Fonctions de référence - Fonctions usuelles

Séquence 6
Fonctions de référence
Fonctions usuelles
Sommaire
1. Prérequis
2. Fonction carré et fonction inverse
3. Fonctions polynômes de degré 2 ; fonctions homographiques
4. Trigonométrie
5. Algorithmique
6. Synthèse de la séquence
7. Exercices d’approfondissement
Séquence 6 – MA20
1
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1 Prérequis
A
Les séquences 1 et 3 du cours.
On rappelle en particulier les définitions suivantes
Dire que f est croissante sur l’intervalle
I signifie que pour tous réels u et v de
l’intervalle I,
Dire que f est décroissante sur
l’intervalle I signifie que pour tous
réels u et v de l’intervalle I,
si u ≤ v , alors f (u ) ≤ f (v ).
si u ≤ v , alors f (u ) ≥ f (v ).
La courbe représentative d’une
fonction croissante sur l’intervalle I
« monte » lorsque x décrit I.
La courbe représentative d’une
fonction décroissante sur l’intervalle I
« descend » lorsque x décrit I.
Par exemple, on lit sur le dessin cidessous que f est croissante sur
I = [−2,5 ; 2]
Par exemple, on lit sur le dessin
ci-dessous que f est décroissante sur
I = [−2,5 ; 2]
y
2
y
2
f(v)
f(v)
1
1
u
-2
-1
v
u
0
1
v
2 x
-1
f(u)
-2
Pour tous réels u et v, f (u ) et f (v )
sont rangés dans le même ordre que
u et v.
-2
-1
0
1
2 x
-1
f(u)
-2
Pour tous réels u et v, f (u ) et f (v )
sont rangés dans l’ordre contrairee de
u et v.
Séquence 6 – MA20
3
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B
Relations trigonométriques dans
le triangle rectangle
ABC est un triangle rectangle en A.
cos Bˆ =
côté adjacent à Bˆ BA
= ;
hypoténuse
BC
C
côté opposé à Bˆ CA
sinBˆ =
=
;
hypoténuse
CB
côté opposé à Bˆ
AC
tanBˆ =
=
.
côté adjacent à Bˆ AB
A
B
Si on connaît la longueur de deux côtés d’un triangle rectangle, on peut à l’aide
d’une calculatrice réglée en mode degré déterminer une valeur approchée des
angles de ce triangle.
Par exemple, si on sait que AB = 4 cm et BC = 5 cm, on peut en déduire que :
4
cos Bˆ = = 0, 8
5
et on en déduit en effectuant
2nde
4
Séquence 6 – MA20
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cos 0.8 que B̂ ≈ 36,87°
2
A
Activité 1
Fonction carré
et fonction inverse
Activités
La caisse à gâcher
L
l
H
h
Dimensions de la caisse à gâcher : L = 60 cm ; l = 40 cm ; H = 30 cm .
Calculer, en litres, le volume total Vt de la caisse à gâcher.
Calculer, en litres, le volume d’eau V contenu dans la caisse à gâcher pour
une hauteur d’eau de 10 cm puis pour une hauteur d’eau de 20 cm. A-t-il
doublé?
Exprimer le volume V (en litres) en fonction de la hauteur d’eau h (en cm).
a) Compléter le tableau de valeur ci-dessous.
h (cm)
0
4
8
12
16
20
24
28
30
V (h )
Séquence 6 – MA20
5
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b) Tracer la courbe représentative du volume V en fonction de la hauteur d’eau h.
y
V en litres
36
32
28
24
20
16
12
8
4
4
0
Activité 2
8
12
16
20
24
x
32
h en cm
28
Un rectangle d’aire constante.
L’unité choisie est le cm.
L’aire d’un rectangle OABC est de 8.
On note x = OA et y = OC .
Exprimer y en fonction de x.
Remplir le tableau de valeurs suivant (résultats arrondis au centième si
nécessaire).
f désigne la fonction telle que y = f ( x ).
x
0,5
0,75
y = f (x )
6
Séquence 6 – MA20
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1
2
3
4
6
8
12
16
Tracer la représentation graphique de la fonction f dans le repère suivant :
y
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
x
Pour quelle valeur de x le rectangle OABC devient-il un carré ?
B
Cours
La
fonction CARRÉ
Définition
La fonction définie sur
2
, qui à tout nombre réel x associe son
carré x , est appelée fonction carré.
Propriété : Sens de variation
2
est strictement croissante sur
La fonction carrée f : x x
[0 ;+∞[.
2
La fonction carrée f : x x est strictement décroissante sur
]-∞ ;0].
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7
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−∞
x
0
+∞
f (x )
0
Démonstration
Soit u et v deux nombres réels tels que 0 < u < v .
L’inégalité u < v peut être multipliée par u car u > 0. On en déduit u 2 < uv .
L’inégalité u < v peut être multipliée par v car v > 0. On en déduit uv < v 2.
Puisque u 2 < uv et uv < v 2 , on en déduit que u 2 < v 2.
Cette inégalité reste vraie si u = 0 et u < v.
Par suite, si 0 ≤ u < v , alors f (u ) < f (v ).
Remarque
2
La fonction carrée f : x x est donc
bien strictement croissante sur [0 ; +∞[.
On démontrerait de manière analogue
que f est strictement décroissante sur
]–∞ ; 0[.
Deux nombres positifs sont dans le
même ordre que leurs carrés.
Deux nombres négatifs sont dans
l’ordre contraire de leurs carrés.
Représentation graphique
Tableau de valeurs
x
−4
f(x)=x2
16
ᏼ
−2
−1
−0, 5
0
0,5
1
2
3
4
9
4
1
0,25
0
0,25
1
4
9
16
y
15
y = x2
14
13
M'
−3
12
Courbe
x2
M
11
Dans un repère orthogonal, la fonction carré est représentée
par une courbe ᏼ appelée parabole.
Le point O est appelé sommet de la parabole.
10
9
Propriété : Dans un repère orthogonal, la parabole ᏼ représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
8
7
6
5
4
3
Démonstration
2
Pour démontrer cette propriété, il suffit de démontrer que
si un point M(x, y) appartient à ᏼ, alors son symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées appartient aussi à ᏼ .
1
-x
-4 -3 -2 -1 0 O 1
8
2
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3
x
4 x
Si M((x, y ) appartient à ᏼ , alors y = x 2.
Le symétrique de M par rapport à l’axe
des ordonnées est le point M’( − x ; y ).
Or ( − x )2 = x 2 = y 2 donc M’appartient
à ᏼ.
La
Remarque
Pour tout nombre réel x, x 2 est
positif ou nul.
Graphiquement, cela correspond
au fait que ᏼ est au dessus (ou en
contact) avec l’axe des abscisses.
fonction INVERSE
Définition
La fonction définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞ [ qui à tout nombre réel x
non nul associe son inverse
1
, est appelée fonction inverse.
x
Le nombre 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de la
fonction inverse car on ne peut pas diviser par 0.
Propriété : sens de variation
1
est strictement décroissante sur
La fonction inverse g : x x
]0 ;+∞[.
1
est strictement décroissante sur
La fonction inverse g : x x
]-∞ ;0[.
−∞
x
g(x ) =
Démonstration
0
+∞
1
x
Soit u et v deux nombres réels tels que 0 < u < v .
u v
L’inégalité u < v peut être divisée par uvv car uv > 0. On en déduit
<
soit
uv vu
1 1
< .
v u
Remarque
Deux nombres strictement positifs sont dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Deux nombres strictement négatifs sont dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Par suite, si 0 < u < v , alors g (u ) > g (v )
1
La fonction inverse g : x est donc bien
x
strictement décroissante sur ]0 ;+∞[.
On démontrerait de manière analogue que g est
strictement décroissante sur ] −∞; 0[.
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9
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Représentation graphique
Tableau de valeurs
−4
x
1 −0, 25
g(x ) =
x
−3
−
1
3
−2
−1
−0, 5
−0, 5
−1
−2
−0, 25 0,25 0,5
−4
4
2
1
2
3
4
1
0,5
1
3
0,25
Courbe
Dans un repère orthogonal, la fonction
inverse est représentée par une
courbe ᐄ appelée hyperbole.
y
3
2
ᐄ
1
-x
-3
-2
u
-1
M'
M
1/x
0 -1/x
1
2
x
3
x
Propriété :
Dans un repère orthogonal,
l’hyperbole ᐄ représentant
la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine
O du repère.
-1
Démonstration
-2
Pour démontrer cette propriété, il suffit
de démontrer que si un point M(x, y)
appartient à ᐄ , alors son symétrique
-3
par rapport à l’origine O du repère
appartient aussi à ᐄ.
Si M(x, y) appartient à ᐄ, alors
1
y= .
x
Le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées est le point M’ ( − x ; − y )
1
1
Or
= − = − y donc M’ appartient à ᐄ.
−x
x
C
Synthèse
Fonction carré
La fonction carré f est définie sur
par f ( x ) = x 2.
10
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Fonction inverse
La fonction inverse g est définie sur
1
] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par g ( x ) = .
x
Elle est représentée par une parabole
ᏼ de sommet O.
Elle est représentée par une hyperbole Ꮿ.
y
y
y = 1/x
3
6
ᏼ
y = x2
5
2
4
1
O
3
-2
0
-1
1
2 x
-1
2
Ᏼ
-2
1
O
-2
-1
0
-3
1
2 x
La fonction carré est :
strictement décroissante sur ] −∞; 0]
strictement croissante sur [0 ; +∞ [
La parabole ᏼ d’équation y = x 2
représentant la fonction carré f est
symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
La fonction inverse est :
strictement décroissante sur ] −∞; 0[ .
strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
1
x
représentant la fonction inverse g est
L
L’hyperbole
ᐄ
d’équation
y=
symétrique par rapport à l’origine O du
repère.
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer
a) 2,1822 et 2,18192
b) ( −1, 0001)2 et ( −0, 9999 )2.
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11
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Exercice 2
a) Construire la parabole d’équation y = x 2 dans un repère orthogonal.
b) Résoudre graphiquement dans
l’équation x 2 = 7 .
c) Résoudre algébriquement dans
l’équation x 2 = 7.
d) Résoudre dans
en appuyant son raisonnement sur un graphique l’inéquation
2
x ≥ 7.
Exercice 3
a) Quelles sont les deux solutions de l’équation x 2 = 3?
b) Pourquoi l’équation x 2 = −3 n’a-t-elle pas de solutions ?
c) Quelle est l’unique solution de l’équation x 2 = 0 ?
Exercice 4
Déterminer un encadrement de x 2 dans chacun des cas suivants
a) 1 ≤ x ≤ 5.
b) −2 < x ≤ −0, 5.
Exercice 5
a) Tracer la courbe de la fonction carré sur l’intervalle [ − 2 ; 2].
b) En déduire par lecture graphique un encadrement de x 2 pour x ∈ [ − 2 ; 2].
Exercice 6
Dans un repère orthonormé (O , I, J), A est le point de coordonnées (0 ;−1).
Soit M le point de coordonnées (x ; 0) où x est un nombre réel. Soit B le point
d’intersection de l’axe des ordonnées et de la perpendiculaire en M au segment
[AM]. Soit M’ le point d’intersection de la perpendiculaire en M à l’axe des
abscisses et de la perpendiculaire en B à l’axe des ordonnées.
Construire la figure (avec un logiciel de géométrie si possible) ; que conjecturer
sur la courbe décrite par le point M’ lorsque M décrit l’axe des abscisses?
Que vaut OB lorsque x = 0 ?
Supposons dorénavant que x ≠ 0 . Soit α une mesure de l’angle géométrique
.
OBM
.
a) Démontrer que α est aussi une mesure de l’angle géométrique OMA
b) Démontrer que OM2 = OB × OA.
c) En déduire que OB = x 2 et la courbe décrite par le point M’lorsque x décrit
l’ensemble des nombres réels.
12
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Exercice 7
a) Montrer que x 2 − 6 x + 8 = ( x − 2)( x − 4 ).
b) En déduire le signe de x 2 − 6 x + 8 si x ∈]2; 4[.
c) Jean a placé les points A(2 ; 4) et B(4 ; 16) de la parabole d’équation y = x 2
dans un repère orthogonal. Il trace ensuite le segment [AB].
Ce segment contient-il un autre point de la parabole d’équation y = x 2 que
les points extrémités A et B ?
Exercice 8
Un peu de logique
x désigne un nombre réel. Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou
fausse. Si elle vraie, indiquer la propriété qui permet de l’affirmer. Si elle est
fausse, expliquer pourquoi à l’aide d’un contre exemple.
a) Si x ≥ 3, alors x 2 ≥ 9.
b) Si x ≤ 2, alors x 2 ≤ 4.
c) Si x ≤ −1 , alors x 2 ≥ 1.
d) Si −5 ≤ x ≤ −1 alors 0 ≤ x 2 ≤ 30.
e) Si −1 ≤ x ≤ 2 alors 1 ≤ x 2 ≤ 4.
f) Si a = b , alors a 2 = b 2.
g) Si a 2 ≠ b 2 alors a ≠ b
h) Si a 2 = b 2 alors a = b.
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
f est la fonction inverse. Calculer les images par f des réels
1
3
a)
b) − c) 10−7 d) 2
8
4
Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer.
1
1
1
1
et
a)
b)
.
−0, 011
−0, 0099
π −2
1,15
1
dans un repère orthogonal.
x
1
b) Résoudre graphiquement et algébriquement dans l’équation = 3.
x
c) Résoudre dans en appuyant son raisonnement sur un graphique l’inéquation
1
≤ 3.
x
a) Construire l’hyperbole d’équation y =
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13
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Exercice 12
Utiliser le tableau de variation de la fonction inverse pour dire à quel intervalle
appartient
1
lorsque :
x
a) x ∈ [1 ; 6]
b) x ∈]0; 5]
1
c) x ∈] − 2; − ]
4
d) x >2
e) x < −3.
Exercice 13
S’aider de la courbe représentative de la fonction inverse pour trouver les
nombres réels x tels que :
1
1
1
1 1
a) 1 ≤ ≤ 6
b) −4 ≤ ≤ −
c) − ≤ ≤ 4 .
3
2 x
x
x
Exercice 14
Dans un repère orthonormé (O, A, B), M est un point mobile autre que O sur la
droite (OA). La parallèle à (MB) passant par A coupe l’axe des ordonnées en N. Le
point H est tel que le quadrilatère OHMN soit un rectangle.
Sur quelle courbe se déplace la point H lorsque M se déplace sur la droite
(OA) ?
14
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3
A
Fonctions polynômes de degré 2 ;
fonctions homographiques.
Activité
Des propriétés de la courbe représentative de
f : x axx2 + bxx +c (a ≠ 0).
Cette activité utilise le logiciel géogébra téléchargeable gratuitement sur internet.
Si vous n’avez pas d’accès, vous pouvez néanmoins faire les questions 1. 2.a)b)
3.a)b)e) 4 à la main et à l’aide de votre calculatrice.
Avec le logiciel géogébra, construire la courbe (C) représentant la fonction carré.
(Pour géogébra, écrire y = x^2 dans la ligne de saisie puis taper sur ENTRÉE.)
a) Construire la courbe (Cf ) représentant la fonction f : x ( x − 2)2 + 3 .
b) (Cf ) semble admettre un axe de symétrie? Pour quelle valeur de x le sens de
variation a-t-il l’air de changer ? Démontrer que le minimum de la fonction f est 3.
c) En pressant maintenant sur le bouton gauche de la souris, déplacer la courbe
(C) jusqu’à ce que son sommet corresponde avec le point de coordonnées
(2; 3). Cette courbe se superpose-t-elle avec (Cf ) ?
Effacer (Cf ) (à l’aide d’un clic droit sur la courbe).
a) Construire la courbe (Cg ) représentative de la fonction
g : x − x 2 + 4 , 6 x − 2, 21 (saisir g ( x ) = − x ^ 2 + 4.6 x − 2.21).
b) (Cg ) semble-t-elle admettre un axe de symétrie ? Pour quelle valeur de x le
sens de variation a-t-il l’air de changer ?
c) Construire la droite d’équation y = −4 et les deux points d’intersection A et B
de cette droite et de la courbe (Cg ) (deuxième icône sur la gauche). Construire
le milieu de [AB](même icône).
d) Déplacer avec le pointeur la droite jusqu’à ce que les points A et B semblent
confondus et observer l’abscisse du milieu de [AB] dans la fenêtre algèbre
durant ce déplacement. Que peut-on remarquer ?
e) Par le calcul, déterminer les antécédents de −2, 21 par g et calculer la demisomme des deux nombres obtenus.
Soit h définie sur
par h( x ) = ax 2 + bx + c , avec a non nul. Par le calcul,
déterminer les antécédents de c par h. Vérifier que leur demi-somme est égale à
b
− .
2a
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15
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B
Cours
Fonctions
polynômes de degré 2
Définition
La fonction f définie sur par f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 est
appelée fonction polynôme de degré 2.
Propriété : (Admises)
2
La courbe représentative de la fonction f : x ax + bx + c avec
a ≠ 0 est une parabole qui a l’allure suivante selon les valeurs du
coefficient a.
Si a > 0
Si a < 0
La fonction f est d’abord
décroissante, puis croissante.
La parabole représentant f admet
un axe de symétrie parallèle à
l’axe des ordonnées.
La fonction f est d’abord croissante, puis décroissante.
y
La parabole représentant f
admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
y
3
3
a>0
-1
2
2
1
1
0
-1
1
2
3
x
0
1
2
3
4 x
-1
a<0
-2
-2
Le point d’intersection de la parabole et de son axe de symétrie
s’appelle le sommet de la parabole.
Le sommet de la parabole a pour abscisse –
16
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b
2a
Remarque
On peut retenir l’abscisse du sommet de la parabole ou le retrouver aisément,
comme nous l’avons fait dans l’activité d’introduction, car le sommet appartient à
l’axe de symétrie de la parabole. Or, pour trouver l’abscisse d’un point de l’axe de
symétrie de la parabole, il suffit de couper cet axe par une droite horizontale, par
exemple celle d’équation y = c . Cette droite coupe la parabole en deux points A
2
et B dont les abscisses vérifient ax 2 + bx + c = c soit ax + bx = 0 ou encore
x (ax + b ) = 0.
b
a
Cette équation a deux solutions 0 et − .
On en déduit que l’axe de symétrie est la droite parallèle à l’axe des ordonnées
passant par le milieu de [AB], le point C ( − b ,c ) .
2a
Exemple
Soit la fonction f définie sur
par f ( x ) = 2x 2 − 3x − 2 .
f ( x ) est de la forme ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ). La représentation graphique de f est
une parabole ᏼ .
a =2 donc a > 0 . Donc, f est décroissante puis croissante.
−
b 3
3
= donc le sommet de ᏼ a pour abscisse = 0, 75. Son ordonnée est
2a 4
4
f (0, 75) = −3,125 .
f est donc décroissante sur ] − ∞; 0, 75] et croissante sur [0, 75; +∞[.
Pour prouver que f (0, 75) est bien le minimum de f sur , on peut faire le calcul
f ( x ) − f (0, 75).
f ( x ) − f (0, 75) = 2x 2 – 3x + 1,125 = 2( x 2 – 1, 5x – 0, 5625) = 2( x – 0, 75)2.
Or ( x − 0, 75)2 ≥ 0 donc f ( x ) − f (0, 75) ≥ 0.
3
3
Donc, pour tout nombre réel x, f ( x ) − f ( ) ≥ 0 donc f ( x ) ≥ f ( ).
4
4
Donc f (0, 75) = −3,125 est bien le minimum de la fonction f sur .
On peut donc tracer le tableau de variation de la fonction f sur x
−∞
0,75
+∞
f (x )
−3,125
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Fonctions
homographiques
Définition
Propriété :
Une fonction f telle que f ( x )
peut s’écrire sous la forme
La fonction f telle que f ( x ) =
f (x ) =
d
c ≠ 0 est définie pour x ≠ − .
c
ax + b
cx + d
avec c ≠ 0 , pour
tout nombre réel x n’annulant
pas le dénominateur, est appelée
ax + b
cx + d
avec
d
c
En effet, cx + d = 0 équivaut à x = − .
fonction homographique.
Exemple
Ainsi, la fonction f : x 2x − 1
est une fonction homographique définie si
2x + 5
5
2x + 5 ≠ 0 soit x ≠ − .
2
5
5
On peut donc noter son ensemble de définition : E = ] − ∞ ; − [∪] − ; +∞ [.
2
2
C
Synthèse
Soit
trois nombres réels donnés a, b et c avec a ≠ 0.
La fonction f définie sur
polynôme du second degré.
par f ( x ) = ax 2 + bx + c est appelée fonction
Elle est représentée par une parabole dont le sommet a pour abscisse −
donc l’axe de symétrie a pour équation x = −
a>0
Le tableau de variations de f est le suivant :
x
−∞
−b/ 2a
f (x )
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a<0
Le tableau de variations de f est le suivant :
x
f (x )
f (−b/ 2a)
18
+∞
b
.
2a
b
, et
2a
−∞
−b/ 2a
f (−b/ 2a)
+∞
y
y
3
3
a>0
-1
2
2
1
1
1
0
2
3
x
-1
0
1
2
3
4 x
-1
a<0
-2
-2
La parabole représentant f est dite alors
« tournée vers le haut ».
Soit
La parabole représentant f est dite alors
« tournée vers le bas ».
quatre nombres réels donnés a, b, c et d avec c ≠ 0.
La fonction f telle que f ( x ) peut s’écrire sous la forme f ( x ) =
ax + b
avec c ≠ 0
cx + d
d
est appelée fonction homographique. Elle est définie pour x ≠ − .
c
D
Exercice 15
Exercices d’apprentissage
Soit f ( x ) = ( 3x − 2)2 − 5.
Donner la forme développée de f ( x ).
A partir de la première expression de f ( x ) , montrer que la fonction f admet un
minimum, que l’on précisera, ainsi que la valeur de x pour laquelle il est atteint.
Exercice 16
Soit la fonction f : x 2x 2 − 4 x + 3 et ᏼ sa représentation graphique dans un
repère orthonormé (O , I, J)
Déterminer les coordonnées des points d’intersection A et B de ᏼ et de la
droite d’équation y = 3.
Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. En déduire l’axe de symétrie de ᏼ .
Donner le tableau de variation de f et vérifier à l’aide de votre calculatrice.
Exercice 17
On considère la parabole ᏼ représentative de la fonction f définie par
f ( x ) = −3x 2 + 2x + 2.
1
La parabole ᏼ admet comme axe de symétrie la droite d’équation x = .
3
Séquence 6 – MA20
19
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Déterminer les coordonnées du sommet S de ᏼ .
Quelles sont les variations de f ?
Vérifier vos résultats à la calculatrice.
Exercice 18
On lance un projectile du haut d’une falaise.
L’altitude du projectile, en mètres, repérée par rapport au niveau de l’eau est
exprimée en fonction du temps écoulé, en secondes, depuis son départ par
h (t ) = −40t 2 + 40t + 30.
1
a) Vérifier que h (t ) = −40(t − )2 + 40.
2
b) Quelle est la hauteur de la falaise sachant que le projectile est assimilé au
départ à un point du sol de la falaise ?
c) Quelle est l’altitude maximale du projectile ?
d) Au bout de combien de temps le projectile arrive-t-il dans l’eau ?
Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
Exercice 22
Exercice 23
20
Dans un carré ABCD de côté 4 cm, I est le
milieu de [BC]. AM = DN = x.
On considère la fonction f qui à x associe
l’aire du triangle MNI.
Etudier les variations de f sur l’intervalle
[0 ; 4].
C
N
I
Déterminer l’ensemble de définition des
fonctions f, g et h suivantes
f: x→
x +6
4x − 5
h:x 1+ 5x
.
5x
g: x
−3
1+ 7x
A
M
B
1
.
x +1
a) Identifier l’ensemble de définition de la fonction f
b) Montrer que f est une fonction homographique.
f est la fonction x −4 +
Un peu de logique
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
2
4 x − 10
a) Pour tout réel x différent de 3,
+4=
.
x −3
x −3
2x + 3
x pour laquelle
= 2.
b)
x −5
2x + 3
= −2.
c) Il existe une valeur de x pour laquelle
x −5
3x + 1
Soit f la fonction définie sur [3 ; 6] par f ( x ) =
.
x
1
Montrer que f ( x ) = 3 + .
x
A l’aide des variations de la fonction inverse, étudier les variations de f sur [3 ; 6].
Séquence 6 – MA20
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D
4 Trigonométrie
A
Activités
J
E
B
Activité 1
A
+
Longueurs d’arc
I'
Le repère (O, I, J) est orthonormé. Les
et JOI'
bissectrices des angles IOJ
coupent le cercle Ꮿ de centre O et de
rayon 1 en A, B, C et D.
I
O
Ꮿ
D
C
Une bille rouge part de I et parcourt le
cercle dans le sens indiqué par la flèche.
J'
Quelle longueur le centre de la bille a-t-il parcouru quand elle revient en I
après un tour complet ?
Quelle longueur aura-t-il parcouru quand elle arrive pour la première fois :
a) en I’ (diamétralement opposé à I)?
en J ? en J’(diamétralement opposé
à J).
π
3
Schéma activité 2
b) en A, en B, en C? En D? En E, tel que
le triangle IOE soit équilatéral ?
Où s’arrête la bille après avoir
parcouru une longueur égale à
5π
6π , 9π , ?
2
Activité 2
2
π
π/2
x
x
Enroulement d’un axe sur un cercle.
Les notations sont celles de l’activité
précédente.
La tangente au cercle Ꮿ en I, c’est-àdire la droite (IK), où K(1 ;1) dans le
repère orthonormé (O,I,J) , est graduée
de telle façon que I ait pour abscisse 0
et K ait pour abscisse 1. La droite (IK)
ainsi graduée représente l’ensemble
des nombres réels.
On enroule cette droite autour du cercle
Ꮿ , le point I commun à la droite et au
cercle restant fixe.
Ꮿ
+
J
x
1 K
O
I'
I
-1
J'
-π/2
-2
Séquence 6 – MA20
21
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Ainsi, à chaque nombre réel x de la
droite correspond un unique point M
de Ꮿ (voir ci-dessus)
a) Expliquer pourquoi le point J
π
correspond au réel ?
2
b) Quel
π point de Ꮿ correspond au réel
− ?
2
c) Expliquer pourquoi aux réels 0, 2π et −2π correspond le même point de Ꮿ ?
d) Donner trois nombres réels correspondants aux points I’.
2π
.
e) Placer le point E’ correspondant au nombre réel
3
B
Cours
Cercle
trigonométrique
Sur un cercle quelconque, il y a deux sens de parcours possibles : le sens des aiguilles
d’une montre et le sens inverse. Par convention, le sens inverse des aiguilles d’une
montre est choisi comme positif sur le cercle.
+
Définition
On appelle cercle trigonométrique
un cercle de rayon 1, muni d’un
sens de parcours positif (le sens
inverse des aiguilles d’une montre).
Enroulement
O
1
I
Ꮿ
de la droite numérique sur un cercle
Ꮿ est le cercle trigonométrique de centre O.
(O, I, J) est un repère orthonormé tel que sur le cercle, on se déplace de I vers J,
selon le trajet le plus court dans le sens positif.
Le repère (O, I, J) est dit orthonormé direct.
K est le point de coordonnées (1 ; 1). On munit la droite (IK) du repère (I, K) qui
permet de représenter alors chaque nombre réel x par un point de l’axe (IK).
On enroule la droite (IK) sur le cercle trigonométrique Ꮿ .
tout point de l’axe (IK) représentant un nombre réel x correspond un unique
point M du cercle Ꮿ .
A
22
Séquence 6 – MA20
© Cned – Académie en ligne
Au
point M ainsi défini sont associés une infinité de réels
x , x + 2π , x − 2π , x + 4π , x − 4π , etc.
Ainsi, le graphique ci-après montre deux valeurs de x associées au point M ; 2,4
et 2, 4 − 2π ≈ −3, 88
3π
2
π
3
+ 1 K
J
M
2,4
O
-π I'
2
I
0
π/2
π
2
+
J
-1
J' π
1 K
2
-π/2
-2
π
O
I'
0
I
-3
-π
-1
J'
2,4-2π
-π/2
2
-2
π/2
Définition
Ꮿ
(O, I, J) est un repère
orthonormé direct et Ꮿ le
cercle trigonométrique de centre O.
J
M
+
sinx
x
1 K
M est le point associé au nombre réel x.
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse du point M.
Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée du point M.
Exemples
Le nombre réel 0 est associé au point I(1 ; 0).
Par suite, cos 0= 1 et sin 0 = 0.
π
Le nombre réel
est associé au point
2
O
I'
cosx
0 I
-1
J'
-π/2
Séquence 6 – MA20
23
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J(0 ; 1).
Par suite, cos
π
π
= 0 et sin
= 1.
2
2
Le nombre réel π est associé au point I’(−1 ; 0).
Par suite, cos π = −1 et sin π = 0.
Lien
avec la trigonométrie du
collège
Supposons que le réel x soit strictement
π
compris entre 0 et , ce qui entraîne que
2
est aigu.
l’angle IOM
J
sinx L
I'
O
En troisième, vous avez vu que :
= côté adjacent
cos IOM
hypoténuse
OH cos x
=
=
= cos x .
OM
1
côtéopposé HM OL sin x
sinIOM
=
=
=
= sin x .
hypoténuse OM OM
1
M
+
H
cosx
x
1 K
0 I
-1
J'
Par suite, pour un réel x strictement compris entre 0 et
si le nombre réel x est associé au point M, alors
et sin x = sin IOM
cos x = cos IOM
π
,
2
On peut trouver les valeurs exactes des sinus et cosinus de
π π
π
auxquels
, et
6 4
3
= 30°,
sont respectivement associés les points M1,M2 et M3 tels que IOM
1
= 45° et IOM
= 60° (puisque π est associé à I’ et IOI'
= 180° ). Nous en
IOM
2
3
verrons des exemples dans l’exercice d’application n° 28.
Il est recommandé de bien connaître le tableau de valeurs suivant.
J
M3
1 K
M2
M1
I
M1
M2
M3
J
0°
30°
45°
60°
90°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
Point de Ꮿ
Angle
Valeur de x
Associée
I'
O
0 I
-1
J'
24
Séquence 6 – MA20
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Remarque
Lorsque x ∈[0;π ] , on dit que l’angle IOM a pour mesure x en radian.
de mesure 180° a pour mesure π en radian.
Ainsi, l’angle IOI'
La troisième ligne du tableau donne la mesure en radian de l’angl
l’anglee de la deuxième
ligne correspondant mesuré en degrés.
C
Synthèse
π
3
La tangente au cercle Ꮿ en I, c’est-à-dire la droite (IK), où K(1 ;1)
dans le repère orthonormé (O,I,J) , est graduée de telle façon
que I ait pour abscisse 0 et K ait pour abscisse 1. La droite (IK)
ainsi graduée représente l’ensemble des nombres réels.
On enroule cette droite autour du cercle Ꮿ .
2
π/2
Ꮿ
J
M
+
sinx
I'
O
x
1 K
0 I
cosx
Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite correspond un unique
point M de Ꮿ .
Le nombre cos x est l’abscisse du point M.
Le nombre sin x est l’ordonnée du point M
π
Pour un nombre réel x compris entre 0 et , on a :
2
et sin x = sin IOM
cos x = cos IOM
ce qui fait le lien entre le cosinus et le sinus d’un nombre réel
π
compris entre 0 et
et le cosinus et le sinus d’un angle aigu
2
vu au collège.
Il est recommandé de plus de bien connaître le tableau de
valeurs suivant :
-1
J'
-π/2
Angle
0°
30°
45°
60°
90°
Valeur de
x associée
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
-2
-3
-π
Séquence 6 – MA20
25
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D
Exercices d’apprentissage
Exercice 24
Sur le cercle trigonométrique, placer le point associé à chacun des nombres réels
3π
5π
7π
2π
5π
π
a=
;b = − ;c =
;d =
;e =
;f = .
4
4
4
4
3
6
Exercice 25
M est un point du cercle trigonométrique Ꮿ .
lorsque M est associé au nombre réel π ?
a) Quelle est la mesure de l’angle IOM
8
lorsque IOM
= 40° ?
b) Quelle est la longueur de l’arc IM
Exercice 26
Exercice 27
13π
a) Quel est le point du cercle Ꮿ associé au nombre réel x =
?
2
13π
13π
et sin
.
En déduire cos
2
2
19π
b) Même énoncé avec le réel x = −
.
3
N
Sur le cercle trigonométrique le point M
3π
est associé au nombre réel
. MNPQ est
8
un rectangle dont les sommets sont sur le
cercle , (MN) étant parallèle à (II’) et (MQ)
étant parallèle à (JJ’).
1J
M
+
O
I'
I
0
-1
1
Trouver le nombre réel de l’intervalle ] − π ;π ]
associé à chacun des points N, P et Q.
P
Exercice 28
-1
J'
Q
Démontrer que :
a) sin
π
3
π
2
.
=
b) cos =
3
2
4
2
Exercice 29
Avec la calculatrice en mode radian, donner la valeur approchée par défaut au
millième près de
π
π
19π
a) cos
.
b) sin
c) cos
5
8
12
Exercice 30
a désigne un nombre réel tel que sina = 0, 2.
a) Placer sur un cercle trigonométrique les deux points possibles associés au réel a.
26
Séquence 6 – MA20
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b) A l’aide d’une calculatrice réglée en mode radian, donner une valeur arrondie
π
au centième près de la valeur de a appartenant à l’intervalle [0 ; ], puis de
2
π
celle appartenant à l’intervalle [ ,π ].
2
Exercice 31
b désigne un nombre réel tel que cos b = −0, 6.
a) Placer sur un cercle trigonométrique les deux points images possibles du réel a.
b) A l’aide d’une calculatrice réglée en mode radian, donner la valeur arrondie au
centième près de la valeur de b appartenant à l’intervalle [0;π ] , puis de celle
π
appartenant à l’intervalle [ ,π ].
2
Séquence 6 – MA20
27
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5 Algorithmique
TP Méthode de Héron / Méthode de dichotomie
L’objectif de ce TP est de calculer une valeur approchée de 10 à l’aide de deux
méthodes.
A. Méthode de Héron
Héron - mathématicien d’Alexandrie au 1er siècle après JC - a exposé dans ses
Métriquess la méthode suivante.
I. Approche géométrique
Combien mesure le côté d’un carré d’aire 10 cm² ?
On veut construire un rectangle de même aire que le carré précédent (c’est-à-
dire 10 cm²) de largeur 2 cm et de longueur 5 cm.
a) Ranger dans l’ordre croissant 22 , 52 et 10?
b) Que peut-on en déduire sur 2; 5 et 10 ?
c) Sur un axe, placer les nombres 2; 5; 10 .
On dispose désormais d’un rectangle ℜ0 d’aire 10 cm² dont les côtés sont des
nombres entiers encadrant 10.
Nous allons construire un nouveau rectangle ℜ d’aire 10 cm², à partir du
1
rectangle ℜ0 . Pour être plus proche de 10 que ne le sont 2 et 5, on choisit
la longueur du rectangle ℜ1 égale à la moyenne arithmétique de 2 et 5 ;
2+ 5
c’est-à-dire à
= 3, 5 cm.
2
a) Combien mesure la largeur de ℜ1 ?
b) Faire un dessin sur lequel figurent ℜ0 et ℜ1 .
3,5 (longueur de ℜ ) semble être une meilleure valeur approchée de 10
1
que ne l’est 5 (longueur de ℜ0 ). Cherchons une explication.
On pose pour cela e0 = 5 − 10 et e1 = 3, 5 − 10 .
e 2
a) À l’aide d’une identité remarquable, montrer que e1 = 0 .
10
28
Séquence 6 – MA20
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b) En déduire que e1 < e0 .
c) Expliquer l’observation faite au début de la question 4.
En vous appuyant sur la démarche de la question 3, donner la longueur b puis
la largeur a d’un nouveau rectangle ℜ2 construit à partir de ℜ1 à la place de
ℜ0 .
89
On pose e =
2 28 − 10 .
e2
a) À l’aide d’une identité remarquable, montrer que e2 = 1 .
7
b) En déduire que e2 < e1 .
c) Justifier que «la longueur b de ℜ2 est une meilleure valeur approchée de
10 que ne l’est 3,5 (la longueur de ℜ1 )».
d) Quelle valeur approchée de 10 a-t-on obtenu ?
e) Recopier l’axe de la question 2c. en y faisant figurer les valeurs des largeurs et des
longueurs des rectangles ℜ0 , ℜ1, ℜ2. A l’aide de ce schéma, expliquer pourquoi
b −a
on a l’encadrement suivant 0 < e2 ≤
donc, à coup sûr, 0 < e2 ≤ 0, 02.
2
f) Quelle précision est-on certain d’obtenir au 6d ?
II. Prolongement numérique
On souhaite rendre automatique le calcul des dimensions d’un nouveau rectangle
à partir des dimensions de l’ancien. Pour cela, on considère l’algorithme suivant:
Entrée
Un nombre b tel que 10 < b et un nombre entier naturel N.
Traitement
POUR k de 1 jusqu’à N FAIRE
1
10
Dans b METTRE (b + )
b
2
FIN_DU_POUR
Sortie
AFFICHER b
Ecrire le programme de cet algorithme pour la calculatrice TI-82- stat.fr
Faire fonctionner ce programme avec en entrée :
a) b = 5; N = 2
b) b = 5; N = 3
c) b = 5; N = 4
et dans chacun des cas, donner la valeur approchée de 10 obtenue (avec 11
décimales).
À partir de combien d’itérations (autrement dit, quelle valeur faut-il donner à
N) les 11 premières décimales de b en sortie sont stables (c’est-à-dire qu’elles
restent les mêmes d’une itération à l’autre) lorsqu’en entrée on donne:
Séquence 6 – MA20
29
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1. b = 10
2. b = 100
3. b = 1000
4. b = 104
1
10
) la nouvelle valeur approchée de 10 calculée (à
2
b
chaque nouvelle itération de l’algorithme) à partir de la précédente b. On note
On note B = ( b +
aussi E = B − 10 la nouvelle erreur faite en remplaçant 10 par la nouvelle
valeur approchée B. On note enfin e = b − 10 l’ancienne erreur (au tour de
boucle précédent dans l’algorithme).
a) On sait que (b − 10 )2 ≥ 0 . Montrer que cette inégalité implique que B ≥ 10.
Cela signifie-t-il que les valeurs obtenues par l’algorithme sont des valeurs
approchées de 10 par défaut ou par excès ?
b) Vérifier que
e2
= E . En remarquant que 10 > 2 , en déduire, à l’aide du 4a,
2b
2
⎛e⎞
que 0 ≤ E < ⎜ ⎟ .
⎝ 2⎠
c) A l’aide du résultat de la question I.6e. donner la précision obtenue à coup sûr
dans chacun des cas du II.2.
B. Méthode de Dichotomie
On s’intéresse à l’algorithme suivant:
Initialisation
Dans a METTRE 2
Dans b METTRE 5
Traitement
TANT QUE b − a > 0,1
2
FAIRE
⎛a +b⎞
SI ⎜
> 10 ALORS
⎝ 2 ⎟⎠
a +b
Dans b METTRE
2
SINON
a +b
Dans a METTRE
2
FIN_DU_SI
FIN_DU_TANT_QUE
Sortie
30
Séquence 6 – MA20
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AFFICHER
a +b
2
Faire fonctionner à la main
n l’algorithme et remplir le tableau de fonctionnement
suivant :
a
b
a +b
2
⎛a +b⎞
⎜⎝ 2 ⎟⎠
2
2
⎛a +b⎞
⎜⎝ 2 ⎟⎠ > 10
b −a
b − a > 0,1
Quel est le but de l’algorithme ?
Ecrire le programme de l’algorithme précédent pour le tableur CALCC (OPEN
OFFICE).
par la condition b − a > 10−8 . Quel est
le nombre d’étapes nécessaires avec l’algorithme ainsi modifié pour obtenir
On remplace la condition b − a > 0,1
une valeur approchée de 10 à 10−8 près. Comparer la performance de cet
algorithme avec celle de l’algorithme de Héron pour l’approximation de 10.
Cet algorithme porte le nom d’algorithme de dichotomie (du grec tomia
= coupure, dikha = en deux) puisqu’à chaque étape de la boucle, l’intervalle
d’encadrement est coupé en deux.
Séquence 6 – MA20
31
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6
Synthèse de la
séquence
Fonctions de référence : carré et inverses.
Fonction Carré
Fonction inverse
La fonction carré f est définie sur
La fonction inverse g est définie sur
1
] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par g ( x ) = .
x
Elle est représentée par une parabole Elle est représentée par une hyperbole
ᐄ
ᏼ de sommet O.
par f ( x ) = x 2.
y
y
6
y = 1/x
3
ᏼ
y = x2
5
2
4
1
1/x
3
-2
-1
0
O
1
2 x
-1
2
Ᏼ
1
-2
O
-3
-2
-1
0
1
2 x
La fonction carré est :
- strictement décroissante sur ] −∞ ; 0].
- strictement décroissante sur ] −∞ ; 0[.
- strictement croissante sur [0 ; +∞[
- strictement croissante sur ]0 ; +∞[
1
La parabole ᏼ d’équation y = x 2 L’hyperbole ᐄ d’équation y = x
représentant la fonction carré f est représentant la fonction inverse g est
symétrique par rapport à l’axe des
symétrique par rapport à l’origine O du
ordonnées.
repère.
32
Séquence 6 – MA20
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Fonctions polynômes de degré 2 et fonctions homographiques.
Soit trois nombres réels donnés a, b et c avec a ≠ 0.
Fonctions
polynômes
de degré 2
La fonction f définie sur
polynôme du second degré.
par f ( x ) = ax 2 + bx + c est appelée fonction
b
Elle est représentée par une parabole dont le sommet a pour abscisse − , et
2a
b
donc l’axe de symétrie a pour équation x = − .
2a
a>0
a<0
Le tableau de variations de f est le suivant :
x
−b/ 2a
−∞
+∞
Le tableau de variations de f est le suivant :
−b/ 2a
f (−b/ 2a)
−∞
x
+∞
f (x )
f (x )
f (−b/ 2a)
y
y
3
3
a>0
-1
2
2
1
1
0
1
2
3
x
-1
0
1
2
3
4 x
-1
a<0
-2
La parabole représentant f est dite alors
« tournée vers le haut ».
Fonctions
homographiques
-2
La parabole représentant f est dite alors
« tournée vers le bas ».
Soit quatre nombres réels donnés a, b, c et d avec c ≠ 0.
ax + b
avec c ≠ 0
cx + d
d
est appelée fonction homographique. Elle est définie pour x ≠ − .
c
La fonction f telle que f ( x ) peut s’écrire sous la forme f ( x ) =
Séquence 6 – MA20
33
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Trigonométrie
π
3
La tangente au cercle Ꮿ en I, c’est-à-dire la
droite (IK), où K(1 ;1) dans le repère orthonormé (O,I,J) , est graduée de telle façon
que I ait pour abscisse 0 et K ait pour abscisse 1. La droite (IK) ainsi graduée représente l’ensemble des nombres réels.
2
π/2
On enroule cette droite autour du cercle
Ꮿ.
Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite
correspond un unique point M de Ꮿ .
Le nombre cos x est l’abscisse du point
M.
J
+
M
sinx
I'
O
x
1 K
0 I
cosx
Le nombre sin x est l’ordonnée du point
M.
Pour un nombre réel x compris entre 0 et
π
, on a :
2
et sin x = sin IOM
cos x = cos IOM
-1
J'
-π/2
On retiendra les valeurs du tableau
suivant :
-2
-3
-π
34
Angle
0°
30°
45°
60°
90°
Valeur de
x associée
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
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7
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
Dans un repère orthonormé, construire la parabole ᏼ représentative de la
fonction carré f.
1
1
Tracer la droite D d’équation y = − , puis marquer le point F(0 ; ) et le
4
4
point M de la parabole d’abscisse 2.
La parallèle à l’axe des ordonnées passant par M coupe D en H.
a) Montrer que MF = MH.
b) Tracer la droite d médiatrice du segment [FH] et montrer qu’elle passe par M.
c) Déterminer la fonction affine représentée par d et montrer que d a un seul
point commun avec la parabole.
On dit que la droite d est tangente à la parabole ᏼ .
Exercice II
Démontrer que les points O, J
A, B, C et D appartiennent
à la parabole d’équation
D
y = x 2 dans le repère
C
orthogonal (0, I, J).
C’est par ce procédé que les
tailleurs de pierre marquaient
un bloc pour tracer une
parabole.
B
A
H
O
Exercice III
I
y
Sur la représentation graphique de la
1
fonction inverse g telle que g ( x ) = , 4
x
on a placé les points A et B d’abscisses
3
1
respectives 4 et .
3
Déterminer la fonction affine f 2
représentée par la droite (AB).
1
La droite (AB) coupe les axes du repère
en M et N, montrer que les segments
[MN] et [AB] ont le même milieu.
0
1
2
3
4
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x
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Exercice IV
Une entreprise produit un objet en grande quantité. Le coût de production
total, pour une production inférieure à 10000 unités, comporte un coût fixe de
4000 et un coût variable de 12 par unité.
On note C (q ) le coût total de production pour q unités produites.
Donner l’expression de C (q ).
Lorsqu’on fabrique q unités, le coût moyen de production de chaque unité est
C (q )
donné par C m (q ) =
(avec 0 < q ≤ 10000 ).
q
a) Exprimer C m (q ) en fonction de q.
b) Afficher à l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction
C m sur l’intervalle ]0 ;10000].
Une unité produite est vendue 15 €.
a) Déterminer graphiquement une estimation de la quantité à partir de
laquelle la production est rentable pour l’entreprise
b) Par le calcul, retrouver la quantité exacte.
Exercice V
On considère les fonctions fb : x x 2 + bx + 1 , où b est un nombre réel.
En donnant à b les valeurs 1,2 et 3, afficher les paraboles représentatives des
fonctions fb sur le même écran dans la fenêtre : −3 ≤ x ≤ 1 et −3 ≤ y ≤ 3.
Vérifier graphiquement que les sommets des trois paraboles appartiennent à
la courbe d’équation
y = − x 2 + 1.
Démontrer ce résultat.
Exercice VI
L’unité est le cm.
A
ABC est un triangle isocèle.
AH = 5 cm et BC = 6 cm.
M ∈[BC] , N ∈[ AB] , P ∈[AC] ,
Q ∈[BC ]
N
On cherche à construire dans
le triangle ABC un rectangle
MNPQ d’aire maximale.
Comment choisir les longueurs
des côtés de MNPQ ?
B
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M
P
I
H
Q
C
Exercice VII
Parmi tous les rectangles de périmètre 10 cm, quel est celui qui a l’aire
maximum ?
Exercice VIII
a) A l’aide d’une calculatrice, conjecturer le minimum de la fonction f définie sur
1
]0; +∞[ définie par f ( x ) = x + .
x
b) Démontrer votre conjecture
c) a, b et c sont trois nombres strictement positifs, non égaux entre eux.
Démontrer l’inégalité :
Exercice IX
b +c c +a a + b
+
+
> 6.
a
b
c
ABC est un triangle rectangle en A tel que AC= 8 cm et H est le pied de la hauteur
issue de A.
afin que l’aire du triangle AHC
Déterminer la mesure en degrés de l’angle ACB
soit égale au tiers de l’aire du triangle ABC.
Exercice X
On considère le cercle trigonométrique de
centre O.
π
x est un nombre réel tel que 0 < x < et
2
M est le point du cercle associé au nombre
réel x.
N est le pied de la hauteur issue de I dans
le triangle OIM.
1
J
+
M
N
0
O
I
1
On s’intéresse à la longueur des trajets (en
rouge et en noir) qui vont de I à N.
Exprimer en fonction de x
a) la longueur du trajet noir
b) La longueur du trajet rouge.
Comparer les longueurs de ces trajets pour les valeurs suivantes de x :
π
et .
3
π π
,
6 4
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