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Chapitre 4 : cinématique du solide rigide
La cinématique est une partie de la mécanique rationnelle. Elle traite le mouvement
mécanique uniquement de point de vue géométrique, sans tenir compte les causes qui ont
provoquées ce mouvement. La cinématique étudie le changement de position géométrique des
corps dans le temps. Or, cela ne peut pas être fait que par rapport à un référentiel où l’on
pourrait déterminer la position du corps mobile.
4.1 Rappels succinct sur les quantités cinématiques pour un point matériel
4.1.1. Trajectoire
Soit un point M repéré dans un référentiel R (O, x, y, z ) fixe. Sa position est déterminée
par le vecteur position à l'instant t (Figure 4.1.)
 x (t)

r  r (t)   y (t)

 z (t)
(4.1)
Où x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M à l'instant t (Figure 4.1.)
M(t) est la position du point M à l'instant t
M' (t+t) est la position du point M à l'instant (t+t) ;
MM' est le vecteur déplacement du point M.
() S'appelle trajectoire du mobile par rapport au référentiel.
- Si () est une droite, le mouvement du point est rectiligne;
- Si () est une courbe, le mouvement du point est curviligne.
M(t)
r
z
M’(t+t)
r( t )
()
r(t  t )
O
x
y
Figure 4.1. Trajectoire d'un point
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4.1.2. Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse moyenne du mobile entre les deux instants est défini par :
vm 
MM' r t  t  - r (t)  r


t
t
t
Le vecteur à vitesse instantané est :
r
dr

t  0  t
dt
v  lim v m  lim
t  0
(4.2)
Ce vecteur est constamment tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.
4.1.3. Vecteur accélération
Le vecteur accélération moyenne du mobile entre t et t+t est défini par :
a
m

v t  t  - v (t)  v

t
t
L'accélération instantanée est :
 v d v d ²r


t  0 t
dt
dt²
a  lim am  lim
t  0
(4.3)
4.1.3. Mouvement circulaire
Une particule M est animée d'un mouvement circulaire si, à tout instant t, elle est située en
un point P appartenant à un cercle (c) de rayon r et de centre O (Figure 4.2). Choisissons un
repère orthonormé d'origine O et de vecteurs unitaires i et j , se trouvant dans le plan de la
trajectoire circulaire.
y
v
P
(M)
p
u1
j u
O

i
x
Figure 4.2. Mouvement circulaire
Soit u le vecteur unitaire de OP (Figure 4.2), le vecteur position s'écrit :
OP  r  r u
(4.4)
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
Soit l'angle de rotation   i , u
 ; supposons (t) deux fois dérivable. Le vecteur vitesse
de la particule M au point P, est obtenu par la dérivation de (4.4).
v 
dr
du
d u d
r
r
dt
dt
d dt
du
est le vecteur unitaire p , directement perpendiculaire à u dans le plan, donc :
d
d
p
dt
v r
(4.5)
Il est convenu de représenter le vecteur vitesse v en prenant le point P pour origine, de
même que pour le vecteur accélération. Sachant que :
dp dp d

dt
d dt
dp
est le vecteur unitaire u1 opposé à u , et directement perpendiculaire à p dans le plan:
d
dp
d
 u
dt
dt
On calcule, le vecteur accélération de la particule M au point P :
  d  2
dv
d² 
 
 r - 
p
 u 
dt
dt²
  dt 
(4.6)
est la vitesse angulaire où le taux de rotation) ; noté 
d
dt
ou 
d²
dt ²
r
2

d² 
 d 
p
  - r
 u r
dt²
 dt 

est l'accélération angulaire ; noté 
d ²
dt ²
est l'accélération tangentielle ; noté  t
2
 d 
 r  est l'accélération normale ; noté  n
 dt 
Remarque :
Si (s) est l'abscisse curviligne de P sur le cercle, on a :
v R
d ds

dt dt
soit :
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v R
d
ds
p  p
dt
dt
t  R
d ²  d ²s

dt ² dt ²
2
v²
 d 
 n   R
 
R
 dt 
 
v²
d ²s
u
p
R
dt ²
Où R est le rayon de courbure de la trajectoire en P; le centre de courbure est sur la
normale orientée suivant u en P.
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4.2 Cinématique du corps solide
4.2.1. Notion d'un solide parfait
Un solide (S) parfait, est un ensemble d'éléments matériels, dont les distances mutuelles ne
varient pas au cours du temps. Par conséquent, les vitesses entre ces points se ne sont pas
indépendantes. D’ici, la cinématique du solide traite la distribution des vitesses des points
dans un corps, indépendamment des causes qui ont engendrées le mouvement du solide.
4.2.2. Torseur cinématique – distribution des vitesses
4.2.2.1. Champ des vitesses d'un solide en mouvement
A chaque point du solide (S), on peut associer son vecteur vitesse défini par :
V A / R0 
d R 0 OA
dt
(4.7)
La définition d’un solide parfait entraîne que la dérivée par rapport au temps de la distance
entre deux de ses points quelconques A et B est nulle :
 

2

d AB
d AB
 0  2 AB .
 2 AB . V B  V A  0
dt
dt
z
R
R0
z0
O
A
B
O0
x0
y
(S)
y0
x
Figure 4.3. Champ des vitesses d'un solide en mouvement
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Cherchons la relation entre V A / R 0 et V B / R 0 .
D'après la formule de dérivation d'un vecteur :
VA / R0 
d R 0 OA d R OA

  S / R 0  OA
dt
dt
V B / R0 
d R 0 OB d R OB

  R / R 0  OB
dt
dt
D'où :



VB / R0  V A / R0 
d R OB  OA
  S / R 0  OB  OA
dt
VB / R0  VA / R0 
d R AB
  S / R 0  AB
dt

 
Or,
AB  cons tan te 
 
d R AB
0
dt
Par conséquent :
V B / R 0  V A / R 0   S / R 0  AB
(4.8)
C’est la formule de distribution des vitesses dans un corps solide indéformable en
mouvement. Elle montre que le champ des vitesses d’un solide est un champ antisymétrique.
4.2.2.2. Torseur cinématique
Le torseur cinématique exprimé au point A du solide (S) dans son mouvement par rapport
au repère R0, est défini par :
V 
S R0 A
 S R 
0 
 
 V A R 
0 

(4.9)
Le vecteur libre  S / R est le vecteur taux de rotation instantané du solide (S) par rapport
0
au repère R0 et V A R 0 est le vecteur vitesse du point A appartenant au solide (S) par rapport
au repère R0.
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4.2.2.3. Champ des accélérations d'un solide en mouvement
A chaque point du solide (S), on peut associer son vecteur accélération défini par :
aB / R 0 
dR 0 VB / R 0
dt
(4.10)
Sachant que :
 ( A , B ) ( S )
V B / R 0  V A / R 0   S / R 0  AB


aB / R 0 
d R 0 V B / R 0 d R 0 V A / R 0   S / R 0  AB

dt
dt
aB / R0 
d R0 V A / R0 d R0  S / R0
d R 0 AB

 AB   S / R 0 
dt
dt
dt
Or
d R 0 AB d R AB

  S / R 0  AB
dt
dt
aB / R0 

d R0 V A / R0 d R0  S / R0

 AB   S / R 0   S / R 0  AB
dt
dt

(4.11)
C'est la Formule de Rivals ou loi de distribution des accélérations dans un corps solide
indéformable.
4.2.2.4. Axe instantané de rotation
On appelle axe instantané de rotation l’axe central du torseur cinématique. Cet axe est donc
le lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur taux de rotation instantané.
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A tout instant, le mouvement du solide (Figure 4.4) peut être considéré comme la
composition d’une rotation autour de l’axe instantané de rotation (t) de vitesse  et d’une
translation instantanée le long de l’axe instantané de rotation de vitesse V A , A étant un point
de l’axe.
(t)

R)
A
M
V M  V A  MA  
translation
rotation
Figure 4.4. Mouvement général d’un solide
Nous avons vu que l’axe central d’un torseur est le lieu des points où les moments sont
minimaux. Donc, si un solide possède au moins deux points de vitesses nulles, l’axe
instantané de rotation passe obligatoirement par ces deux points.
4.2.3 Mouvement de translation
Pour un mouvement de translation, à un instant donné, les vecteurs vitesses de tous les
points du solide sont égaux et le vecteur taux de rotation est nul (Figure 4.5.).
  0 , V A  VB
A, B Solide
(4.12)
Si les trajectoires des points du solide sont rectilignes (Figure 4.5), nous parlerons de
translation rectiligne. Si, de plus, leurs vitesses respectives sont constantes au cours du temps,
nous aurons une translation rectiligne uniforme.
A(t)
B(t)
A(t1)
A(t2)
B(t1)
B(t2)
Figure 4.5. Mouvement de translation rectiligne
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4.2.4 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Le solide en rotation possède une liaison rotoïde ou pivot avec le solide de référence:
chaque point du solide décrit alors une trajectoire circulaire autour de l'axe du rotoïde
constituant l'axe instantané de rotation (Figure 4.6).

r
O
d
M

ds
vM
z0
Figure 4.6. Mouvement de rotation autour d’un axe
Si O appartient à l'axe fixe du vecteur directeur z 0 , on a alors :
v M  MO  
Cela est possible si    z 0 est colinéaire à z 0 ,
Or par définition, nous avons :
vM 
ds rd

 r 
dt
dt
et :%MLOOO*
Ml*ù !m$ù

d
z 0   z 0
dt
Si un solide est soumis à la rotation autour d'un axe de vecteur directeur z 0 à une vitesse 
dans le sens direct, le vecteur taux de rotation instantané de ce solide s'écrit :
   z 0
(4.13)
4.2.5 Mouvement plan
Ce mouvement est la superposition d'une rotation autour d'un axe et une translation suivant
ce même axe. C'est le cas, par exemple, du mouvement d'une vis dans un écrou. D'après la
figure 4.4, le vecteur vitesse du point M s'écrit :
V M  V A  MA  
(4.14)
Avec :
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V A le vecteur vitesse de translation du point A, qui représente le mouvement de translation ;
 le vecteur taux de rotation instantané, qui représente le mouvement de rotation.
4.2.6 Mouvement composé.
4.2.6.1. Dérivation composée (Rappel)
Soit le repère orthonormé R (O, x, y , z ) lié au solide (Figure 3.12.), et un repère fixe R0(
O0, x0 , y 0 , z 0 ).
(R)
(R0)
z
y
M
z0
W(t )
O
(S)
A
O0
y0
x
x0
Figure 3.12. Composition de mouvements
On détermine l’expression de la dérivée de (
dx
) par rapport au temps t.
dt
Soit A le point tel que OA  x , on peut alors écrire :
VA  VO  AO   S / R 0
Or,
d x dOA

 VA  VO  AO   S / R 0   OA   S / R 0   S / R 0  OA   S / R 0  x
dt
dt
On a donc, plus généralement, la formule de base mobile :
dx
  S / R0  x
dt
dy
  S / R0  y
dt
(3.15)
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dz
  S / R0  z
dt
Soit un vecteur W  W (t ) représentatif d’une grandeur physique variable dans les repères
R0 et R (Figure 3.12) et dans le temps.
Soient x0, y0 et z0 les composantes de W dans R0 au temps t, on écrit :
W ( t )  x 0 ( t )x 0  y 0 ( t )y 0  z 0 ( t )z 0
Soient x, y et z les composantes de W dans R au temps t:
W ( t )  x( t ) x  y ( t ) y  z ( t ) z
On appelle dérivée de W (t ) par rapport à t dans les repères R0 et R respectivement :
d R0 W(t )
 x 0 (t )x 0  y 0 (t )y 0  z 0 (t )z 0
dt
Et,
d R W(t )
 x (t )x  y (t )y  z (t )z
dt
La dérivée de W ( t ) exprimé dans le repère R par rapport à t et par rapport à R0 s’écrit:
d R0 W(t )
d R0 x
d R0 y
d R0 z
 x x  y y  z z  x
y
z
dt
dt
dt
dt
d R 0 W(t ) d R W(t )
d R0 x
d R0 y
d R0 z

x
y
z
dt
dt
dt
dt
dt

 
 
d R0 W(t ) d R W(t )

 x  S / R0  x  y  S / R0  y  z  S / R0  z
dt
dt

d R0 W(t ) d R W(t )

  S / R 0  xx  y y  z z
dt
dt


D’où la règle de dérivation composée ou règle de dérivation dans un repère mobile :
d R0 W(t ) d R W(t )

  S / R0  W(t )
dt
dt
(3.16)
Dans le cas particulier où W( t )   S / R1 , nous remarquons que :
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d R1
dR
 S / R1 
 S / R1
dt
dt
4.2.6.2. Composition de vitesses
Soit R0 le repère absolu et R le repère relatif.
Le vecteur vitesse absolue d’un point M quelconque (non forcément lié au solide, figure
(3.11), sera noté :
V M / R0 
d R0 O 0 M
dt
Le vecteur vitesse relative d’un point M du solide (S) sera noté dans le repère R :
VM / R 
d R OM
dt
Le vecteur position absolue du point M par rapport au repère R0 est noté :
O 0 M  O 0 O  OM
D’où
V M / R0
d R 0 O 0 M d R 0 O 0 O d R 0 OM



dt
dt
dt
Tenant compte la relation (3.16) qui donne la dérivée d'un vecteur mobile par rapport au
repère fixe,

d R0 OM d R OM

  S / R0  OM
dt
dt

D’où :
V M / R0  V OS / R0

d R OM

  S / R0  OM
dt

Cette relation devient :

V M / R 0  V M / R  V OS / R 0   S / R 0  OM

(3.17)
V M / R 0  V r (M )  V e (M )
Le vecteur vitesse absolue V M / R 0 est le vecteur vitesse du point M pour un observateur lié
au repère absolu (fixe) R0. Cette vitesse peut être décomposée en deux parties :
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- La vitesse relative :
V r (M )  V M / R
C'est la vitesse du point M pour un observateur lié au repère relatif (mobile) R.
- La vitesse d’entraînement :

V e ( M )  V OS / R 0   S / R 0  OM

C'est la vitesse du point M appartenant à R0 et qui coïncide à l'instant t avec le point M.
4.2.6.3. Composition d’accélérations
- Accélération absolue
On notera le vecteur accélération absolue par :
a M / R0 
d 2 R0 O 0 M d R0 V M / R0

dt
dt 2


On a alors pour simplifier l’écriture  S / R 0   :
a M / R0


d R0 V M / R0 d R0 V OS / R0  V M / R    OM


dt
dt
a M / R0 

d R0 V OS / R0 d R0 V M / R d R0 
d R0 OM


 OM   
dt
dt
dt
dt
En tenant compte de la relation (3.16) de la dérivée d'un vecteur mobile par rapport au
repère fixe,
d R0 V M / R d R V M / R

   VM / R
dt
dt
D’où le vecteur accélération absolue du point M, s'écrit :
 dR VM/ R
 dR0 
 dR OM

aM/ R0  aOS / R0  
   VM/ R  
 OM   
   OM
 dt
 dt
 dt





Nous pouvons donc le réécrire sous la forme :


aM / R  aOS / R  aM / R  2   V M / R 
0
0

dR 
 OM      OM
dt
0

(3.18)
Où :
a M / R 0  a r (M )  a c (M )   a e (M )
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Cette accélération absolue peut être décomposée en trois parties :
- l’accélération relative
a r (M )  a M / R
C'est le vecteur accélération du point M pour un observateur lié au repère relatif R.
- l’accélération d’entraînement (accélération de M par rapport à R0 si M est supposé fixe
dans R) :
a e (M )  a OR / R 0 

d R0 
 OM      OM
dt

Elle s’obtient aussi par l’application de la formule de Rivals (3.11) entre O et M,
rigidement lié à O dans le mouvement d’entraînement.
- L’accélération complémentaire où de Coriolis

a c (M )  2   V M / R

L’accélération de Coriolis est nulle si et seulement si :
- le vecteur taux de rotation du repère relatif par rapport au repère absolu est nul :   0
- la vitesse relative du point considéré est nulle : V r (M )  V M / R  0
-la vitesse relative est colinéaire au vecteur taux de rotation :  // V M / R
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