NOMBRES COMPLEXES I – Nombre complexe – Représentation 1) Définitions et notations 2 On admet l’existence d’un nombre imaginaire i tel que i 1 . Tout nombre de la forme x + i y, où x et y sont deux réels, est appelé nombre complexe. L’ensemble des nombres complexes est noté . 2) Forme algébrique L’écriture d’un nombre complexe z sous la forme z = x + i y, x et y , est appelé forme algébrique de z. Soit z = x + i y, x et y , x est appelé partie réelle de z notée Re(z). y est appelé partie imaginaire de z notée Im(z). z z0 . Soient deux nombres complexes z et z’. z z ' . z , z imaginaire pur z , z réel 3) Conjugué Soit z = x + i y, x et y . On appelle conjugué de z, noté z , le nombre complexe défini par : z x iy . 4) Représentation géométrique Le plan utilisé est muni d’un repère orthonormé direct O; u , v AFFIXE z x iy , avec x et y deux réels, est l’affixe du point M de coordonnées (x ; y). ; il est appelé plan complexe. IMAGE Axe imaginaire y x M(z) Axe réel Le point M de coordonnées (x ; y) est l’image du nombre complexe z = x + i y. z x iy , OM avec x et y deux réels, est le vecteur image du nombre complexe z. est l’affixe du vecteur OM . 1. M(z) se lit « le point M d’affixe z ». 2. Notation : zM est l’affixe de M et z OM est l’affixe du vecteur OM . Propriétés Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , avec a, b, a', b' réels, alors le vecteur MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i OM = OM = a2 + b2 MM' = MM' = (a' - a)2 + (b' - b)2 z + z' le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = 2 z + z' k V ( + # 0) . le barycentre G de (M ; ) et (M' ; ) a pour affixe zG = + (kz) Propriétés Si V a pour affixe z et V ' pour affixe z', alors V + V ' a pour affixe z + z'. Si k est un réel, alors k V V a pour affixe k V + V ' (z+z') V ' (z') II – Calculer avec les nombres complexes 1) Somme et produit On effectue la somme et le produit de nombres complexes en appliquant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans et en remplaçant i 2 par 1. Les propriétés de l’addition et de la multiplication dans sont les mêmes que celles de l’addition et de la multiplication dans . Attention, on ne peut pas comparer des nombres complexes. 2) Quotient 1 z' et sous la z z forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z. Soient z un nombre complexe non nul et z’ un nombre complexe. Pour obtenir III – Equations du second degré à coefficients réels et variable complexe I deux solutions (éventuellement L'équation az² + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a 0) admet dans C confondues). Soit = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. est un nombre réel. Si on pose = 2 (avec réel lorsque 0 et imaginaire pur si < 0) -b - -b + on peut écrire : z1 = et z2 = 2a 2a Le trinôme az ²+ bz + c peut alors se factoriser sous la forme az ²+ bz + c = a(z - z1)(z - z2) . III- Conjugué d'un nombre complexe 1) Définition Soit z = x + i y, x et y . On appelle conjugué de z, noté z , le nombre complexe défini par : z x iy . 2) Propriétés algébriques Pour tout nombre complexe z, en posant z x i y, avec x et y . zz z réel z z 2 Re (z) zz et z z 2 i Im (z) z imaginaire pur z z x2 y2 z z Pour tous nombres complexes z et z’ et pour tout entier relatif n non nul z z' z z' z z' z z' z z' z z' 1 1 z 0, z z z' z' z 0, z z z 0, z n z n IV- Module d’un nombre complexe 1) Définition Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + bi et soit M le point d'affixe z. On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = On note r = | z | a ² b² Conséquence : Soit A et B deux points d'affixes respectives z A et z B , on a AB = | zB - zA |. 2) Propriétés algébriques Pour tous nombres complexes z et z’ et pour tout entier relatif n non nul ; |- z| = | z | ; |z |=|z| | zz' | = | z |.| z' | |z|=0 z=0 si z' 0 on a z z = | z |2 . 1 1 = z' | z' | ; z |z| = z' | z' | et |z| n =|z n |