Lois à densité
I.
Variable aléatoire à densité
1) Variable aléatoire
Définition :
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers  et à valeurs dans Ë. On la
note X.
Exemple :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro
10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1.
On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu.
Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète.
Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs
d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue.
Exemples
1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de
manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le
centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de
l’intervalle [0 ; 1].
2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son
arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20].
2) Fonction densité
Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité.
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la
forme d’un tableau.
Valeurs possibles de l'expérience
Numéro sorti n
10
5
2
1
Probabilité correspondante
P(X=n)
1
10
2
10
3
10
4
10
Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une
partition de  , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure
où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!
1
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Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée
fonction densité.
Définition :
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I.
On lui associe une fonction f continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et
positive sur I telle que :
 l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1.
 si J  I, la probabilité de l'événement ( X  J ) est égale à l'aire située sous la courbe
sur l'intervalle J.
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Si I = [a ; b], on a donc
b
 f(t)dt = 1
a
3) Probabilité
Définition :
Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f.
Si I = [a ; b] et J = [ ;  ] un intervalle de I,
P( X  J) =

 f(t)dt

Elle est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)}
Remarque : d’après cette définition, P(X = ) =

 f(t)dt = 0.

Conséquence : P( X ≤  ) = P( X <  )
Exemple :
Démontrer que La fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur
[0 ;1].
Ex 3-4-5-7 p.253
4) Espérance mathématique
Rappel :
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par
E(X) =
n
 xi pi   xi p(X  xi )
i1
Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3
2
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Définition :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors
l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à
b
a t f(t) dt
II. Loi uniforme
1) Définition :
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] lorsque sa fonction de
densité est constante sur [ a ; b ].
Propriété :
Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors,  x I , f(x) =
longueurde J
longueurde I
1

et P( X  J ) =
=
ba
ba
démonstration :
Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1,
donc f(x)  (b-a) = 1 …


P( X  J ) =  f( t)dt = … =

ba
Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h).
Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30.
X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte)
d'arrivée de l'usager.
On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est
uniformément répartie) sur [0 ; 30]
On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager.
1) Quelle est la fonction de densité de X ?
2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus :
a) moins de 5 mn ?
b) plus de 10 mn ?
c) exactement 2 mn ?
1
f(x) =
…
30
1
a) P(Y<5) = P(X  [10 ; 15]) + P(X  [25 ; 30]) = … =
3
1
b) P(Y>10) = P(X  ] 0 ; 5]) + P(X  ]15 ; 20]) = … =
3
c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0
3
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2) Espérance
Propriété :
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par
a b
E(X) 
2
Dem :
E(X) =
b
b
t
a t f(t) dt = a b  a dt
=…=
a b
2
Ex 12 à 16 p.254
III Loi normale
1) Loi normale centrée réduite
Définition :
Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa
densité f est définie sur Ë par : f(x) 
1
2
e

x2
2
.
On note : X suit la loi N(0 ;1)
Rque :
f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ».
Propriété ( admise ) :
Si une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite,
alors P( -1,96 ≤ X ≤ 1,96 ) = 0,95.
2) Loi normale
Définition :
Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance  et d’écart-type 
X
signifie que la variable aléatoire continue
suit la loi normale centrée réduite.

On note : X suit la loi N( ;2 )
4
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Rques :
  est un nombre réel strictement positif.
 Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction
définie sur Ë par f(x) =

1
1  x  
 

2  
e
2
.
 2
La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = .
Propriétés :
Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ).
P( X ☻ [- ; +])  0,68
P( X ☻ [-2 ; +2])  0,95
P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997.
Ex 17-18-19 p.255
Pb p.259-260
5
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