I. Résolution d`équation différentielle du 1er ordre II. Redressement

Informatique
Schéma Euler Ordre 1
Informatique
TD n°18
Schéma Euler Ordre 1
Résolution d’équation différentielle du 1er ordre
I.
On cherche à résoudre sur l’intervalle [0,1], l’équation différentielle suivante
y ′ = −2x × y
avec la condition initiale y(0) = 1.
Q1. Écrire le schéma de résolution de cette équation différentielle par la méthode
d’Euler.
Q2. Définir un code python permettant de résoudre cette équation différentielle
avec un nombre N points.
La solution est de la forme y_exact : x 7→ e−x .
Q3. Représenter la fonction solution exacte et la solution numérique
2
On note xi et yi , les valeurs desvabscisses et ordonnées des points de la résolution numériques.
Q4. Calculer : erreur =
uN −1
u∑
1t
(yi
N
n=0
− y_exact(xi ))2
Q5. Comment varie l’erreur en fonction de N .
II.
Redressement simple alternance
Un redresseur simple alternance monophasé est un redresseur supprimant les alternances négatives
et conservant les alternances positives d’une entrée monophasée. On considère une tension alternative
d’amplitude A = 220 V , de fréquence f = 50 Hz. La diode est supposée idéale. La résistance de charge
est donnée par R = 10Ω et le condensateur a pour capacité : C = 0,1 F .
Q6. Définir et représenter la tension e(t) sur 3 périodes
Q7. En l’absence de condensateur, définir une fonction s1 (t) et la représenter sur
3 périodes.
On montre que l’équation différentielle vérifiée par la charge Q(t) du condensateur est
Q
dQ
+
=0
dt
RC
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Année 2015
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Schéma Euler Ordre 1
re d e s s e m e n t m o n o a lt e rn a n c e , lis s a g e p a r C
1 .0
s (t )
e (t )
s (V)
0 .5
0 .0
vd
− 0 .5
e
~
C
R
s
− 1 .0
0 .0 0 0
0 .0 0 5
0 .0 1 0
0 .0 1 5
0 .0 2 0
0 .0 2 5
0 .0 3 0
0 .0 3 5
0 .0 4 0
0 .0 4 5
t (s )
Q8. Définir le schéma d’Euler pour résoudre cette équation différentielle
Il est très difficile et fastidieux d’obtenir la résolution complète de s(t) en présence du condensateur. On se propose de la résoudre ici numériquement à l’aide d’une structure conditionnelle :
• si à l’instant t[n] la tension vd est positive, alors on charge le condensateur :
s[n + 1] = e[n + 1] et Q[n + 1] = s[n + 1]/C
• sinon, le condensateur se décharge. L’évolution de la charge est donnée par le schéma d’Euler :
Q[n + 1] = ... et s[n + 1] = C × Q[n + 1]
Q9. D’après le schéma ci-dessus, déterminer l’évolution de la tension s(t) et la
représenter
III.
Problème de convergence...
On cherche à résoudre sur l’intervalle [0,1], l’équation différentielle suivante
y ′ = −(0,1 − cos(x)) × y
avec la condition initiale y(0) = 1.
Q10. Écrire le schéma de résolution de cette équation différentielle par la méthode
d’Euler.
Q11. Définir un code python permettant de résoudre cette équation différentielle
avec un nombre N points.
La solution est de la forme y_exact : x 7→ e−0,1x+sin(x) .
Q12. Représenter la fonction solution exacte et la solution numérique
Q13. Définir un nombre de points suffisants pour que la convergence de la solution
soit acceptable
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