Lois à densité I. Variable aléatoire à densité 1) Variable aléatoire Définition : Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers et à valeurs dans Ë. On la note X. Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu. Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète. Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue. Exemples 1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1]. 2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20]. 2) Fonction densité Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité. Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la forme d’un tableau. Valeurs possibles de l'expérience Numéro sorti n 10 5 2 1 Probabilité correspondante P(X=n) 1 10 2 10 3 10 4 10 Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une partition de , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part! 1 http://playmaths.free.fr Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée fonction densité. Définition : Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I. On lui associe une fonction f continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et positive sur I telle que : l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1. si J I, la probabilité de l'événement ( X J ) est égale à l'aire située sous la courbe sur l'intervalle J. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Si I = [a ; b], on a donc b f(t)dt = 1 a 3) Probabilité Définition : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f. Si I = [a ; b] et J = [ ; ] un intervalle de I, P( X J) = f(t)dt Elle est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)} Remarque : d’après cette définition, P(X = ) = f(t)dt = 0. Conséquence : P( X ≤ ) = P( X < ) Exemple : Démontrer que La fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur [0 ;1]. Ex 3-4-5-7 p.253 4) Espérance mathématique Rappel : Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par E(X) = n xi pi xi p(X xi ) i1 Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3 2 http://playmaths.free.fr Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à b a t f(t) dt II. Loi uniforme 1) Définition : Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] lorsque sa fonction de densité est constante sur [ a ; b ]. Propriété : Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors, x I , f(x) = longueurde J longueurde I 1 et P( X J ) = = ba ba démonstration : Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1, donc f(x) (b-a) = 1 … P( X J ) = f( t)dt = … = ba Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h). Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30. X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte) d'arrivée de l'usager. On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est uniformément répartie) sur [0 ; 30] On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager. 1) Quelle est la fonction de densité de X ? 2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus : a) moins de 5 mn ? b) plus de 10 mn ? c) exactement 2 mn ? 1 f(x) = … 30 1 a) P(Y<5) = P(X [10 ; 15]) + P(X [25 ; 30]) = … = 3 1 b) P(Y>10) = P(X ] 0 ; 5]) + P(X ]15 ; 20]) = … = 3 c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0 3 http://playmaths.free.fr 2) Espérance Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par a b E(X) 2 Dem : E(X) = b b t a t f(t) dt = a b a dt =…= a b 2 Ex 12 à 16 p.254 III Loi normale 1) Loi normale centrée réduite Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa densité f est définie sur Ë par : f(x) 1 2 e x2 2 . On note : X suit la loi N(0 ;1) Rque : f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ». Propriété ( admise ) : Si une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite, alors P( -1,96 ≤ X ≤ 1,96 ) = 0,95. 2) Loi normale Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance et d’écart-type X signifie que la variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite. On note : X suit la loi N( ;2 ) 4 http://playmaths.free.fr Rques : est un nombre réel strictement positif. Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction définie sur Ë par f(x) = 1 1 x 2 e 2 . 2 La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation x = . Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ). P( X ☻ [- ; +]) 0,68 P( X ☻ [-2 ; +2]) 0,95 P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997. Ex 17-18-19 p.255 Pb p.259-260 5 http://playmaths.free.fr