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Chapitre 4
Électrocinétique
Maths Sup - Concours 2018
Cours, méthodes, énoncés des exercices
Difficulté des exercices
Exercices classiques :
H - Facile
HH - Moyen
HHH - Difficile
HHHH - Très Difficile
uuu - Difficile
uuuu - Très Difficile
Exercices d’approfondissement :
u - Facile
uu - Moyen
Sommaire
Exercices classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 - Lois de Kirchhoff et conventions de signe H . . .
2 - Résistance équivalente HH . . . . . . . . . . . .
3 - Noeuds et mailles HH . . . . . . . . . . . . . . .
4 - Pont de Wheastone HHH . . . . . . . . . . . . .
5 - Circuit RC HH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 - Circuit RL HH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 - Circuit RLC HH . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . .
8 - Pont double de Thomson HHH . . . . . . . . . .
9 - Circuit R,(C || R’) HHH . . . . . . . . . . . . .
10 - Réponse d’un circuit R,L,(C || R) HHH . . . .
11 - Couplage et modes propres HHHH . . . . . . .
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2
- Concours 2018
Exercices classiques
Exercice 1 - Lois de Kirchhoff et conventions de signe
H
Soit le circuit suivant :
On oriente conventionnellement le courant comme indiqué sur le schéma. On définit respectivement les tensions UA et UB comme
les tensions aux bornes des dipôles A et B en prenant la convention générateur. On définit respectivement les tensions UC , UD , UE
et UF comme les tensions aux bornes des dipôles C, D, E et F en prenant la convention récepteur.
1) Indiquer ces tensions sur le schéma en respectant le sens des flèches.
2) Utiliser la loi des noeuds pour déterminer une relation liant les courants circulant dans chacune des branches.
3) Utiliser la loi des mailles dans chacune des trois mailles pour déterminer trois relations entre les différentes tensions.
4) Donner une expression de la puissance reçue par le dipôle B, puis de la puissance fournie. Faire de même pour le dipôle C.
Exercice 2 - Résistance équivalente
Déterminer la résistance équivalente du circuit suivant :
HH
3
- Concours 2018
Exercice 3 - Noeuds et mailles
HH
En utilisant lois des noeuds et des mailles, montrer qu’on a la relation suivante :
i“
Exercice 4 - Pont de Wheastone
E
r`R
HHH
Soient deux résistances P et Q connues, une résistance variable calibrée R et une résistance X que l’on cherche à mesurer. On
utilise le montage en pont suivant :
On place un ampèremètre de résistance r au centre de pont. On dit que le pont est équilibré lorsqu’aucun courant ne passe par
l’ampèremètre. On fait varier la résistance R jusqu’à ce que ce soit le cas.
Déterminer alors la résistance X en fonction de P , Q et R. On pourra retrouver le résultat en utilisant le théorème de Millmann
en plaçant judicieusement une masse dans le circuit.
- Concours 2018
Exercice 5 - Circuit RC
4
HH
On note uC la tension aux bornes du condensateur, uR celle aux bornes de la résistance et i l’intensité dans le circuit.
Charge :
A l’instant initial, le condensateur est déchargé et l’interrupteur vient en position 1. Le dipôle RC subit alors un échelon de
tension. On observe la charge du condensateur par la source de tension. On note uC la tension aux bornes du condensateur et i le
courant qui le traverse. On pourra noter uR la tension aux bornes de la résistance.
1) Déterminer les conditions initiales à t “ 0` sachant qu’à t “ 0´ , ip0´ q “ 0 et uC p0´ q “ 0. Quelle grandeur subit une
discontinuité ?
2) Déterminer le nouveau régime permanent.
3) Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de uC ptq, la mettre sous forme canonique et la résoudre. On pourra
tracer brièvement uC ptq et iptq. Quel est le temps caractéristique ?
4) Faire un bilan d’énergie ou de puissance.
Décharge :
Reprendre les questions après la commutation de l’interrupteur de 1 vers 2.
Exercice 6 - Circuit RL
HH
5
- Concours 2018
On note uL la tension aux bornes de la bobine, uR celle aux bornes de la résistance et i l’intensité dans le circuit.
Lorsque l’interrupteur passe en position 1, le circuit RL série subit un échelon de tension.
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par le courant circulant dans le bobine.
2) Mettre cette équation différentielle sous forme canonique. Quel est le temps caractéristique ⌧ qui intervient ?
3) Résoudre cette équation différentielle et déterminer les expressions de iptq et uL ptq. Tracer ces fonctions.
4) Discuter qualitativement de l’état permanent final.
On met ensuite l’interrupteur en position 2.
5) Déterminer la nouvelle équation différentielle et la mettre sous forme canonique.
6) Déterminer sa solution et déterminer les expressions de iptq et uL ptq. Tracer ces fonctions.
7) Discuter qualitativement de l’état permanent final.
8) Faire l’étude énergétique de problème (bilan de puissance).
Exercice 7 - Circuit RLC
HH
On note uC la tension aux bornes du condensateur, uL celle aux bornes de la bobine, uR celle aux bornes de la résistance et
enfin i le courant dans le circuit.
On se place en position 1.
1) Déterminer les différentes grandeurs lors du régime permanent.
On commute alors l’interrupteur sur la position 2.
2) Déterminer l’état du circuit (tensions et courant) à t “ 0` ainsi que le nouveau régime permanent.
3) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par uC ptq et celle vérifiée par iptq.
4) Mettre l’équation vérifiée par uC ptq sous forme canonique en précisant les grandeurs caractéristiques.
5) Que se passe-t-il si R “ 0 ?
6) Discuter des différents régimes de variation selon les valeurs de Q.
- Concours 2018
6
Exercices d’approfondissement
Exercice 8 - Pont double de Thomson
HHH
Soit le circuit suivant :
Les quatre résistances satisfont la relation suivant : R1 R3 “ R2 R4 . On connaît précisément leur valeur.
edge On se propose de mesurer la résistance x d’un barreau métallique par comparaison avec celle R d’une résistance connue.
On règle r de manière à annuler le courant circulant dans le milliampèremètre A.
Calculer x en fonction de R, R1 et R2 .
Exercice 9 - Circuit R,(C || R’)
HHH
Soit le circuit suivant :
On note uC la tension aux bornes du condensateur et i l’intensité dans le circuit.
On désigne par R1 la résistance de fuite du condensateur. Elle est donc grande par rapport à R. A l’instant initial, le condensateur
est non-chargé et on ferme l’interrupteur.
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par uC ptq.
7
- Concours 2018
2) Montrer que cette équation différentielle peut se mettre sous la forme canonique :
duC
1
E
` uC “ 1
dt
⌧
⌧
en précisant les valeurs de ⌧ et ⌧ 1 .
3) Résoudre cette équation différentielle.
4) En déduire l’expression de iC ptq puis de iptq. On pourra tracer l’évolution temporelle de uC ptq et iptq.
5) Vérifier la pertinence du régime permanent final atteint.
6) Comparer au cas d’un condensateur parfait (R1 „ 8).
Exercice 10 - Réponse d’un circuit R,L,(C || R)
HHH
Soit le circuit suivant :
On note uC la tension aux bornes du condensateur. On note uR la tension aux bornes de la résistance en série avec la bobine.
L
Les valeurs sont choisies de façon à ce que RC “ . On posera RC “ ⌧ . Le condensateur est initialement déchargé et i “ 0. On
R
ferme alors l’interrupteur. Le but est de calculer iptq.
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par uC ptq.
2) En déduire l’équation différentielle vérifiée par iptq.
3) En précisant les grandeurs qui interviennent, montrer que cette équation différentielle peut se mettre sous la forme canonique :
E
d2 i
!0 di
`
` !02 i “ !02
dt2
Q dt
2R
2
1
et Q “ ? .
⌧2
2
4) Dans quel régime est le circuit ?
On doit trouver !02 “
5) Résoudre cette équation différentielle.
6) Calculer la pseudo-période des oscillations.
7) Vérifier la pertinence du régime permanent final atteint.
- Concours 2018
Exercice 11 - Couplage et modes propres
8
HHHH
On considère le circuit ci-dessus. A t “ 0, le condensateur C1 est chargé et le condensateur C2 est déchargé. On ferme alors
l’interrupteur K. On note E la tension initiale du condensateur C1 .
1) En supposant les capacités C1 et C2 égales à C, montrer que les charges q1 ptq et q2 ptq vérifient un système symétrique
d’équations différentielles couplées.
2) Résoudre ce système en faisant apparaître deux pulsations particulières !1 et !2 dites pulsations propres du système. En
déduire l’expression du courant circulant dans la bobine L0 .