M1 - Cinématique cartésienne

Mécanique 1
Cinématique
du
point
coordonnées cartésiennes
en
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Capacités exigibles
Espace et temps classiques.
Référentiel d’observation.
Caractère relatif du mouvement.
Description d’un mouvement. Vecteur-position,
vecteur-vitesse, vecteur-accélération.
Systèmes de coordonnées cartésiennes.
- Réaliser et exploiter quantitativement un enregistrement vidéo
d’un mouvement : évolution temporelle des vecteurs vitesse et
accélération.
Mouvement rectiligne à accélération constante.
Mouvement courbe de vecteur-accélération constant.
- Exprimer la vitesse et la position en fonction du temps.
- Prévoir qualitativement les mouvements projetés sur des axes parallèle
et perpendiculaire au vecteur accélération.
- Utiliser les expressions des composantes du vecteur-position, du vecteurvitesse et du vecteur-accélération dans le cas des coordonnées cartésiennes.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 La cinématique
1.1 Notion de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Description du mouvement d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 La cinématique du point en coordonnées cartésiennes
2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Définition des vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . .
2.3 Mouvement rectiligne uniformément accéléré . . . . . . .
2.4 Mouvement courbe uniformément accéléré . . . . . . . .
3
3
4
4
6
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La cinématique est la science de l’étude du mouvement en soi. On ne s’intéresse pas aux causes qui
ont donné naissance au mouvement. Il est indispensable de savoir décrire les mouvements avant de pouvoir
étudier leurs causes.
1
1.1
La cinématique
Notion de référentiel
Pour décrire un mouvement, il est nécessaire de définir correctement les distances et les temps. En
mécanique classique, ces deux notions sont absolues et définies grâce aux unités des mètres et des secondes.
Pour que la cadre de la mécanique classique reste valable, on supposera toujours que la vitesse v des corps
en mouvement est très faible devant la célérité de la lumière dans le vide c. Dans ce cadre, pour décrire un
mouvement, il faut avant tout définir un référentiel dans lequel l’étudier.
Définition. Un référentiel est un point de vue nécessaire à la description d’un mouvement. Il contient
. un repère permettant de décrire l’espace ;
. une horloge permettant de mesurer le temps.
Un mouvement est toujours relatif, la description d’un mouvement dépend du référentiel.
En conséquence, la première chose à faire en abordant un problème de mécanique est de définir le
référentiel d’étude. Sans cette définition, on ne sait pas de quoi on parle.
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Application 1 : Décrire le mouvement du casque d’un cycliste et de la valve d’une de ses roues
dans le référentiel du sol (c’est-à-dire ce que voit quelqu’un à l’arrêt) et dans le référentiel lié au
cycliste (c’est-à-dire ce que voit le cycliste).
1.2
Description du mouvement d’un point
On se place dans un référentiel d’étude. On note O le centre du repère et M (t) la position d’un point
mobile au temps t.
Définition. Le mouvement du point M (t) est défini par trois vecteurs cinématiques
−−→
. le vecteur position OM (t) ;
−−→
dOM
. le vecteur vitesse #”
v (t) =
(t) ;
dt
−−→
d2 OM
#”
(t).
. le vecteur accélération a (t) =
dt2
Une trajectoire est l’ensemble des positions successives du point M au cours du temps.
• t = tfinal
#”
a (t)
−−→
OM (0)
•
t=0
•
O
• #”
−−→ v (t)
OM (t)
Fig. 1 – Un exemple de trajectoire avec le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération.
Propriété. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
Cette propriété est due à la définition du vecteur dérivée.
I Mesure des vecteurs cinématique à l’aide d’un film
Les vecteurs #”
v (t) et #”
a (t) sont des vecteurs instantanés, ils sont définis au temps t quel que soit le
temps.
Lors d’un film, on a une image tous les ∆t secondes. Ainsi, les positions obtenues sont discrètes, une
image est obtenue pour tous les temps ti et il n’est plus possible d’obtenir les vecteurs instantanés. On
définit alors, pour tous les ti ,
−−→
. le vecteur position OM (ti ) ;
. le vecteur vitesse moyen par une dérivée discrète
−−→
−−→
OM (ti+1 ) − OM (ti )
#”
#”
v (ti ) = v i =
;
∆t
. le vecteur accélération moyen par une dérivée discrète
#”
v (ti+1 ) − #”
v (ti )
#”
a (ti ) = #”
ai =
.
∆t
Les vecteurs vitesses et accélérations sont définis par une moyenne entre deux points. On ne sait pas ce
qui se passe entre deux points de mesures. On espère que l’intervalle de temps ∆t est choisi suffisamment
petit pour ne pas perdre des phases intéressantes du mouvement.
Autrement dit, on a
et
−−→
−−→
OM (ti+1 ) = OM (ti ) + #”
v (ti )∆t
#”
v (ti+1 ) = #”
v (ti ) + #”
a (ti )∆t .
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
#”
a (ti )
#”
v (ti−1 )×ti
#”
v (ti )
ti−1×
#”
v i+1
•
#”
vi
×ti+2
#”
v (ti+1 )
#”
v i+1 − #”
vi
#”
ai =
∆t
×
ti+1
#”
a (ti−1 )
Fig. 2 – Les vecteurs vitesses et accélérations définis à l’aide d’un ensemble de positions discrètes. Sur la droite,
le détail du calcul du vecteur accélération #”
a (ti ).
Expérience 1 : TP 11 - Mesure de l’accélération de pesanteur
2
2.1
La cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Description
Définition. Les coordonnées cartésiennes sont définies dans un repère orthonormé direct ( #”
e x , #”
e y , #”
e z ). Le
vecteur position est alors défini par
−−→
OM = x #”
e x + y #”
e y + z #”
ez .
(2.1)
z
z
M
#”
ez
#”
ex
#”
ey
O
y
y
x
H
x
−−→
Fig. 3 – Les coordonnées cartésiennes : OM = x #”
e x + y #”
e y + z #”
ez .
Un repère est dit orthonormé si les vecteurs de base sont de norme un, soit || #”
e x || = || #”
e y || = || #”
e z || = 1,
#”
#”
#”
#”
et s’ils sont tous orthogonaux entre eux, soit e x ⊥ e y ⊥ e z ⊥ e x .
Un repère est dit direct si #”
e ∧ #”
e = #”
e . Il s’agit d’un produit vectoriel. La direction du troisième
x
y
z
vecteur est donné avec la règle de la main droite, sur cette main (et uniquement sur cette main !), le pouce
représente le premier vecteur, l’index représente le second vecteur et le majeur représente la direction du
troisième vecteur.
Pour manipuler les coordonnées cartésiennes, on pourra utiliser l’animation [1].
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
2.2
Maxime Champion
Définition des vecteurs cinématiques
Le point M est mobile, ses coordonnées dépendent donc du temps. Par définition, il faut dériver le
vecteur position pour obtenir les vecteurs vitesse et accélération.
Définition. En mécanique, les dérivées par rapport au temps se notent avec un point sur la fonction,
autrement dit
dx(t)
= ẋ(t) .
dt
L L L Attention ! Cette expression désigne la dérivée par rapport au temps t de la fonction dépendant
du temps t 7→ x(t). Il ne faut pas confondre la fonction x(t) et la variable mathématique inconnue x.
Propriété. Le point M est mobile, on définit donc
. le vecteur position dépendant du temps
−−→
OM (t) = x(t) #”
e x + y(t) #”
e y + z(t) #”
ez ;
(2.2)
. en dérivant le vecteur position, comme les vecteurs de base sont constant, on obtient le vecteur vitesse
dépendant du temps
#”
v (t) = ẋ(t) #”
e x + ẏ(t) #”
e y + ż(t) #”
ez ;
(2.3)
. de même en dérivant le vecteur vitesse, on obtient le vecteur accélération
#”
a (t) = ẍ(t) #”
e x + ÿ(t) #”
e y + z̈(t) #”
ez .
2.3
(2.4)
Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Tout le raisonnement de ce paragraphe est à savoir refaire, il ne faut surtout pas l’apprendre par coeur.
I Position du problème et choix du repère
Considérons un point matériel défini par une vitesse initiale #”
v (0) et par une accélération constante
colinéaire au vecteur vitesse initial dans le référentiel lié au sol.
Remarque : Nous étudions un problème de cinématique. Ainsi, on ne se préoccupe par de
savoir d’où provient cette accélération et cette vitesse. Toutefois, remarquons que ce problème
peut décrire par exemple le mouvement d’une voiture lorsque l’on maintient l’accélération.
Au points de départ, le référentiel est défini mais pas le système de coordonnées. On peut donc le choisir
pour simplifier les calculs. On se place donc en coordonnées cartésiennes de sorte que
−−→
#”
OM (0) = 0
et
#”
v (0) = v0 #”
ex
et
#”
a (t) = a0 #”
ex .
(2.5)
L’accélération est bien constante et colinéaire à la vitesse initiale.
I Les équations du mouvements
Le vecteur accélération est défini fixe dans l’énoncé, mais par ailleurs, la description des vecteurs cinématiques donne une expression dépendant des dérivées des coordonnées. Ces deux définitions sont égales,
l’une est imposée par l’extérieur tandis que l’autre dépend de la définition des coordonnées cartésiennes.
Ainsi on a
#”
a (t) = a0 #”
e x = ẍ(t) #”
e x + ÿ(t) #”
e y + z̈(t) #”
ez .
(2.6)
Cette équation peut aussi être vue sous forme de vecteur colonne, c’est-à-dire que l’on a de façon
équivalente
  

a0
ẍ(t)
  

#”
a (t) =  0  = ÿ(t) .
(2.7)
0
z̈(t)
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Par identification des coordonnées, on trouve les équation du mouvement
ẍ(t) = a0
ÿ(t) = 0
;
z̈(t) = 0 .
;
(2.8)
Si cette identification n’est pas claire, on peut utiliser le produit scalaire sur l’équation (2.18). En
réalisation le produit scalaire avec #”
e x , il vient a0 #”
e x · #”
e x = ẍ(t) #”
e x · #”
e x + ÿ(t) #”
e y · #”
e x + z̈(t) #”
e z · #”
e x . Comme
#”
#”
#”
#”
#”
#”
#”
le repère est orthonormé, e x · e x = || e x || = 1 et e x · e y = e x · e z = 0, d’où la première équation du
mouvement.
Application 2 : À l’aide du produit scalaire, retrouvez les deux secondes équations du mouvement
I Obtention du vecteur vitesse
On doit intégrer une fois les équations du mouvements (2.8) pour obtenir la vitesse. On obtient
ẋ(t) = a0 t + v0,x
;
ẏ(t) = v0,y
ż(t) = v0,z .
;
(2.9)
Les termes v0,x , v0,y et v0,z sont des constantes d’intégrations qu’il ne faut surtout pas oublier. On a donc
#”
v (t) = (a0 t + v0,x ) #”
e x + v0,y #”
e y + v0,z #”
ez .
(2.10)
Ces valeurs doivent être ensuite comparés à la condition initiale sur la vitesse (2.5). Il vient
#”
v (t = 0) = v0,x #”
e x + v0,y #”
e y + v0,z #”
e z = v0 #”
ex .
(2.11)
On en déduit que les constantes d’intégrations valent v0,x = v0 et v0,y = v0,z = 0.
Ainsi, la vitesse vaut


a0 t + v0


#”
#”
v (t) = (a0 t + v0 ) e x =  0  .
0
(2.12)
I Obtention du vecteur position
On doit intégrer cette fois la vitesse (2.24) pour obtenir la position. On obtient
1
x(t) = a0 t2 + v0 t + x0
2
y(t) = y0
;
z(t) = z0 .
;
(2.13)
Les termes x0 , y0 et z0 sont des constantes d’intégrations qu’il ne faut surtout pas oublier. On a donc
−−→
OM (t) =
1 2
a0 t + v0 t + x0 #”
e x + y0 #”
e y + z0 #”
ez .
2
(2.14)
Ces valeurs doivent être ensuite comparés à la condition initiale sur la position (2.5). Il vient
−−→
#”
OM (t = 0) = x0 #”
e x + y0 #”
e y + z0 #”
ez = 0 .
(2.15)
On en déduit que les constantes d’intégrations valent x0 = y0 = z0 = 0.
Ainsi, le vecteur position vaut
1 2
a0 t + v0 t 

1 2
2
 .
a0 t + v0 t #”
ex = 


0
2
0

#”
v (t) =

(2.16)
Application 3 : Une voiture initialement à vitesse nulle accélère uniformément à 1 m/s2 , au bout
de combien de temps a-t-elle parcourue 10 m et 100 m ? Pour ces deux points, quelle est alors sa
vitesse ?
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
I Interprétation et trajectoire
On remarque que la vitesse et l’accélération sont toujours colinéaires. Le mobile va de plus en plus vite
dans la direction de ces vecteurs.
t0
× #”
a
t1
×
t2
×
#”
v2
#”
v3
Fig. 4 – La trajectoire du mouvement rectiligne uniformément accéléré : la vitesse augmente progressivement
dans la même direction que l’accélération. L’intervalle de temps entre les trois points est constant et vaut ∆t.
Durant le même temps ∆t, les points sont de plus en plus éloignés les uns des autres.
On peut tracer les courbes de norme de vitesse et de norme position en fonction du temps. Au vu
des expressions (2.24) et (2.28), les normes deux deux vecteurs correspondent directement aux valeurs des
composantes sur le vecteur #”
e x.
vx (t)
x(t)
t
t
(a) La composante x de la vitesse augmente linéairement en fonction du temps.
(b) La courbe de la composante x de la position en
fonction du temps est une portion de parabole.
Fig. 5 – Courbes des composantes x de la vitesse et de la position en fonction du temps.
2.4
Mouvement courbe uniformément accéléré
Tout le raisonnement de ce paragraphe est à savoir refaire, il ne faut surtout pas l’apprendre par coeur.
Les étapes sont exactement les mêmes que celles du paragraphe précédent.
I Position du problème et choix du repère
Considérons un point matériel défini par une vitesse initiale #”
v (0) et par une accélération constante
cette fois orthogonale au vecteur vitesse initial dans le référentiel lié au sol.
Au points de départ, le référentiel est défini mais pas le système de coordonnées. On peut donc le choisir
pour simplifier les calculs. On se place donc en coordonnées cartésiennes de sorte que
−−→
#”
OM (0) = 0
#”
v (0) = v0 #”
ex
et
et
#”
a (t) = a0 #”
ey .
(2.17)
L’accélération est bien constante et orthogonale à la vitesse initiale.
I Les équations du mouvements
Le vecteur accélération est défini fixe dans l’énoncé, mais par ailleurs, la description des vecteurs cinématiques donne une expression dépendant des dérivées des coordonnées. Ces deux définitions sont égales,
l’une est imposée par l’extérieur tandis que l’autre dépend de la définition des coordonnées cartésiennes.
Ainsi on a
#”
a (t) = a #”
e = ẍ(t) #”
e + ÿ(t) #”
e + z̈(t) #”
e .
(2.18)
0
x
x
6/8
y
z
Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
Cette équation peut aussi être vue sous forme de vecteur colonne, c’est-à-dire que l’on a de façon
équivalente

  
ẍ(t)
0

  
#”
(2.19)
a (t) = a0  = ÿ(t) .
z̈(t)
0
Par identification des coordonnées, on trouve les équation du mouvement
ẍ(t) = 0
;
ÿ(t) = a0
z̈(t) = 0 .
;
(2.20)
On remarque que ces équations sont les mêmes que dans le cas du mouvement rectiligne.
I Obtention du vecteur vitesse
On doit intégrer une fois les équations du mouvements (2.20) pour obtenir la vitesse. On obtient
ẋ(t) = v0,x
ẏ(t) = a0 t + v0,y
;
ż(t) = v0,z .
;
(2.21)
Les termes v0,x , v0,y et v0,z sont des constantes d’intégrations qu’il ne faut surtout pas oublier. On a donc
#”
v (t) = v0,x #”
e x + (a0 t + v0,y ) #”
e y + v0,z #”
ez .
(2.22)
Ces valeurs doivent être ensuite comparés à la condition initiale sur la vitesse (2.17). Il vient
#”
v (t = 0) = v0,x #”
e x + v0,y #”
e y + v0,z #”
e z = v0 #”
ex .
(2.23)
On en déduit que les constantes d’intégrations valent v0,x = v0 et v0,y = v0,z = 0.
Ainsi, la vitesse vaut


v0
 
#”
#”
#”
v (t) = v0 e x + a0 t e y = a0 t .
0
(2.24)
I Obtention du vecteur position
On doit intégrer cette fois la vitesse (2.24) pour obtenir la position. On obtient
x(t) = v0 t + x0
;
1
y(t) = a0 t2 + y0
2
;
z(t) = z0 .
(2.25)
Les termes x0 , y0 et z0 sont des constantes d’intégrations qu’il ne faut surtout pas oublier. On a donc
−−→
OM (t) = (v0 t + x0 ) #”
ex +
1 2
a0 t + y0 #”
e y + z0 #”
ez .
2
(2.26)
Ces valeurs doivent être ensuite comparés à la condition initiale sur la position (2.5). Il vient
−−→
#”
OM (t = 0) = x0 #”
e x + y0 #”
e y + z0 #”
ez = 0 .
(2.27)
On en déduit que les constantes d’intégrations valent x0 = y0 = z0 = 0.
Ainsi, le vecteur position vaut


v0 t


1
1
#”
v (t) = v0 t #”
e x + a0 t2 #”
ey = 
a0 t 2 
 .

2
2
0
(2.28)
Application 4 : Une voiture initialement à vitesse nulle accélère uniformément à 1 m/s2 , au bout
de combien de temps a-t-elle parcourue 10 m et 100 m ? Pour ces deux points, quelle est alors sa
vitesse ?
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Mécanique 1 : Cinématique du point en coordonnées cartésiennes
Maxime Champion
I Interprétation et trajectoire
On peut commencer par tracer en fonction du temps les différentes coordonnées de vitesse et de position.
vy (t)
vy (t), vx (t)
y(t), x(t)
y(t)
vx (t)
x(t)
t
(a) La composante y de la vitesse augmente linéairement en fonction du temps. La composante x est
constante.
t
(b) La courbe de la composante x de la position en
fonction du temps est une fonction linéaire du temps,
la courbe de la composante y est une parabole.
Fig. 6 – Courbes des composantes x et y de la vitesse et de la position en fonction du temps.
Au final, la trajectoire dans le plan (x, y) est donnée par (x(t), y(t)) = (v0 t, a0 t2 /2). L’équation de la
trajectoire dans ce plan est l’équation de la courbe x 7→ y(x). Pour cela, il faut faire disparaître le temps
de l’expression de y pour faire apparaître x.
On exprime donc le temps en fonction de x ce qui donne t = x/v0 . On injecte ce temps dans l’expression
de y ce qui donne
1 a0 2
x .
(2.29)
y(x) =
2 v02
Cette expression donne l’équation de la trajectoire tracée figure 7. Il s’agit d’une trajectoire parabolique.
#”
v2
#”
a
t2×
#”
a
#”
ey
#”
a
×
#”
e x t0
#”
v1
t1 ×
#”
v0
Fig. 7 – La trajectoire du mouvement courbe uniformément accéléré : la composante accélérée de la vitesse
augmente linéairement dans la direction de l’accélération. L’intervalle de temps entre les trois points est constant
et vaut ∆t.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/coord_
cartesiennes.php
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