Mécanique M1 : Décrire le mouvement d’un point matériel Préparation du cours I -La cinématique 1°) Objet de la cinématique d’un point matériel Quel est l’objet de la cinématique ? Qu’est ce qu’un point matériel ? 2°) Des outils pour décrire le mouvement d’un point matériel Que faut-il préciser lorsque l’on souhaite étudier le mouvement d’un point matériel ? 3°) Référentiels et repères d’espace Qu’est ce qu’un référentiel ? Qu’est ce qu’un repère d’espace (un repère) ? Qu’est ce qu’un référentiel terrestre ? Qu’est ce que le référentiel géocentrique ? Qu’est ce que le référentiel héliocentrique ? 4°) Repérage dans le temps Que doit-on posséder pour mesurer l’écoulement du temps ? 5°) Trajectoires Définir la trajectoire d’un point matériel. II - Systèmes usuels de coordonnées Le point courant M, est repéré, à chaque instant, par trois coordonnées qui sont des fonctions du temps nommées équations horaires. On a le choix entre plusieurs systèmes de coordonnées. 1°) Coordonnées cartésiennes : M(x,y,z) On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps. z H M ez r y ex O ey x P P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz). Compléter l’égalité suivante : OM .........ex .........ey .........ez 1 1 Mécanique 2 2°) Coordonnées cylindriques : M(r,,z) Ces coordonnées sont bien adaptées aux problèmes où il y a rotation plane autour d’un axe (mouvement des planètes, rotation d'un solide autour d'un axe, etc.) H z M r ez O ex ey e y er x P P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l'axe (Oz). En coordonnées cylindriques : er et e sont 2 vecteurs unitaires dans le plan (Oxy). e r pointe dans la direction de P. r est la distance r = OP = HM, est l'angle orienté : e x , er , c'est aussi l'angle orienté : e y , e . er , e , e z est un trièdre direct. Vue dans le plan (O,M,z) : z M H r ez e O er r = OP Vue dans le plan (O,x,y) : e . ez y er ey ex x 2 P P Mécanique 3 Coordonnées polaires (r,) (c'est la restriction au plan (Oxy) des coordonnées cylindriques) : ey e er ex Compléter l’égalité suivante : OM .........er .........ez Exprimer x en fonction de r et θ. Exprimer y en fonction de r et θ. Exprimer r en fonction de x et y. Exprimer θ en fonction de x et y (attention au signe de x). En utilisant les cosinus et les sinus de l’angle θ, compléter les égalités suivantes : er .............ex ..............ey e .............ex ..............ey ex .............er ..............e ey .............er ..............e III / Vitesse et accélération 1°) Définition Définir le vecteur vitesse v à partir du vecteur position OM . Définir le vecteur accélération a à partir du vecteur vitesse v . Exprimer le vecteur accélération a en fonction du vecteur position OM . 2°) Coordonnées cartésiennes Le vecteur vitesse v a pour coordonnées v (vx, vy, vz). Le vecteur accélération a a pour coordonnées a (ax, ay, az). Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse v en fonction de x, y et z. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse a en fonction de x, y et z. Exprimer la norme du vecteur vitesse v en fonction de vx, vy, vz puis de x, y et z. Exprimer la norme du vecteur vitesse a en fonction de ax, ay, az puis de x, y et z. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant: x(t) = a0t2 + x0 , y(t) = - vt et z(t) = z0 avec x0 = 1,0 m, z0 = - 1,0 m, a0 = 2, 0 m.s-2 et v = 3,0 m.s-1. Déterminer les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t = 2,0 s. Calculer la norme de l'accélération de M à la date t = 1,0 s. 3