≥ 0 et f '( x 0 ) ≤ 0 , la seule possibilité est donc
f '( x 0 ) = 0, c’est bien l’égalité qu’on souhaitait prouver.
La démonstration est analogue si la fonction f admet un minimum en x 0 .
C’est une propriété nécessaire pour qu’une fonction dérivable admette un
extremum, mais elle n’est pas suffisante car la réciproque est fausse.
Les exemples suivants mettent cela en évidence.
Les fonctions f et g sont définies sur , la fonction h est définie sur  −1 ; 3  .
On s’intéresse aux extrema et aux valeurs de x pour lesquelles les dérivées
s’annulent.
2,7
j
1,6
i
O
j
O
j
i
O
–1,1
Courbe de la fonction f
Courbe de la fonction g
i
Courbe de la fonction h
La fonction f est une fonction du second degré, définie sur . Elle admet un
maximum, atteint en x = 1, et f '(1) = 0.
La fonction f illustre la propriété 4.
La fonction g est définie sur . La fonction g ne possède ni maximum, ni
minimum. La fonction dérivée g ' s’annule en −4, −2, 2 et 4. La fonction g
montre que la réciproque de la propriété 4 est fausse puisque la fonction dérivée
g ' s’annule alors que la fonction g n’a pas d’extremum.
Séquence 6 – MA12
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Dans la pratique
Exemple 3
La fonction h est définie et dérivable sur I =  −1 ; 3  . Elle admet un minimum
en −1 et un maximum en 3. La dérivée s’annule en 0 et en 2. La condition
« l’intervalle I est ouvert » n’est pas remplie pour la fonction h qui possède des
extrema en des valeurs où la fonction dérivée ne s’annule pas.
Si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert, on cherche les
valeurs qui annulent la fonction dérivée. Pour savoir si la fonction f possède un
extremum en une de ces valeurs, on établit le tableau de variation.
Si la fonction est définie sur un intervalle fermé ou semi-fermé, on procède de
même, mais le tableau de variation peut montrer qu’un extremum est atteint à
une borne de l’intervalle où la dérivée n’est pas nécessairement nulle (comme
dans le cas de la fonction h ci-dessus).
Reprenons l’activité 3.
Si on construit la boîte à partir d’une feuille carrée de 5 cm de côté, on a montré
que le volume V ( x ) de la boîte est tel que V ( x ) = 4 x 3 − 20 x 2 + 25x sur
I = 0 ; 2, 5  .
La fonction V est une fonction polynôme dérivable sur I et on trouve :
V '( x ) = 12x 2 − 40 x + 25.
On a obtenu un polynôme du second degré, on sait en étudier le signe.
a ∆ = ( −40 )2 − 4 × 12 × 25 = 400 = 202
40 − 20 5
40 + 20
x0 =
= et x 1 =
= 2, 5.
2 × 12 6
2 × 12
On
et
donc
les
racines
sont
V ( x ) est du signe de a = 4 sauf à l’intérieur des racines, d’où :
x
0
+
V '( x )
V (x )
5/6
0
0
0
2,5
−
0
V (5 / 6)
V ( 2, 5)
Le volume de la boîte est donc maximum pour x = 5 / 6 et ce volume maximum
3
2
 5
 5
 5
 5  250
est V   = 4   − 20   + 25   =
≈ 9, 26 cm3 .
 6
 6
 6
 6  27
Remarque
Sans utiliser la fonction dérivée, il est très difficile de conjecturer la valeur exacte
où le maximum est atteint et encore plus de le prouver.
4. Exemples
Fonctions polynômes
16
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Exemple 4
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1.
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a) Etudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation.
b) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé.
c) Graphiquement, combien l’équation f ( x ) = 0 a-t-elle de solutions ?
Solution
a) La fonction f est une fonction polynôme, elle est définie et dérivable sur et
f '( x ) = 3x 2 − 12x + 9, soit f '( x ) = 3( x 2 − 4 x + 3).
Pour étudier les variations de la fonction f on étudie le signe de f '( x ).
Le signe de f '( x ) est le signe du trinôme x 2 − 4 x + 3. Pour ce trinôme
∆ = ( −4 )2 − 4 × 3 = 4 , il y a donc deux racines qui sont 1 et 3. Le coefficient de
x 2 est égal à 1, positif, donc le trinôme est positif sauf à l’intérieur des racines.
x
−∞
1
+
f '( x )
+∞
3
−
0
0
+
3
f (x )
−1
b) On a représenté la
fonction f en indiquant les
tangentes parallèles à
l’axe des abscisses, aux
points A et B d’abscisses 1
4
3
A
et 3 car f '(1) = f '( 3) = 0.
2
c) la courbe représentative
de f coupe l’axe des
abscisses en trois points
donc le graphique permet
de dire que l’équation
f ( x ) = 0 possède
solutions.
Exemple 5
Soit f la
définie sur
trois
fonction
par
f ( x ) = x 4 − 2x 2 + 2.
1
–1
0
1
2
3
4
5
–1
B
–2
–3
a) Etudier les variations de la fonction f. La fonction f possède-t-elle un
extremum ?
b) Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement la fonction f.
c) Conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = λ
suivant la valeur du nombre réel λ.
Séquence 6 – MA12
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Solution
a) Pour étudier les variations de la fonction f, on peut étudier le signe de f '( x )
car f est une fonction polynôme dérivable sur .
On a f '( x ) = 4 x 3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1), la forme factorisée permettant de faire un
tableau de signes. On devine facilement que le trinôme x 2 − 1 possède deux
racines, les nombres 1 et −1 ; le coefficient de x 2 est égal à 1, positif, donc le
trinôme est positif sauf à l’intérieur des racines.
On fait donc un tableau de signes pour obtenir le signe de la dérivée et il suffit
d’ajouter une ligne pour indiquer les variations de la fonction f.
x
−∞
0
−1
4x
−
−
x2 −1
+
0
−
f '( x )
−
0
+
0
0
+∞
1
+
+
−
0
+
−
0
+
3
f (x )
1
1
Le tableau de variation prouve que la fonction f admet un minimum : ce minimum
vaut 1 et il est atteint deux fois, en 1 et en −1.
b) On a représenté la fonction f en indiquant les tangentes parallèles à l’axe des
abscisses, c’est-à-dire aux points d’abscisses −1, 0 et 1.
c) Pour conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = λ
suivant la valeur du nombre réel λ, il suffit de regarder le nombre de points
d’intersection de la courbe (C) représentant f et de la droite D d’équation y = λ.
On obtient :
λ < 1, la droite (D) ne coupe
pas la courbe (C), l’équation
si
y = f(x)
f ( x ) = λ n’a pas de solution.
λ = 1, la droite (D) coupe
la courbe (C) en deux points,
si
l’équation f ( x ) = λ
solutions, −1 et 1.
λ
y=λ
O
i
a deux
1 < λ < 2, la droite (D) coupe
la courbe (C) en quatre points,
si
l’équation f ( x ) = λ a quatre
solutions.
18
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Séquence 6 – MA12
j
λ = 2, la droite D coupe la courbe (C) en trois points, l’équation f ( x ) = λ
a trois solutions.
si
2 < λ, la droite D coupe la courbe (C) en deux points, l’équation f ( x ) = λ
a deux solutions.
si
Fonctions rationnelles
Exemple 6
Soit f la fonction homographique définie sur  −∞ ; − 2 ∪  −2 ; + ∞  par
3x − 1
f (x ) =
.
x +2
a) Calculer la fonction dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f.
b) Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la droite
(D) d’équation y = 3.
c) Dans un repère, tracer la droite (D), puis la courbe (C).
Solution
a) La fonction homographique f est dérivable sur son ensemble de définition et
3( x + 2) − ( 3x − 1)
7
f '( x ) =
, soit f '( x ) =
. Comme f '( x ) est strictement
2
( x + 2)
( x + 2)2
positif, la fonction f est strictement croissante sur chaque intervalle de son
ensemble de définition.
x
−∞
f '( x )
+∞
−2
+
+
f (x )
b) Pour étudier la position de (C) par rapport à la droite (D), on étudie le signe de
la différence f ( x ) − 3.
3x − 1
3x − 1− 3( x + 2)
−7
−3=
=
. La différence f ( x ) − 3 est
x +2
x +2
x +2
donc du signe contraire de x + 2.
On a f ( x ) − 3 =
Si x < −2, alors x + 2 < 0 et donc f ( x ) − 3 > 0 : la courbe (C) est au dessus de
la droite (D).
Si x > −2, alors x + 2 > 0 et donc : la courbe (C) et au dessous de la droite (D).
Séquence 6 – MA12
19
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c)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
y=3
3
2
1
y = f (x)
0
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–2
–3
–4
–5
x = –2
–6
–7
y = f (x)
Exemple 7
1
Soit f la fonction définie sur  −∞; − 1 ∪  −1 ; + ∞  par f ( x ) = − x + 1−
.
x +1
a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f, puis étudier les variations de f.
b) On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Etudier la position de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = − x + 1. Dans
un repère, tracer (D) puis (C).
Solution
a) la fonction rationnelle f est dérivable sur son ensemble de définition et on
1
1− ( x + 1)2 − x ( x + 2)
a f '( x ) = −1+
, soit f '( x ) =
=
. Le numérateur
( x + 1)2
( x + 1)2
( x + 1)2
qui est un polynôme du second degré, ayant pour racines 0 et −2, et dont le
coefficient de x2 est négatif. Le signe de f '( x ) est donc négatif si x appartient
à  −2 ; − 1 ∪  −1 ; 0  . (On peut aussi obtenir le signe de f '( x ) en faisant le
tableau de signes du produit − x ( x + 2). )
x
f '( x )
f (x )
20
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Séquence 6 – MA12
−∞
−2
−
0
+
+
0
0
4
+∞
0
−1
−
b) Pour étudier la position de (C) par rapport à la droite (D), on étudie le signe
1
de la différence f ( x ) − ( − x + 1). Or f ( x ) − ( − x + 1) = −
. La différence
x +1
f ( x ) − ( − x + 1) est donc du signe de −( x + 1).
−∞
x
−
+
f ( x ) − ( − x + 1)
position
+∞
−1
(C) est au-dessus de (D)
(C) est au-dessous de (D)
y
8
y = f (x)
7
6
y = –x + 1
5
4
3
2
1
0
–8
–7
–6
–5 –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
–2
–3
–4
x = –1
–5
y = f (x)
–6
Avec une racine carrée
Exemple 8
Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x 4 − 2x 2 + 2. On a donc g = f
où f est la fonction définie sur par f ( x ) = x 4 − 2x 2 + 2, cette fonction f a été
étudiée dans l’exemple 5.
a) Justifier que la fonction g est définie sur b) Etudier les variations de la fonction g.
c) Représenter graphiquement la fonction g.
Séquence 6 – MA12
21
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Solution
a) Dans l’exemple 8, on a montré que 1 est le minimum de la fonction f définie
sur par f ( x ) = x 4 − 2x 2 + 2. Donc, pour tout x de f ( x ) est strictement
positif et donc la fonction g est définie sur b) D’après la partie 2 de la séquence 2, les fonctions f et g ont les mêmes
variations, donc :
x
g(x )
−∞
0
−1
2
1
1
+∞
1
c)
j
O
Commentaire
Remarque
i
Il ne faut pas oublier les méthodes du début du cours avec lesquelles on a pu
étudier les variations d’une fonction sans connaître la dérivation. Bien sûr, dans
cette séquence, vous vous entrainez à utiliser le signe de la dérivée, mais, après,
vous choisirez la méthode la plus adaptée.
Le calcul de dérivées dans des cas simples est un attendu du programme.
Dans les cas plus difficiles, on peut vous donner l’expression de f '( x ) ou vous
demander d’utiliser votre calculatrice ou un logiciel de calcul formel (par exemple
Xcas qui est un logiciel gratuit).
22
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Séquence 6 – MA12
C
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 4 x .
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Etudier les variations de la fonction f.
Soit T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.
a) Déterminer une équation de la droite T.
b) Etudier les positions relatives de la courbe C et de sa tangente T suivant les
valeurs de x. (On pourra s’aider de l’égalité (a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 ).
Tracer la courbe C et la droite T.
Graphiquement, suivant la valeur du nombre réel m, quel est le nombre de
solutions de l’équation f ( x ) = m ?
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 27x + 25.
Démontrer que la fonction f est strictement monotone sur .
La représentation graphique permet de conjecturer que l’équation f ( x ) = 0
admet au moins une solution, démontrer que cette solution est unique.
On appelle α l’unique solution de l’équation précédente, en donner un
encadrement à 10−2 près à l’aide de la calculatrice.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 4 − x 3 − 2x 2 − 1.
Etudier les variations de la fonction f.
Représenter la fonction f dans un repère orthonormé.
Exercice 4
Soit ϕ la fonction définie sur par ϕ( x ) = − x 3 + 3x − 1. La fonction
ϕ est une fonction polynôme, elle
est donc dérivable sur Déterminer
la fonction dérivée ϕ' et représenter
les fonctions ϕ et ϕ' dans un
même repère orthonormé. Sur ces
représentations graphiques, bien
observer le sens de variation de ϕ et
le signe de ϕ' (x).
(C)
On donne ci-contre les représentations
graphiques (C) et ( Γ ) de deux fonctions.
L’une des deux fonctions est égale à la
fonction dérivée de l’autre.
Déterminer quelle est la courbe
représentant la fonction f et quelle est
la courbe représentant la fonction dérivée f '.
(C)
j
O
(Γ)
i
(Γ)
Séquence 6 – MA12
23
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Exercice 5
Pour chacune des fonctions suivantes, établir le tableau de variation et donner la
représentation graphique dans un repère orthonormé ou non.
x −1
La fonction f est définie sur  2 ; + ∞  par f ( x ) =
. Etudier la position


x −2
de la courbe (C) représentative de f par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.
3x
La fonction g est définie sur par g ( x ) =
. Montrer que la fonction g
x2 +1
possède un maximum et un minimum.
x2 − x
. Etudier la position de la
x2 +1
courbe (C) représentative de h par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.
La fonction h est définie sur par h ( x ) =
La fonction k est définie sur 1; +∞  par k ( x ) =


la fonction k possède un minimum.
Exercice 6
1
2
x − 1+
. Montrer que
2
x −1
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ; i , j , on considère le point
A(1 ; 2).
Soit x un nombre réel strictement supérieur à 1 et soit M le point de coordonnées
(x ; 0). La droite (AM) coupe l’axe des ordonnées en un point N.
2x
Montrer que l’ordonnée de N est égale à
.
x −1
2x
On définit ainsi la fonction f en posant f ( x ) =
.
x −1
a) Quel est son ensemble de définition ?
b) Etudier les variations de la fonction f.
c) Démontrer que la fonction f est minorée par 2.
d) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
(
)
On appelle g la fonction qui à x associe l’aire du triangle OMN.
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction g ?
b) Déterminer l’expression de g ( x ).
c) Etudier les variations de la fonction g. En déduire l’existence d’un triangle
d’aire minimale ; faire une figure dans ce cas.
Exercice 7
Une unité de longueur ayant été choisie, on considère un rectangle dont l’aire
est égale à 16.
On appelle x la mesure d’un de ses côtés.
Exprimer son périmètre p ( x ) en fonction de x.
Etudier les variations de la fonction p ainsi définie sur  0 ; + ∞  .


En déduire que la fonction p admet un minimum pour une valeur de x que
l’on précisera.
Soit (C) la courbe représentative de la fonction p dans un repère orthogonal
et (D) la droite d’équation y = 2x . Etudier la position de la courbe (C) par
rapport à la droite (D). Tracer (C) et (D).
24
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Séquence 6 – MA12
Exercice 8
Un automobiliste parcourt la distance d 1 séparant une ville A d’une ville B à une
vitesse moyenne de 80 km.h-1 et la distance d 2 séparant la ville B de la ville C à
une vitesse moyenne notée x.
Soit v ( x ) la vitesse moyenne de cet automobiliste sur la totalité du trajet. On
définit ainsi la fonction v sur l’intervalle 0 ; 130  .
Quel est le sens de variation de la fonction v sur  0 ; 130  ?


Sachant que la distance d 2 est deux fois plus grande que la distance d 1 ,
exprimer en fonction de x la vitesse moyenne v ( x ).
Retrouver par le calcul le sens de variation de la fonction v sur  0 ; 130  .


La fonction v admet-elle un maximum ?
Représenter graphiquement la fonction v dans un repère orthogonal.
Séquence 6 – MA12
25
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3
Synthèse de la partie 1
de la séquence
1. Variations et signe de la dérivée
Propriétés 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si la fonction f est croissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0.
b) Si la fonction f est décroissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0.
c) Si la fonction f est constante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f '( x ) = 0.
Propriétés 2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si, pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0, alors la fonction f est croissante sur l’intervalle I.
b) Si, pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0, alors la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.
c) Si, pour tout x de I, f '( x ) = 0, alors la fonction f est constante sur l’intervalle I.
On peut regrouper les propriétés 1 et 2 en énonçant des équivalences.
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) « Pour tout x de I, f '( x ) ≥ 0 » ⇔ « la fonction f est croissante sur l’intervalle I ».
b) « Pour tout x de I, f '( x ) ≤ 0 » ⇔ « la fonction f est décroissante sur l’intervalle I ».
c) « Pour tout x de I, f '( x ) = 0 » ⇔ « la fonction f est constante sur l’intervalle I ».
26
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Séquence 6 – MA12
2. Fonction strictement monotone
sur un intervalle
Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) « La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée
f ' est à valeurs strictement positives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en
lesquelles elle est nulle ».
b) « La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée
f ' est à valeurs strictement négatives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en
lesquelles elle est nulle ».
Propriétés 3
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Si, pour tout x de I, f '( x ) > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I.
b) Si, pour tout x de I, f '( x ) < 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I.
3. Extremum d’une fonction dérivable
sur un intervalle
Propriétés 4
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et x 0 un élément de I. Si la
fonction f admet un extrémum en x 0 , alors f '( x 0 ) = 0.
Cette propriété s’applique si la fonction est dérivable sur un intervalle ouvert.
C’est une propriété nécessaire pour qu’une fonction dérivable admette un
extremum, mais elle n’est pas suffisante car la réciproque est fausse.
Dans la pratique
la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert, on cherche les
valeurs qui annulent la fonction dérivée. Pour savoir si la fonction f possède un
extremum en une de ces valeurs, on établit le tableau de variation.
Si la fonction est définie sur un intervalle fermé ou semi-fermé, on procède de
même mais le tableau de variation peut montrer qu’un extremum est atteint à
une borne de l’intervalle où la dérivée n’est pas nécessairement nulle.
Si
Séquence 6 – MA12
27
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4
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞  dont la courbe représentative est
donnée ci-dessous.
y
Ꮿ
2
1
x
2
0
1
–1
Parmi les quatre courbes suivantes, quelle est la seule susceptible de représenter
la fonction dérivée f ' ?
y
y
1
1
j
j
0
i
1
0
x
i 1
–1
–1
figure A
figure B
y
y
1
1
j
0
x
i
1
–1
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Séquence 6 – MA12
x
j
0
i 1
–1
figure C
28
x
figure D
Exercice II
Le but de cet exercice est de montrer que la fonction g possède un extremum et
d’en trouver une valeur approchée. Pour faire cela, on étudie d’abord la fonction
auxiliaire f.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 3 + x − 1.
a) Etudier les variations de la fonction f.
b) On admet que l’équation f ( x ) = 0 a au moins une solution, démontrer alors
que l’équation admet une solution unique que l’on notera α. Démontrer que α
appartient à l’intervalle 0 ; 1 .
c) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α à 10−3 près.
d) Déterminer le signe de f ( x ) suivant les valeurs de x.
Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x 4 + 2x 2 − 4 x + 2.
a) Etudier les variations de la fonction g et montrer que g admet un extremum
pour x = α.
b) Montrer que g (α ) = α 2 − 3α + 2, puis encadrer l’extremum g (α ) en utilisant
les variations de la fonction h définie sur par h ( x ) = x 2 − 3x + 2.
Exercice III
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) =
x 4 2x 3 5x 2
4
−
+
− 4x + .
16
3
2
3
Sa représentation graphique est donnée cicontre.
D ‘après le graphique, que peut-on dire
de l’équation f ( x ) = −1 ?
La fonction f, étant une fonction
polynôme, est dérivable sur . Déterminer
f '( x ).
Déterminer les deux réels b et
j
O
i
c tels que, pour tout réel x, on a
( x − 4 )( x 2 + bx + c )
f '( x ) =
.
4
Etablir le tableau de variation de la fonction f.
La fonction f est-elle strictement monotone sur l’intervalle  −∞ ; 4  ? Sur


l’intervalle  4 ; + ∞  ?
Que peut-on dire alors du nombre de solutions de l’équation f ( x ) = −1 ?
Séquence 6 – MA12
29
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Exercice IV
Le coin inférieur d’une feuille de papier de
4 cm de largeur est plié de façon à toucher
le bord de la feuille comme l’indique la
figure ci-contre. On appelle A’ le point de
contact.
Le but de cet exercice est de chercher, si elle
existe, la longueur minimale du « pli » PQ.
On pose x = AQ et y = AP.
C
D
P
A'
Exprimer A’Q en fonction de x. Expliquer
pourquoi x est nécessairement compris entre
2 et 4. Exprimer enfin A’B en fonction de x.
En calculant de deux manières l’aire du
trapèze PABA’, montrer que l’on a la relation
suivante :
(
B
Q
A
)
xy + ( 4 − x ) 2x − 4 = 2 y + 2 2x − 4 .
En déduire que y =
Montrer que PQ =
2x
2x − 4
.
x3
. Etudier les variations de la fonction f définie sur
x −2
x3
2 ; 4  par f ( x ) =
.
x −2
En déduire les variations de la fonction g définie sur 2 ; 4  par g ( x ) =
En déduire la longueur minimale du « pli » PQ.
x3
.
x −2
On appelle S ( x ) l’aire de la surface repliée, c’est-à-dire l’aire du triangle APQ.
Montrer que S ( x ) =
x2
.
2x − 4
Etudier les variations de la fonction S sur 2 ; 4  . La fonction S admet-elle un
extremum ? Si oui, est-ce pour la même valeur de x que la fonction g ?
Exercice V
Une unité de longueur ayant été choisie dans le plan, on considère un triangle
ABC tel que AB = 1, AC = 3 et BC = x . On se propose de déterminer s’il existe
un réel x rendant l’aire du triangle ABC maximale.
Pour cela, on utilise la formule de Héron (mathématicien grec du 1er siècle ap J-C,
la formule avait été aussi prouvée avant par Archimède). Cette formule donne
l’aire S d’un triangle en fonction des longueurs a, b et c des côtés (p est le demia + b +c
périmètre p =
) : S = p ( p − a )( p − b )( p − c ).
2
30
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Séquence 6 – MA12
Montrer que 2 ≤ x ≤ 4.
A l’aide de la formule de Héron, exprimer l’aire S ( x ) en fonction de x et
déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale.
Quelle est alors dans ce cas la nature particulière du triangle ABC ?
Exercice VI
Un cylindre de révolution de rayon x cm est inscrit dans
un cône de révolution de rayon 10 cm et de hauteur
30 cm.
Le volume de ce cylindre, exprimé en cm3, est donné par
la formule suivante :

x
V ( x ) = 30π x 2  1−  où 0 ≤ x ≤ 10.
 10 
Déterminer x pour que le volume du cylindre soit
maximum.
Séquence 6 – MA12
31
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e
2
partie
Probabilités (2) : loi de
Bernoulli, loi binomiale
Sommaire
1. Pré-requis
2. Loi de Bernoulli, loi binomiale
3. Synthèse
4. Exercices d’approfondissement
32
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Séquence 6 – MA12
1 Pré-requis
On utilise dans cette séquence des définitions et des résultats de la partie 2 de
la séquence 3.
Soit une expérience aléatoire et soit E l’ensemble des issues de cette expérience
aléatoire.
On a défini sur l’univers E une loi de probabilité P.
Notation
Dans toute cette partie, on notera P(A) la probabilité de l’événement A pour éviter toute confusion avec un paramètre qui est traditionnellement noté p.
1. Variable aléatoire
Définition
On dit qu’on définit une variable aléatoire sur l’ensemble E lorsqu’on
associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.
2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :
zl’ensemble des valeurs {x1, x2,…,xr} prises par la variable aléatoire,
zles probabilités P ( X = x i ) pour toutes les valeurs xi prises par X.
Remarque
La loi de probabilité d’une variable aléatoire se donne souvent par un tableau
où on indique les valeurs xi prises par la variable aléatoire et les probabilités
P ( X = x i ).
xi
P ( X = x i ) = pi
Définition
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X ), défini par :
E( X ) = x 1P ( X = x 1 ) + x 2P ( X = x 2 ) +…+ x r P ( X = x r ) = x 1p2 +…+ x r pr .
Séquence 6 – MA12
33
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Définition
La variance V(X) et l’écart-type σ( X ) d’une variable aléatoire X sont définis par :
V( X ) = ( x 1 − E( X ))2 p1 + ( x 2 − E( X ))2 p2 +…+ ( x r − E( X ))2 pr ett σ( X ) = V( X ).
3. Répétition d’expériences identiques
et indépendantes.
Précisons ce que nous désignons par la répétition d’expériences identiques.
Cela signifie que les conditions dans lesquelles on répète l’expérience sont les
mêmes. Par exemple, les tirages de boules ou de jetons se font « avec remise »
de l’objet tiré après chaque tirage.
Cela signifie aussi qu’une expérience ne dépend pas du résultat de l’expérience
précédente. De manière imagée, on peut dire que les pièces ou les dés n’ont
pas de mémoire.
Bien entendu, cela ne signifie pas que les résultats de ces expériences répétées
sont les mêmes, puisqu’il s’agit d’expériences aléatoires.
Propriétés
On considère une expérience
aléatoire ayant deux issues. On
effectue n fois cette expérience,
on répète donc n expériences
identiques.
Ces expériences répétées constituent ensemble une nouvelle expérience qui possède 2n issues.
Propriétés
On considère une expérience aléatoire formée par la
répétition d’expériences identiques ayant deux issues.
On définit une loi de probabilité sur l’univers des 2n
issues de la façon suivante :
la probabilité d’une liste de n résultats est le produit
des probabilités de chacun des n résultats partiels
qui la constituent.
Pour exprimer qu’on choisit cette loi de probabilité, on
dit qu’on utilise le modèle de la répétition d’épreuves
identiques et indépendantes, ou, plus brièvement, que
les expériences sont identiques et indépendantes.
Propriétés
Les arbres pondérés, où on indique sur chaque branche
la probabilité d’obtenir chaque résultat partiel, permet
d’utiliser très facilement la propriété précédente.
34
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Séquence 6 – MA12
2
5
3
5
N
J
2
5
3
5
N
2
5
3
5
N
J
J
2
Loi de Bernoulli,
loi binomiale
On rencontre ici le nom de Bernoulli.
Dans cette grande famille de mathématiciens suisses (Jacques, Johan I, Nicolas I,
Daniel, Nicolas II, Johan II,…), c’est Jacques Bernoulli (1654-1705) qui est honoré
ici. Il est l’un des fondateurs de la théorie des probabilités.
C’est dans son ouvrage Ars Conjectandi (édité par son neveu en 1713) qu’il définit la variable aléatoire qui porte son nom et qu’il met aussi en évidence la loi
binomiale.
A
Activité 1
Activités
On lance une fois une pièce bien équilibrée.
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient Pile et la valeur
0 quand on obtient Face. Donner la loi de probabilité de X, son espérance et sa
variance.
Mêmes questions qu’au mais avec une pièce mal équilibrée pour la quelle
la probabilité d’obtenir Pile est 0,7.
On lance un dé bien équilibré. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1
quand on obtient 6 et la valeur 0 dans les autres cas. Donner la loi de probabilité
de X, son espérance et sa variance.
Conjecturer des relations permettant de calculer l’espérance et la variance
d’une variable aléatoire dans des situations analogues.
Activité 2
On lance trois fois de suite un dé cubique bien équilibré.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où on obtient 6. En utilisant un arbre pondéré pour illustrer cette expérience aléatoire, donner la loi de
probabilité de X et son espérance.
Activité 3
On lance quatre fois de suite une pièce mal équilibrée pour laquelle la proba-
bilité d’obtenir Pile est égale à 0,7. Construire un arbre pondéré illustrant cette
expérience aléatoire.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où on obtient Pile. Donner la loi de probabilité de X et son espérance.
Séquence 6 – MA12
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On utilise maintenant une pièce bien équilibrée. On appelle Y la variable aléa-
toire qui donne le nombre de fois où on obtient Pile avec cette pièce déséquilibrée. Donner la loi de probabilité de Y et son espérance.
Activité 4
B
Conjecturer une relation permettant de déterminer l’espérance des variables
aléatoires des activités 2 et 3.
Cours
1. Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli
Définition 1
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée
« succès », l’autre appelée « échec ».
Voici quelques situations qui peuvent être modélisées par une épreuve de Bernoulli :
zle lancer d’une pièce,
zle sexe d’un nouveau-né,
ztirer une boule dans une urne qui ne contient que des boules de deux couleurs,
zrépondre au hasard à des questions Vrai-Faux,
zgagner à un jeu de hasard.
Définition 2
On considère une épreuve de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d’échec.
La variable aléatoire X est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli.
Notation
On note p la probabilité de réussir et donc q = 1− p la probabilité d’échouer.
D’où P ( X = 1) = p et P ( X = 0 ) = q = 1− p.
Loi de probabilité d’une variable de Bernoulli
p
q = 1 –p
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Séquence 6 – MA12
Succès
Échec
xi
1
0
P (X=xi )
p
1–p
Dans l’activité 1 vous avez déjà étudié trois variables de Bernoulli.
Dans chaque cas, vous avez calculé l’espérance et la variance.
Dans le cas général, on retrouve les mêmes relations que celles trouvées dans
les trois cas.
En effet :
E( X ) = 1× p + 0 × (1− p ) = p
(
)
2
V( X ) = E( X 2 ) − E( X ) = 12 × p + 02 × (1− p ) − p 2 = p − p 2 = p (1− p ) = pq .
Propriété
La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p a pour espérance p et pour variance p (1− p ).
2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale : définitions
On généralise ici ce qui a été observé dans les activités 2 et 3.
Définition 3
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est une expérience
aléatoire qu’on appelle schéma de Bernoulli.
Définition 4
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli où
on répète n fois une épreuve de Bernoulli pour la quelle la probabilité du succès est égale à p.
La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p.
Cette loi est notée B(n ; p ).
Remarque
Le paramètre n est un entier naturel non nul.
Le paramètre p est un nombre réel de l’intervalle 0 ; 1 .
Exemple 1
Dans l’activité 3, on a répété 4 fois le lancer d’une pièce de monnaie qui tombe
sur Pile avec la probabilité 0,7 (c’est-à-dire dans 70 % des cas). X est la variable
aléatoire égale au nombre de Pile obtenus à l’issue des 4 lancers. La loi de probabilité de X est la loi binomiale B( 4 ; 0, 7).
Séquence 6 – MA12
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Reprenons l’arbre pondéré :
P
0,7
0,7
P
0,7
0,3
F
P
0,7
F
P
0,3
0,7
F
F
0,3
0,7
0,3
F
0,3
P
F
Chemins
Probabilités
Valeurs de X
PPPP
(0,7)4
4
PPPF
(0,7)3 0,3
3
PPFP
(0,7)3 0,3
3
PPFF
(0,7)2 (0,3)2
2
PFPP
(0,7)3 0,3
3
PFPF
(0,7)2 (0,3)2
2
PFFP
(0,7)2 0,32
2
PFFF
0,7 (0,3)3
1
FPPP
(0,7)3 0,3
3
FPPF
(0,7)
2 (0,3)2
2
FPFP
(0,7)2 (0,3)2
2
FPFF
0,7 (0,3)3
1
FFPP
(0,7)2 (0,3)2
2
FFPF
0,7 (0,3)3
1
FFFP
(0,7) (0,3)3
1
FFFF
(0,3)4
0
Pour calculer la probabilité de l’événement ( X = k ) lorsque X est une variable
aléatoire de loi binomiale B( 4 ; 0, 7) , il nous a fallu au préalable déterminer la
probabilité de chaque chemin conduisant à k succès (k fois la lettre « P »). Grâce
à l’arbre pondéré, la probabilité de chacun de ces chemins s’obtient en multipliant les probabilités sur les branches de l’arbre et on observe que tous ces
chemins ont la même probabilité : 0, 7k × 0, 3n −k . On a déterminé le nombre de
chemins conduisant à k succès. Enfin, en multipliant 0, 7k × 0, 3n −k par le nombre
de chemins, on obtient la probabilité P ( X = k ).
Définition
n
Le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions se note   et s’appelle
k
un coefficient binomial.
Remarque
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Les coefficients binomiaux sont étudiés plus loin.
Séquence 6 – MA12
n
 4
Le coefficient binomial   se lit « k parmi n ». Par exemple,   se lit « 2
k
 2
parmi 4 ».
Dans les calculs, on utilise les valeurs données par les calculatrices ou les tableurs.
 4
Pour la calculatrice TI-82 Stats.fr, pour obtenir   , on utilise la fonctionnalité
 2
Combinaison (ou nCr) qui se trouve dans Maths PRB. En validant 4 Combinaison
 4
2 (ou 4 nCr 2) on obtient 6, donc on écrit   = 6. On retrouve bien le nombre
 2
de chemins de l’arbre qui réalisent 2 succès.
Pour la calculatrice Casio Graph 25+Pro, on tape aussi 4 nCr 2, nCr est obtenu
par OPTN F6 PROB.
Sur le tableur OpenOffice, on utilise la fonctionnalité Combin(n ;k).
Théorème 1
Expression de la loi binomiale
Lorsque la loi d’une variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres n et p, la variable
aléatoire X prend les n + 1 valeurs 0, 1, …, n avec les probabilités :
n
P ( X = k ) =   p k ( 1 − p )n −k pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n.
k
Dans l’exemple 1, on obtient P ( X = 3) = 4 × (0, 7)3 × (0, 3)1 ce qui correspond, en
effet, à :
nombre
de succès
nombr
d’éche
P(X = 3) = 4 (0,7)3 (0,3)1
nombre
de chemins
Exemple 2
probabilité
du succès
probabilité
de l’échec
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et
p = 0, 4.
Déterminer P ( X = 3).
Solution
 10
D’après le théorème 1, on a P ( X = 3) =   × 0, 4 3 × 0, 67.
3 
Séquence 6 – MA12
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 10
La calculatrice affiche 10 Cr 3 =120, donc   = 120. D’où :
3 
3
7
P ( X = 3) = 120 × 0, 4 × 0, 6 ≈ 0, 215.
À savoir
Pour reconnaître et justifier les situations où une variable aléatoire X suit
une loi binomiale B(n ; p ), il est essentiel de mettre en évidence
zune épreuve de Bernoulli,
zoù le succès a pour probabilité p,
zrépétée n fois,
zde façons identiques et indépendantes.
3. Tableurs et calculatrices
Les tableurs et la plupart des calculatrices permettent d’obtenir directement les
valeurs P ( X = k ) d’une loi binomiale et aussi les probabilités P ( X ≤ k ). Les probabilités P ( X ≤ k ) sont parfois appelées « probabilités cumulées », elles seront
utilisées dans des exercices d’approfondissement et aussi dans la séquence 8.
Avec
un tableur
La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 0)
renvoie la probabilité P ( X = k ) pour une variable aléatoire X de loi binomiale de
paramètres n et p.
La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 1)
renvoie la probabilité cumulée P ( X ≤ k ).
Avec une calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 82 avec des modifications mineures)
Pour calculer P ( X = k ) lorsque X suit la loi binomiale B(n ; p ), on utilise l’instruction binomFdp( (que l’on obtient par l’instruction DISTR (touches 2ND VARS )
et la touche 0) que l’on complète ainsi : binomFdp(n, p, k).
Ces calculatrices donnent aussi les probabilités P ( X ≤ k ) par l’instruction binomFREPdp(.
Avec
une calculatrice Casio graph 25+Pro
Pour cette calculatrice, pour calculer P ( X = k ), il faut taper la formule
n k
n −k
 k  p (1− p ) ou avoir implanter sur la calculatrice le petit programme :
 
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Séquence 6 – MA12
"N = "? → N ‚
"p = "? → p ‚
"K = "? → K ‚
NCr K → C ‚
C × p ^ K × (1− p )^(N − K ) → B ‚
"P ( X = K ) = " \B\
Avec
une calculatrice Casio graph 35+
Pour calculer P ( X = k ) lorsque X suit la loi binomiale B(n ; p ), on utilise le menu
STAT, on choisit DIST (touche F5) puis BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et Var
(touche F2).
On renseigne la boîte de dialogue : Data : variable ; valeur désirée : k ; Numtrial :
n ; probabilité : p.
Pour obtenir les probabilités P ( X ≤ k ), dans le menu STAT, on saisit dans la Liste
1 les valeurs possibles pour k : 0, 1, 2, … , n.
On choisit ensuite DIST (touche F5) puis BINM (touche F5), Bcd (touche F2).
On renseigne la boîte de dialogue comme ci-dessus, sauf pour Data où on choisit
List.
Pour chaque valeur de k, la probabilité P ( X ≤ k ) est affichée dans une liste.
4. Espérance et variance d’une loi binomiale
Les activités ont permis de conjecturer, à partir de trois exemples, l’expression de
l’espérance d’une loi binomiale.
Nous allons étudier deux cas un peu plus généraux.
considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(2 ; p ).
On donne sa loi de probabilité sous forme d’un tableau et on calcule son espérance.
On
f
0
1
2
P (X = k )
 2  0
2
 0  p (1− p )


 2  1
1
 1  p (1− p )
 2  2
0
 2  p (1− p )
P (X = k )
(1− p )2
2p (1− p )
p2
E( X ) = 0 × (1− p )2 + 1× 2p (1− p ) + 2 × p 2 = 2p.
Séquence 6 – MA12
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considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B( 3 ; p ).
On donne sa loi de probabilité sous forme d’un tableau et on calcule son espérance.
On
f
0
1
2
3
P (X = k )
 3  0
3
 0  p (1− p )


 3  1
2
 1  p (1− p )


 3  2
1
 2  p (1− p )


 3  3
0
 3  p (1− p )


P (X = k )
(1− p )3
3p (1− p )2
3p 2 (1− p )
p3
E( X ) = 0 × (1− p )3 + 1× 3p (1− p )2 + 2 × 3p 2 (1− p ) + 3 × p 3
= 3p − 6p 2 + 3p 3 + 6p 2 − 6p 3 + 3p 3 = 3p.
Les activités et ces deux cas permettent de conjecturer que l’espérance d’une
variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p vérifie
E( X ) = np.
Nous admettons ce résultat ainsi que celui donnant la variance.
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, son espérance et sa
variance sont données par :
E( X ) = np et V( X ) = np (1− p ).
Exemple 3
Lors d’un concours de tir, on estime qu’à chaque essai un tireur atteint la cible
avec la probabilité 0,35. Chaque tireur effectue dix essais. On suppose que ces
essais sont identiques et indépendants.
Quelle est la probabilité que le tireur atteigne exactement 4 fois la cible au
cours des 10 essais ?
Quel est le plus petit nombre de tirs qu’il doit effectuer pour atteindre la cible
au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,9 ?
Combien peut-il espérer réussir de tirs ?
Solution
Chaque essai peut-être assimilé à une épreuve de Bernoulli.
Le succès a la probabilité p = 0, 35.
On effectue dix essais identiques et indépendants.
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La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit donc la loi binomiale
B(10 ; 0,35).
 10
0, 354 × 0, 656.

 4
On a donc P ( X = 4 ) =

 10
Une calculatrice donne   = 210, donc
 4
4
P ( X = 4 ) = 210 × 0, 35 × 0, 656 ≈ 0, 2377.
Soit A l’événement : « le tireur atteint au moins une fois la cible » et A l’événement contraire « le tireur n’atteint jamais la cible ».
 n
Comme P A = P ( X = 0 ), on a P A =   × 0, 350 × 0, 65n = 0, 65n.
 0
Donc P A = 1− 0, 65n.
()
()
( )
( )
On cherche le plus petit entier n tel que P A > 0, 9 ce qui équivaut à
1− 0, 65n > 0, 9 ou encore à 0,1 > 0, 65n.
(
On affiche sur la calculatrice les premiers termes de la suite géométrique 0, 65n
)
et on trouve 0, 65 ≈ 0,116 et 0, 65 ≈ 0, 075 : le plus petit nombre n de tirs que
le tireur doit effectuer pour atteindre la cible au moins une fois avec une proba5
6
bilité supérieure à 0,9 est donc n = 6.
On calcule l’espérance de la variable aléatoire X dont la loi est la loi binomiale
B(10 ; 0,35).
Donc, puisque np = 10 × 0, 35 = 3, 5 le tireur peut espérer réussir en moyenne 3,5
tirs par série de dix essais (on ne trouve pas un résultat entier car il s’agit d’une
moyenne).
5. Représentation graphique d’une loi binomiale
La loi binomiale est très importante.
On verra à la fin de ce cours et surtout en terminale son rôle essentiel en statistiques.
Aussi il est très utile de représenter graphiquement les lois binomiales.
On va faire des graphiques analogues au diagramme en bâtons que l’on a faits
pour les fréquences en statistiques. Les probabilités seront représentées par la
hauteur des bâtons.
Exemple 4
Voici un graphique obtenu avec OpenOffice pour la loi binomiale de paramètres
n = 10 et p = 0, 7.
Les valeurs de la loi binomiale ont été calculées en utilisant l’instruction :
LOI.BINOMIALE(nombre de succès ; n ; p ; 0).
Séquence 6 – MA12
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On peut remarquer que le logiciel fait des bâtons très larges, il ne faut pas
confondre ce graphique avec un histogramme.
En abscisse on a indiqué les valeurs possibles de k, le nombre de succès, qui sont
0, 1, … ,10.
En ordonnée, on a indiqué les probabilités P ( X = k ).
Voici un deuxième graphique, la loi binomiale ayant comme paramètre n = 50
et p = 0, 7.
Les valeurs prises par la variable aléatoire X, le nombre de succès, vont maintenant de 0 à 50.
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Séquence 6 – MA12
Remarque
Dans les deux graphiques, on peut remarquer que les probabilités les plus
grandes correspondent aux valeurs qui sont proches de la valeur de l’espérance. En effet, dans le premier cas E( X ) = np = 10 × 0, 7 = 7 et dans le second
E( X ) = np = 50 × 0, 7 = 35.
6. Simulation de la loi binomiale
Algorithme pour simuler une réalisation de l’expérience d’un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p
Variables : n, i, j, k : entiers ; p : réel
Début
Lire n, p
k ←0
Pour j = 1 à n faire
Si random ≤ p alors k ← k + 1
Fin Si
FinPour
Afficher k
Cet algorithme affiche le nombre de succès pour une réalisation.
En exercice, on vous propose d’écrire le programme correspondant pour votre
calculatrice.
Et d’écrire aussi un programme affichant les résultats pour un échantillon de
taille E, ainsi que la moyenne du nombre de succès dans un échantillon.
Exemple 5
Avec un tableur
On a simulé la fréquence du nombre de bonnes réponses à un QCM, quand on
répond au hasard à chacune des 40 questions, cinq réponses étant proposées
pour chaque question dont une seule correcte.
Donc ici n = 40 et p = 0, 2.
Dans la ligne 2, en utilisant l’instruction SI(ALEA()<0.2;1;0) on a stimulé 40 fois
une épreuve de Bernoulli avec p=0,2.
On a recopié vers le bas pour obtenir un échantillon de taille 1000.
Dans la colonne AO sont indiqués les nombres des succès pour chaque expérience. Ces nombres de succès prennent les valeurs de 0 à 40 qui sont indiquées
dans la colonne AQ.
Dans la colonne AR, on a compté les effectifs de l’échantillon pour chacune des
valeurs de 0 à 40 avec la fonctionnalité NB.SI($AO$1 :$AO$1000 ;Ar2) qui a été
recopiée vers le bas jusqu’à AR42.
Dans la colonne AS, on a obtenu les fréquences dans l’échantillon en divisant par
1000 les valeurs de la colonne ARX.
Séquence 6 – MA12
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Le graphique est obtenu à partir de la colonne AS.
7. Coefficients binomiaux
Nous allons étudier ici quelques propriétés des coefficients binomiaux.
n
On rappelle que le coefficient binomial   est égal au nombre de chemins
k
réalisant k succès dans un arbre représentant la répétition de n épreuves de
Bernoulli.
On a vu dans la partie 2 de la séquence 3 que, quand on répète n fois une
expérience aléatoire ayant deux issues, ces expériences répétées constituent ensemble une nouvelle expérience aléatoire qui possède 2n issues. Il y a donc, au
total, 2n chemins.
Propriété 3
 n  n  n
 n   n n
Pour tout entier naturel n, non nul, on a :   +   +   + ... + 
 +  = 2 .
 0  1   2
 n − 1  n 
Il y a un seul chemin sur l’arbre qui permet d’obtenir n succès : le chemin qui se
trouve sur le bord externe supérieur.
De même il ya un seul chemin qui permet d’obtenir aucun succès : le chemin qui
se trouve sur le bord externe inférieur.
On obtient donc la propriété suivante.
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Séquence 6 – MA12
Propriété 4
 n
Pour tout entier naturel n, non nul, on a :   = 1 et
 n
Exemple 6
 n
 0  = 1.
 
Ici n = 4. S désigne un succès et E un échec.
Il y a 24 = 16 résultats possibles, il y a 16 chemins sur l’arbre.
S
S
E
S
S
E
E
S
S
E
E
S
E
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
SSSS
SSSE
SSES
SSEE
SESS
SESE
SEES
SEEE
ESSS
ESSE
ESES
ESEE
EESS
EESE
EEES
EEEE
 4  4  4  4  4
4
 0  +  1  +  2  +  3  +  4  = 2 = 16
         
 4
On a effectivement un seul chemin correspondant à 4 succès :   = 1.
 4
 4
Et un seul chemin correspondant à 4 échecs :   = 1.
 0
Propriété 5
n  n 
Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n , on a :   = 
.
k n −k
Démonstration
On fait correspondre chaque chemin de l’arbre qui réalise k succès à un chemin
qui réalise k échecs, en remplaçant S par E et E par S. Par exemple, pour n = 4 et
k = 3, on fait correspondre les chemins ESSS et SEEE.
Chaque chemin réalisant k succès correspond à un chemin réalisant k échecs et
inversement.
Géométriquement cela correspond à transformer l’arbre par la symétrie orthogonale dont l’axe horizontal passe par le point de départ de l’arbre.
Séquence 6 – MA12
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Il y a donc autant de chemins réalisant k succès que de chemins réalisant k
échecs. Or, obtenir k échecs lors de n répétitions c’est obtenir n − k succès, d’où
n  n 
k = n −k.
  

Dans l’arbre précédent, avec n = 4, si on compte le nombre de chemins correspondants à 1 succès et le nombre de chemins correspondants à 4 − 1 = 3 succès
 4  4
on trouve   =   = 4.
 1   3
Propriété 6
Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, on a :
 n   n   n + 1
 k  +  k + 1 =  k + 1 .
  
 

Démonstration
Pour compter le nombre de chemins qui amènent à k + 1 succès lors de n + 1
répétitions d’une épreuve de Bernoulli, on regarde ce qui peut se passer à la
n-ième étape, l’avant-dernière.
k + 1 succès, et la dernière répétition sera nécessairement un
 n 
échec : le nombre de chemins correspondants à ce cas est 
.
 k + 1
Soit il y a déjà eu
Soit il y a eu k succès, et la dernière répétition sera nécessairement un succès
:
n
le nombre de chemins correspondants à ce cas est   .
k
Il n’y a pas d’autres possibilités et aucun chemin n’appartient à la fois à ces deux cas,
 n   n   n + 1
donc le nombre cherché s’obtient en faisant la somme :   + 
 =
.
 k   k + 1  k + 1
Nouvelle illustration (qui permet aussi de démontrer les propriétés précédentes)
C’est une nouvelle illustration qu’il ne faut pas confondre avec un arbre.
Dans un arbre, les 2n résultats possibles dans un schéma de Bernoulli (c’està-dire quand on répète n fois une épreuve de Bernoulli) apparaissent. Chaque
résultat est obtenu au bout d’un « chemin ».
Ici, il y a n + 1 points qui représentent les n + 1 valeurs possibles de la variable
aléatoire X qui indique le nombre de succès dans le même schéma de Bernoulli.
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Séquence 6 – MA12
n
Le coefficient   est égal au nombre de trajets qui aboutissent au point de
k
coordonnées (k ; n − k ). On utilise le mot « trajets » pour éviter les confusions
entre les deux représentations.
nombre d’échecs
=n–k
répétition de n = 4
épreuves
de Bernoulli
O
On part de l’origine d’un repère. Pour chaque épreuve de
répétition de n = 5
épreuves de Bernoulli
Bernoulli, l’abscisse augmente
les valeurs possibles de k sont
de 1 si on obtient un succès,
les 6 valeurs : 0,1,2,3,4,5.
sinon c’est l’ordonnée qui augmente de 1.
Après n répétitions, à la fin
d’un trajet, on obtient un point
A : 3 succès
pour lequel :
C
A
2 échecs
abscisse = nombre de succès,
B
ordonnée = nombre d’échecs,
k : nombre
abscisse + ordonnée = n
de succès
(ces n + 1 points sont donc alignés sur la droite d’équation
x + y = n ).
Comme le montre la figure, un même point peut être obtenu de plusieurs façons.
On a indiqué deux des trajets qui aboutissent au point A, qui correspond à trois
succès lors de cinq répétitions (l’événement ( X = 3)) : le trajet SSESE (trajet « supérieur ») et le trajet ESESS (trajet « inférieur »).
C : n répétitions
k succès
+ 1 succès
A
A : n + 1 répétitions
k + 1 succès
C
+ 1 échec
B
B : n répétitions
Le raisonnement de la démonstration
consiste à remarquer que le nombre de
trajets aboutissant à A est égal à la
somme du nombre de trajets aboutissants à B et du nombre de trajets aboutissants à C, comme l’illustre la figure :
 n   n   n + 1
 k  +  k + 1 =  k + 1 .
  
 

k + 1 succès
Commentaire
Cette relation est une relation de récurrence puisqu’elle permet de calculer les
coefficients pour n + 1 répétitions quand on connaît les coefficients pour n répétitions. Mais elle est moins simple que les relations habituelles car le nombre
k intervient.
Cette possibilité de calculs successifs est utilisée dans le triangle de Pascal.
n
Les termes de la ligne n sont les coefficients   .
k
Séquence 6 – MA12
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Les valeurs de k correspondent aux n + 1 colonnes : k = 0, k = 1,... , k = n.
En début et en fin de ligne, les coefficients sont égaux à 1 d’après la propriété 4.
Et, connaissant les coefficients d’une ligne, on obtient ceux de la suivante en les
calculant ainsi lorsque k ≠ 0 et k ≠ n :
n n 
 k  +  k + 1
↓
 n + 1
 k + 1
On obtient alors le triangle de Pascal :
k =0 k =1 k =2 k = 3 k = 4 k =5 … …
k= 1 2 3 4 …
n
Ligne 1
1 1
Ligne 2
1 2 1
Ligne 3
1 3 3 1
Ligne 4
1 4 6 4 1
n+1
…………………………
…………………………
Ligne n
n  n 
 n
 n
 0  .............  k   k + 1 ....................  n 
  
 
 

Ligne n + 1
 n + 1
 n + 1
 n + 1
 0  .....................  k + 1 ...............................  n + 1






Un peu
d’histoire
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On trouve ce triangle dans le Traité du triangle arithmétique du philosophe
français Blaise Pascal (1623-1662). On le trouve aussi dans des textes mathématiques de plusieurs civilisations, par exemple, en Perse, Omar Khayyam (10481131) l’utilise, et il est cité comme déjà connu dans des textes chinois du 14ème
siècle.
Séquence 6 – MA12
C
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
En utilisant le triangle de Pascal, donner tous les coefficients binomiaux pour
n = 5 et n = 6.
Pour les lois binomiales on montrera que les conditions sont remplies et
on précisera les paramètres.
Exercice 2
On tire, au hasard une boule dans une urne qui contient deux boules noires et
trois boules rouges. On définit la variable aléatoire X valant 1 si la boule tirée est
noire et 0 si elle est rouge. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire
X. Quelle est son espérance ?
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y comptant le nombre
de boules noires tirées lorsqu’on répète quatre fois des tirages, en remettant la
boule tirée dans l’urne après chaque tirage ? Quelle est l’espérance de Y ?
Exercice 3
On lance 10 fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité que la
pièce tombe exactement 3 fois du côté Pile ? Au plus trois fois ?
Exercice 4
Combien de fois au minimum, faut-il lancer un dé (non pipé) pour avoir au moins
une chance sur deux d’obtenir au moins un six ?
Exercice 5
Dans un jeu où on a une chance sur 5 de gagner, on joue 5 fois de suite (répétitions identiques et indépendantes).
Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?
Quelle est l’espérance du nombre de réussites ?
Donner le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le
nombre de réussites.
Exercice 6
Le monopole du marché du cacao est détenu par deux marques A et B. On a observé que 20% de la clientèle choisit la marque A et 80%, la marque B.
On effectue un sondage sur 100 personnes au hasard. Le nombre de personnes
interrogées est suffisamment grand pour pouvoir assimiler ce sondage à un tirage avec remise.
On note X le nombre de personnes ayant achetées la marque A.
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait entre 20 et 25 personnes à avoir choisi la
marque A ?
Exercice 7
Un jeu consiste à lancer 18 fois une pièce de monnaie bien équilibrée.
Si vous obtenez 18 fois Face vous gagnez 900 millions d’euros ; sinon, vous perdez 1000 €.
Calculer l’espérance du gain à ce jeu. Jouerez-vous ?
On divise les enjeux par 10 000 : on gagne 90 000 € en obtenant 18 fois Face ; sinon,
on perd 10 centimes. Calculer l’espérance du gain à ce nouveau jeu. Jouerez-vous ?
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Exercice 8
On admet que toute personne réservant une place d’avion a une chance sur 10
de ne pas se présenter à l’embarquement.
Une compagnie aérienne dispose d’un avion de 100 places et vend 107 réservations.
L’objectif est d’évaluer la probabilité de surréservation de cette compagnie, c’està-dire de répondre à la question : quelle est la probabilité que plus de 100 passagers se présentent à l’embarquement ?
Exercice 9
Alice et Bob s’affrontent dans un tournoi de ping-pong. Pour chaque partie, la
probabilité qu’Alice gagne est p = 0,6. Le tournoi est constitué de 9 parties. Le
vainqueur est celui qui a gagné le plus de parties. Quelle est la probabilité que
Bob gagne le tournoi ?
Séquence 6 – MA12
3 Synthèse
1. Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli
Définition 1
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée
« succès », l’autre appelée « échec ».
Définition 2
On considère une épreuve de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d’échec.
La variable aléatoire X est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli.
Propriété 1
La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p a pour espérance p et pour variance p (1− p ).
2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale
Définition 3
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est une expérience aléatoire qu’on appelle schéma de Bernoulli.
Définition 4
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli où
on répète n fois une épreuve de Bernoulli pour laquelle la probabilité du succès est égale à p.
La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est souvent notée B(n ; p ).
Séquence 6 – MA12
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Remarque
Le paramètre n est un entier naturel non nul.
Le paramètre p est un nombre réel de l’intervalle 0 ; 1 .
Définition 5
Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre. Le nombre de chemins de l’arbre réan
lisant k succès pour n répétitions se note   et s’appelle un coefficient binomial.
k
Théorème 5
Expression de la loi binomiale
Lorsque la loi d’une variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres n et p, la variable
aléatoire X prend les n + 1 valeurs 0, 1,… , n avec les probabilités :
n
P ( X = k ) =   p k ( 1 − p )n −k pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n.
k
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, son espérance et sa
variance sont données par :
E( X ) = np et V( X ) = np (1− p ).
Représentation graphique l’une loi binomiale
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Exemple
Séquence 6 – MA12
3. Coefficients binomiaux
Propriété 3
 n  n  n
 n   n n
Pour tout entier naturel n, non nul, on a :   +   +   + ... + 
 +  = 2 .
 0  1   2
 n − 1  n 
Propriété 4
 n
 n
Pour tout entier naturel n, non nul, on a :   = 1 et   = 1.
 0
 n
Propriété 5
n  n 
Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n , on a :   = 
.
k n −k
Propriété 6
Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, on a :
 n   n   n + 1
 k  +  k + 1 =  k + 1 .
  
 

Triangle de Pascal :
k= 0 1 2 3 …
n
Ligne 1
1 1
Ligne 2
1 2 1
Ligne 3
1 3 3 1
Ligne 4
1 4 6 4 1
…………………………
…………………………
n+1
Ligne n
n  n 
 n
 n
 0  .............  k   k + 1 ....................  n 
  
 
 

Ligne n + 1
 n + 1
 n + 1
 n + 1
 0  .....................  k + 1 ...............................  n + 1






Séquence 6 – MA12
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4
Exercices
d’approfondissement
Exercice I
 n  n 
Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a   = 
 = n.
 1   n − 1
Exercice II
On lance deux dés cubiques non truqués. Quelle est la probabilité d’obtenir
un double-six ?
On lance 10 fois de suite les deux dés précédents. Quelle est la probabilité
d’obtenir au moins trois fois un double-six ? Quelle est la probabilité d’obtenir
au moins trois fois un double ?
Exercice III
En considérant que l’entier n est fixe, quelle est la valeur de p pour laquelle la
dispersion de la loi binomiale B(n ; p ) est maximale ?
Exercice IV
Dans le but de contrôler l’état d’ébriété des conducteurs automobiles, la police
procède à des tests d’alcoolémie. On admet que 2% des conducteurs susceptibles d’être contrôlés sont en état d‘ébriété. La police contrôle n personnes. On
suppose que les différents contrôles peuvent être considérés comme la répétition
d’expériences identiques et indépendantes. On considère la variable aléatoire X
définie par le nombre de personnes en état d’ébriété au cours du contrôle.
Exprimer, en fonction de n, la probabilité des événements X = 0, X = 1,
X = 2.
Exprimer, en fonction de n, la probabilité pour que, au cours de ce contrôle, il
y ait au moins une personne en état d’ébriété.
Calculer le nombre minimal N de personnes à contrôler pour que la probabi-
lité de trouver au moins une personne en état d’ébriété soit supérieure à 0,95.
On contrôle 500 personnes, combien peut-on craindre de contrôles positifs ?
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Exercice V
Pour un examen, les candidats doivent répondre à un QCM. Il y a 50 questions et
à chaque question, le candidat doit choisir entre 5 réponses dont une seule est
la bonne. Les rédacteurs du sujet d’examen souhaitent introduire un score éliminatoire de sorte qu’un candidat qui répondrait au hasard ait une chance sur 100
seulement de dépasser ce score. Quel doit-être le score éliminatoire ?
Exercice VI
Dans une ville, les n personnes d’un groupe de voyageurs se répartissent au
hasard dans 3 hôtels H1 , H2 et H3 . On note X i la variable aléatoire égale au
nombre de personnes ayant choisi l’hôtel Hi .
Séquence 6 – MA12
Déterminer les lois des trois variables
X i.
Déterminer la loi de la variable aléatoire définie par X 1 + X 2 , son espérance
et sa variance.
Exercice VII
En utilisant l’algorithme de la partie du cours, écrire un programme pour
simuler avec votre calculatrice une réalisation de l’expérience d’un schéma de
Bernoulli.
Modifier ce programme pour qu’il affiche les résultats d’un échantillon de
taille E.
Modifier enfin ce programme pour qu’il affiche seulement la moyenne du
nombre de succès pour un échantillon.
Faire fonctionner ce programme sur des exemples et comparer la moyenne
affichée avec l’espérance de la variable aléatoire correspondante.
Séquence 6 – MA12
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