COURS : LOIS A DENSITE LOI UNIFORME : Simulation : Avec un

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COURS : LOIS A DENSITE
1. LOI UNIFORME :
Simulation : Avec un tableur, on a entré dans 1000 cellules la fonction =ALEA() ( la
fonction ALEA( ) génère un nombre aléatoire entre 0 et 1 ).
(1) Modélisation par la loi uniforme U(0 ;1) :
Pour décrire l’expérience précédente, on utilise la fonction f qui vaut 1 sur
l’intervalle [ 0 ; 1 ] et 0 partout ailleurs. Cette fonction est appelée densité de
variable aléatoire.
Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [0 ; 1 ] si la
probabilité d’obtenir un nombre X compris entre c et d est représentée par l’aire
délimitée par la courbe , les équations x=c et x=d.
On écrit p(c < X < d ) = ( d  c )  1.
(2) Cas général : loi uniforme U(a ;b) :
Quand une variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs entre a et b, on
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utilise la fonction qui vaut 𝑏 −𝑎 sur l’intervalle [ a ; b ].
Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ a ; b ] si la
probabilité d’obtenir un nombre compris entre a et b est représentée par l’aire
du rectangle délimitée par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation
x= c et x = d .
On a : p( c < X < d ) = ( d  c ) 
1
(ba)
.
Remarque : On peut considérer que ce rectangle est une intégrale et on peut
d
écrire : p( c < X < d ) = ∫c
1
(ba)
dx .
Pour simuler une loi uniforme U(a ;b) avec un tableur :
 On entre dans chaque cellule la formule suivante : = a + ( b  a ) * ALEA ( ).
 Pour déterminer p(c<X<d) ;on compte le nombre de valeurs comprises entre
c et d avec la formule : = NB.SI(plage ; "< c")  NB.SI(plage ; "<d" ) puis on
divise le nombre obtenu par le nombre total de valeurs .
Exercice : X est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme U (1 ; 3).
1. Représenter la fonction densité associée à cette loi .
2. Représenter et colorier la partie correspondant à p( 2,5 < X < 3 ).
3. Evaluer p( 2,5 < X < 3 ).
4. Evaluer p( 2 < X ).
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Espérance ; variance et écart type d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme :
Propriété :
L’ espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a ; b ] est :
E(X)=
a+b
2
.
La variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a ; b ] est :
(b − a)²
V(X)=
12
.
L’écart type d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a ; b ] est :
𝜎 (X)=√𝑉(𝑋) = _________________________________.
2. LOI EXPONENTIELLE :
Définition : On dit qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre 
(lambda) si elle peut être modélisée à l’aide de la densité définie par la fonction :
f(x)=𝑒 −𝜆𝑥 .
𝑑
La probabilité d’un événement est alors donnée par : p(c < X < d)=∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
Exemple : La durée de vie d’un composant électronique suit une loi exponentielle de
paramètre =3.
Déterminer la probabilité que la durée de vie de ce composant soit inférieure à un an.
Elle se calcule à l’aide d’une intégrale :
1
p( X < 1)= ∫0 3𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = :
_______________________________________
_______________________________________
Espérance ; variance et écart type d’une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle :
Propriété :
L’ espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre
 est : E(X)=
1

.
Exercice : On note T la variable aléatoire qui, à tout composant électronique prélevé au
hasard dans un stock, associe sa durée de fonctionnement (en heure) avant une
défaillance. On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre 0,000 5.
1. Déterminer la fonction de densité.
2. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : la durée de fonctionnement du composant est inférieure à 1 000heures.
B : Le composant prélevé fonctionne encore au bout de 500 heures.
C : La durée de bon fonctionnement du composant prélevé est comprise entre 500h
et 1 000h.
3. Déterminer l’espérance de T et en donner une interprétation dans le contexte de
l’énoncé.
4. Loi normale :
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a. Quand un phénomène aléatoire dont la moyenne m et l’écart type s présente
l’ allure d’une courbe en cloche symétrique , on choisit de modéliser ce
phénomène par une loi normale d’ espérance 𝜇 = m et d’ écart type 𝜎 = s .
On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 𝜇 et d’écart
type 𝜎 et on note X suit N (𝜇 ; ) .
Exemples de lois normales :
Loi normale N (4 ; 0,5 )
Lo i normale N (4 ; 1 )
Loi normale N (4 ; 2 )
Les valeurs d’une loi normale se déterminent avec un tableur ou une calculatrice :
Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (100 ; 15).
1. Calculer p(X<100).
Avec les calculatrices T.I , il faut aller dans DIST , puis normalcdf(0,100,100,15)
Avec les calculatrices CASIO 35+, en mode Stat, on sélectionne DIST(F5) et ensuite
NORM(F1),enfin Ncd. On renseigne alors 0 pour Lower , 100 pour Upper , 15 pour 𝝈 et 100 pour
𝜇.
On doit trouver p(X<100)=0,5.
2. Calculer p(X>130) : On sait que p(X>130) =1 – p(X<130) = 1 – 0,97724 = 0,02276.
b. Valeurs remarquables associées à la loi normale :
Propriété :
Si la variable aléatoire X suit une loi normale N (𝜇 ; ) alors :

p ( 𝜇 – 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎 )= 0 , 68 .
 p ( 𝜇 – 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎 )= 0 , 95 .
 p ( 𝜇 – 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎 )= 0 , 997 .
Exercice : Le cahier des charges de l’usinage d’une tige prévoit pour sa longueur en cm un
intervalle de tolérance de [ 4,40 ; 4,80 ] . Le service qualité constate qu’un premier lot de tiges
vérifie la loi normale N (4,52 ; 0,21 ).
1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard soit acceptable.
2. Après réglage, un second lot vérifie la loi normale N (4,7 ; 0,15 ). Calculer la probabilité
qu’une tige prélevée au hasard dans ce second lot soit acceptable.
3. Quel lot a la moyenne la plus proche du centre de l’intervalle de tolérance ? Sur quel
paramètre l’effet du réglage a été le plus bénéfique ?
4. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale :
4
Rappel : On répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire,
donnant lieu à deux issues : l’une nommée succès, avec la probabilité p l’autre nommée
échec , avec la probabilité q=1 – p .
Dans ces conditions, la variable aléatoire X qui, associe le nombre de succès, suit la loi
binomiale de paramètres (n , p ) ou B (n , p ) .
Sur le graphique ci-contre, on a
représenté la probabilité p(X=k), en
fonction de k quand X suit la loi
binomiale
B (40 , 0,35 ).
On constate qu’il y a une certaine
analogie avec la représentation
graphique d’une loi normale
( représentée en trait plein).
PROPRIETE : ( admise ) :
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale B (n , p ) de paramètres n et p avec
n ≥30 , np ≥ 5 et n(1 – p ) ≥ 5 , alors la loi de X peut être approchée par la loi d’une
variable aléatoire Y suivant la loi normale N (𝜇 ; 𝜎) de même espérance 𝜇 =np et
𝝈=√𝑛𝑝(1 − 𝑝) .
EXERCICE : Utiliser une approximation d’une loi binomiale par une loi normale :
Une entreprise fabrique des rondelles en acier. La probabilité qu’une rondelle ne soit pas
conforme au cahier des charges est de 0,08.. L’entreprise conditionne ces rondelles par
lot de 500. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile le choix de
500 rondelles à un tirage avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui, à un lot de
500 rondelles, associe le nombre de rondelles non-conformes.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ; puis
déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 50 rondelles non-conformes dans
un lot de 500 rondelles.
b. On admet que la loi binomiale B (n , p )peut être approchée par une loi
normale N (𝝁 ; 𝝈 ). Préciser les valeurs des paramètres 𝝁 et 𝝈 .Donner la
valeur arrondie de 𝝈 à 10 –2 près.
c. En utilisant cette approximation, déterminer une valeur approchée de la
probabilité que le lot de 500 rondelles contienne au plus 50 rondelles nonconformes. Donner la valeur arrondie à 10 –2 près.